Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 22
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1 Prawo Ampera
Chcemy teraz znalez
ć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występują-
ce rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysujÄ…c tzw. linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane sÄ… linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Wektor B jest styczny do tych
linii pola w każdym punkcie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi
okręgami w płaszczyz
nie prostopadłej do przewodnika. To, że linie pola B są zamknięte
stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego
linie zaczynają się i kończą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą za-
sadę: Jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kieru-
nek B (linie pola B krążą wokół prądu).
Żeby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez prawo Ampera.
Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
B d l = µ0I (22.1)
+"
22-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
gdzie µ0 = 4Ä„·10-7 Tm/A, jest przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… próżni. Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika w odległo-
ści r od niego.
I
r
Z prawa Ampera wynika, że dla konturu kołowego
B2Ä„r = µ0I
StÄ…d
µ0I
B = (22.2)
2Ä„r
22.2 Strumień magnetyczny
Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez po-
wierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B
ĆB = d s (22.3)
+"B
S
Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
B d s = 0
+"
S
22-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.3 Przykładowe rozkłady prądów
22.3.1 Pręt (przewodnik)
Na zewnątrz pręta (r > R) znamy już pole B.
I
r
R
µ0I
B =
2Ä„r
Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta (analogie do rozkładu ładun-
ków).
Jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy kontur kołowy o r < R.
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią całkowitego prądu I
2
Ä„r
i = I
Ä„R2
StÄ…d
B2Ä„r = µ0i
2
Ä„r
B2Ä„r = µ0I
Ä„R2
Czyli
µ0Ir
B =
2Ä„R2
22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola ma-
gnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać pole
wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.
22-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-
turu pokazanego na rysunku poniżej.
d
c
b
a
B
Całkę po konturze zamknietym B d l przedstawimy jako sumę czterech całek
+"
b c d a
B d l = B d l + B d l + B d l + B d l
+"+" +" +" +"
a b c d
Druga i czwarta całka są równe zeru bo B Ą" l. Trzecia całka jest też równa zero ale to
dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
b
B d l = Bh
+"
a
gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prÄ…d obejmowany przez kontur.
Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:
I = I0nh
gdzie I0 jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).
22-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Z prawa Ampera otrzymujemy więc:
Bh = µ0I0nh
czyli
B = µ0I0n (22.4)
22.3.3 Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy Ia i Ib
odpowiednio.
a
b
l
F
Ba
d
ia
ib
Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole
µ0Ia
Ba =
2Ä„d
W tym polu znajduje się przewodnik b, w którym przepływa prąd Ib. Na odcinek l tego
przewodnika działa siła
µ0l Ia Ib
Fb = IblBa = (22.5)
2Ä„d
Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie można "odwrócić" zaczynając od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji am-
pera. Załóżmy, że d = 1m oraz, że Ia = Ib = I. Jeżeli dobierzemy tak prąd aby siła przy-
ciÄ…gania przewodników, na 1 m ich dÅ‚ugoÅ›ci, wynosiÅ‚a 2·10-7 N to mówimy, że natęże-
nie prądu jest równe 1 amperowi.
22-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.4 Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć B
z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie rów-
noważne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, że obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nie-
skończenie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy
wektor B.
I
dl
¸
r
d
B
Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi
µ0I lsin¸
d
d B =
2
4Ä„ r
a zapisane w postaci wektorowej
µ0I d l × r
d B = (22.6)
4Ä„ r3
Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.
d
r
dBÄ„"
I
Ä…
R
x
dBII
Z prawa B -S otrzymujemy
µ0I d lsin 90o
d B =
2
4Ä„ r
oraz
22-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
d BII = d BcosÄ…
Z tych równań otrzymujemy
µ0IcosÄ…d l
d BII =
2
4Ä„r
Ponadto
r = R2 + x2
oraz
R R
cosÄ… = =
r
R2 + x2
PodstawiajÄ…c otrzymujemy
µ0IR
d BII = d l
4Ä„ (R2 + x2 )3 2
Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, żeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
µ0IR µ0IR µ0IR2
B = BII = (2Ä„R) =
+"d 4Ä„ (R2 + x2 )3 2 +"d l =
4Ä„ (R2 + x2 )3 2 2(R2 + x2 )3 2
Dla x >> R dostajemy
µ0IR2
B =
2x3
22.5 Indukcja elektromagnetyczna
22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycz-
nych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie z
ródła po-
la magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest induko-
wana siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyj-
nego.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
" Nieruchoma pętla, względem której porusza się z
ródło pola magnetycznego (mamy
tzw. elektrycznÄ… SEM).
" Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-
na SEM).
" Nieruchoma pętla i nieruchome z
ródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,
który jest z
ródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest
szybkość zmian strumienia magnetycznego ĆB. Ilościowy związek przedstawia prawo
Faradaya
22-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
dĆB
µ = - (22.7)
d t
Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to
dĆB
µ = -N
d t
22.5.2 Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywoła-
ła. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy strumień rośnie
czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy prądów indukowanych.
v
S N
I
v
S N
I
22-8