Energia sprzężonych zwojnic
I1,I2 I1,I2
Ą# di1 di2 ń# Ą# di2 di1 ń#
W = u1i1 + u2i2 dt =
()�#ś#i + �#ś#i dt =
ś#ź# 1 ś#ź# 1
ó#�# L1 dt + M dt # Ą# ó#�# L2 dt + M dt # Ą#
+"+"
Ł#Ś# Ł#Ś#
00
I1,I2 I1,I2
= L1i1di1 + Mi1di2 + Mi2di1 + L2i2di2 = L1i1di1 + Md(i1i2) + L2i2di2 =
())
(
+"+"
00
11
2
= LI12 ą MI1I2 + L2I2
1
22
2
1
W = L1I1 ą L2 I2 m L1L2 - M I1I2
można również napisać
( ) ( )
2
I1 L2
=+
stąd w szczególności gdy
W e" 0
energia jest zawsze
I2 L1
M d" LL2
wynika stąd nierówność
1
M
k = -- współczynnik sprzężenia zwojnic
LL2
1
Energia sprzężonych zwojnic
Gdy k=1 sprzężenie idealne ( ścisłe ).
Sprzężenie idealne nie jest możliwe, gdyż wówczas otrzymuje się W=0, a w
rzeczywistości zawsze istnieje pole, więc W>0.
Wzór na energię można również zapisać w postaci:
11 1
W = L1I1 ą MI2 I1 + L2I2 ą MI1 I2 = �1I1 + �2I2
() () ()
22 2
lub
11 1 M
2
W = LS1I1 + LS 2I2 + n1I1 ą n2I2
()
22 2 nn2
1
Energia i gęstość energii
Zwojnicy z rdzeniem ferromagnetycznym
B
Bn
3
Hl = ni
dB
2
Ś= BS
dŚ dB
u = n = nS
1
dt dt
0 Hn H
H
dB Hl
Gęstość energii
W =
+"uidt = +"nS dt �" n dt = +"SlHdB WJ
B
Ą# ń#
= � = HdB '
3
+"
BB ó#m Ą#
V
Ł# Ś#
0
W = Sl HdB ' = V HdB '
+"+"
pole nieliniowego trójkata
00
Energia i gęstość energii
W środowisku liniowym
BB
BB '1
H = �! � = HdB ' = dB ' = B2
+"+"
źź 2ź
00
11 11
2
� = B2 = źH = HB = H o B
2ź 2 2 2
stąd energia zgromadzona w polu magnetycznym
1
W =
+"�dv = 2V H o Bdv
+"
V
Straty energii związane z histerezą
W
� ==
HdB
+"
V
podczas jednego cyklu straty/m3 są proporcjonalne
do powierzchni wewnętrznej pętli histerezy.
Moc strat na histerezę za okres odniesiona do jednostki
objętości rdzenia
Ph = f
HdB
+"
Straty energii
Wh = VtPh
minimalizacja Ph  ferromagnetyki miękkie
Straty na prądy wirowe
Prądy wirowe są to prądy indukowane w rdzeniu magnetycznym na skutek zmiennego
pola magnetycznego.
Wartość prądów wirowych zależy od:
- częstotliwości zmian pola magnetycznego
- od indukcji magnetycznej w rdzeniu
- od właściwości fizycznych rdzenia, a w szczególności od konduktywności i grubości
Załóżmy:
-
B = B0 sin�t
-
h d
-pomijamy wpływ  wtórny
prądów wirowych na  pierwotny
strumień magnetyczny
- pole magnetyczne w rdzeniu
jest jednorodne
z prawa Faraday a
dŚ
e H"~ - = -2zdB0� cos�t
dt
Straty na prądy wirowe
2d
Opór pętli
R H"
ł ldz
średnia moc za okres T, tracona
na ciepło w elementarnej pętli
2 
T
�
1 � e2
2
dPw = dt = �2dB0ł lz2dz
+"eidt = 2  +"
TR
00
h
Średnia moc tracona w całym rdzeniu
2 2
2
2ldB0 f ł h3
2
Pw = �2B0ldł z2dz =
+"
6
0
2 2
Pw 2B0 f h2ł
2 2
pw = = = Kh2 f ł B0
V 6
Gęstość mocy tracona na prądy wirowe
minimalizacja pw: - wykonywać rdzenie z bardzo cienkich blach wzajemnie izolowanych
- stosować materiały magnetyczne o małej konduktywności np. ferryty
Siły mechaniczne między zwojnicami
Bilans energii przy elementarnym przesunięciu o dx
dx
praca zasilania=wzrost energii pola + praca mech.
F
(u1i1 + u2i2)dt = dW + Fxdx
i2
i1
u1
u2
i1d�1 + i2d�2 = dW + Fdxx
11
Ą#
i1d�1 + i2d�2 = d i1�1 + i2�2 ń# + Fdxx
ó#22
Ł#Ą#
Ś#
zakładamy, że i1=const. i i2= const.
1
(i1d�1 + i2d�2) = Fdxx czyli dW = Fxdx
stąd
2
"W
Fx = N
[ ]
i1=const
"x
i2 =const
Siły mechaniczne między zwojnicami
rozpiszmy
"W " 11 "M
�#
22
Fx == Li1 + Mi1i2 + L2i2 ś# = i1i2
1
ś#ź#
"x "x 22 "x
�# #
"L1 "L2
"M
= 0; = 0
ponieważ
Fx = i1i2
"x "x
"x
2 2
i1nR12 Ś12 ź0Hx R2 n2 ź0n1n2R12R2
1
Hx =�! M = = =
33
2
2
i1i1
2(R12 + d )
2 R12 + d22
()
2 2
"M "M 3ź0 i1i2nn2R12R2 d 3ź0 i1i2nn2R12R2
1 1
Fx = i1i2 = Fx = i1i2 = - E" -
5 4
2
"x "d 2 2d
2(R12 + d )
Znak  - oznacza w tym przypadku wzajemne przyciąganie się cewek,
R2 R1 Co ma zawsze miejsce przy indukcyjności wzajemnej dodatniej
Można powiedzieć, że kierunek wzajemnego oddziaływania cewek
R2 d
będzie zawsze taki, aby wynikłe stąd przesunięcie powodowało
wzrost indukcyjności wzajemnej.
R1 d
Siła oddziaływania magnesu
Ą# ń#�# ś#
1 B2 B2S
-Fdl = dW = 2 SdlĄ# �! F = - 2ś#ź#
ó#
2 ź0 Ś#�# 2ź0 #
Ł#
Dla pojedynczej przerwy
B2S F B2 1
F =- �! p = = = HB
2ź0 S 2ź0 2
Dla B=1T p=4 KG/cm2
Wzór ten pozwala obliczyć siły działające w:
- przekaz
nikach
- wirujących maszynach
- lewitacji magnetycznej
Przykład:
Elektromagnes w kształcie  U ma dz
wignąć masę 400kg ( razem z masą kotwicy
elektromagnesu ). Żelazne jarzmo ( �r=3000 ) ma przekrój 40 cm2 i średnią
długość 50 cm. Przerwa powietrzna wynosi 0,1 mm .
Zaniedbując reluktancję kotwicy obliczyć wymaganą liczbę zwoi cewki przy prądzie
wymuszającym 1 A.
2
BpS
mgź0 400�9,8�4 �10-7 Wb
2
F = 2 = mg �! Bp == = 1,11
40�10-4
2ź0 Sm2
z teorii obwodów magnetycznych:
� = NI =Ś(!p +!j)
lp 6�"106 lj
5�"106
!p = = , ! = =
j
ź0S 48  ź0źrS 48 
!p
6
ponieważ
� = � = NI
p
!p + ! 6 + 5
Bplp 11Bplp
j
� = H lp =�! N = -162zwoje
p p
ź0 6ź0I
Indukcyjność torów symetrycznych
2
a12
a23
1
a31
3
2r0
a2N
a1N
a3N
N
2rN
I
A
1 1
IB
2
2
IC
33
I = I + IB + IC
N A
N
N
l
Indukcyjność torów symetrycznych
Strumień okna: przewód 1; przewód N
źl a1N źl a2N źl a3N źl a1N
Ś1N = I ln + I ln + I ln + I ln
AB C N
2  r0 2  a12 2  a31 2  rN
Symetryzacja toru
IC
IB
I
A
1
1
IC
I
I
B A
2
2
IB
I
A
IC
3
3
I = I + IB + IC
N A
N
N
l /3
l /3 l /3
Indukcyjność torów symetrycznych
Strumień między prądem fazy A a przewodem neutralnym
ŚAN =Ś '1N +Ś '2N +Ś '3N = ?
Cykliczna zmiana indeksów co l/3
źl a1N źl a2N źl a3N źl a1N
Ś '1N = I ln + I ln + I ln + I ln
AB C N
6  r0 6  a12 6  a31 6  rN
źl a2N źl a3N źl a1N źl a2N
Ś '2N = I ln + I ln + IC ln + I ln
AB N
6  r0 6  a23 6  a12 2  rN
źl a3N źl a1N źl a2N źl a3N
Ś '3N = I ln + I ln + I ln + I ln
ABC N
6  r0 6  a31 6  a23 2  rN
stąd
źl a1Na2Na3N źl a1Na2Na3N źl a1Na2Na3N źl a1Na2Na3N
ŚAN = I ln + I ln + I ln + I ln
ABCN
6  r03 6  a12a23a31 6  a12a23a31 2  rN 3
Indukcyjność torów symetrycznych
10. Przy obciążeniu symetrycznym I = I e- j1200 ; I = I e- j 2400 ; I = 0
BA CA N
a12a23a31
źl
ŚAN = I ln = L1I
A A
6 
r03
3
a12a23a31
źl
Indukcyjność toru dla składowej zgodnej
L1 = L2 = ln H
[ ]
i przeciwnej
2  r0
20. Przy obciążeniu zerową kolejnością faz
I = I = IC = I ; I =3I
AB 00
N
(a1Na2Na3N )6
źl
ŚAN = I ln = L0 I
A 0
6 
9 Indukcyjność toru dla składowej
r03rN (a12a23a31)2
symetrycznej zerowej
(a1Na2Na3N )2
źl
L0 = I ln H
[ ]
A
2 
2
3
3
r0 rN (a12a23a31)
Ruch ładunku w jednorodnym polu magnetycznym
B
ma = qv� B
q
� � �
dv
m = qv� B
v
� � � dt
�#ś#
dvx dvy dvz
B = (0,0, Bz )
Zakładamy, że
m , m ,m = q vyBz,-vxBz,0
()
ś#ź#
dt dt dt
�# #
m dvx
vy =
i wstawiamy do 2)
z 1)
dvx
qBz dt
1) m = qvyBz
dt
d vx
m2 2 qBz
=-qvxBz
dvx
qBz dt2 m2
2) m =-qvxBz
dt
2 2
d vx q2Bz
dvz
+ vx = 0
3) m = 0�! vz = konst = 0
dt2 m2
dt
Ruch ładunku w jednorodnym polu magnetycznym
2
qBz d vx
2
jeżeli oznaczymy
�0 = �!+ �0vx = 0
mdt2
równanie to ma rozwiązanie vx = A1 sin�0t + A2 cos�0t
1 dvx
vy == A1 cos�0t - A2 sin�0t
�0 dt
współczynniki A1 i A2 wyznaczamy z warunków początkowych,
np. jeśli dla t=0
v(0) = (v0,0,0)�! v = v0(cos�0t,-sin�0t,0)
czyli rozpatrywana cząstka porusza się ze stałą prędkością v0 po leżącym na
płaszczyz
nie xy okręgu o promieniu R=v0/�0
Jeżeli cząstka ma niezerową składową vz to tor ruchu cząstki staje się liniąśrubową
Pole elektromagnetyczne
Pojęcie prądu przesunięcia
j
prąd wypływający z zamkniętej powierzchni S(V) wynosi:
j
dQ d "D
j o ds =- =- D o ds =- o ds

+"+" +"
dt dt "t
j S(V)
S (V ) S (V ) S (V )
j
�#ś# �#ś#
"D "D
j + o d s = 0 =
stąd
ś#ź#

+"+"divś# j + dt ź#dv
dt
S (V )�# # V �# #
�#ś#
"D
divś# j + = 0
ź#
Z dowolności V wynika
dt
�# #
"D
- jest bezz
ródłowy ( o wymiarze A/m2 )
j +
Czyli, wektor
dt
Całkując równanie po dowolnej powierzchni S
Pole elektromagnetyczne
Maxwell zaproponował rozszerzenie prawa przepływu dla pól zmiennych o
składową prądu przesunięcia
"D
rotH = j +
"t
co stanowi uogólnienie prawa przepływu dla magnetostatyki
"D
- gęstość prądu przesunięcia
"t
"D
- gęstość prądu całkowitego
j +
"t
Jest to II równanie Maxwella dla pól elektromagnetycznych
Pole elektromagnetyczne
otrzymamy całkową postać II równania Maxwella
�#ś#
"D
o d s czyli
+"rotH o d s = +"ś# j +ź#
"t
SS �# #
"D
H o dl = j o ds +
+"
+"+""t o ds
L(S ) S S
Prąd transportu
Prąd przesunięcia
"D
`" 0
j = 0
gdy to przy pole H jest wirowe
rotH `" 0
"t
Prąd polaryzacji i straty energii w dielektryku
Prąd przesunięcia składa się z dwóch części
"D "E "P
= �0 +
"t "t "t
-prąd polaryzacji związany z przemieszczaniem i obrotem dipoli
"P
- w próżni jest on zerowy
o ds
+"
"t
-ze wzrostem częstotliwości rośnie składowa prądu polaryzacji
S
obroty dipoli związane są ze stratami energii
Np. dla kondensatora płaskiego w jednostce objętości
�#ś#
11 "D
El oś# j +
ź#Sdt = E o jdt + E o d D
+"uidt =V +" +"+"
V "t
�# #
Energia pobrana
Ciepło Joule a
przez pole w materii
Równania Maxwella
Postać różniczkowa
Postać całkowa
I równanie Maxwella
"B
d
rotE =-
E o dl =- B o ds

+"+"
dt
"t
L(S ) S
"D
H o dl = j + ) o d s
II równanie Maxwella

+"+"( "t
L(S ) S
D o d s =
"D
v
rotH =
+"+"q dvj +
III równanie Maxwella
divD = qv
"t
S (V ) V
divB = 0
B o d s = 0
IV równanie Maxwella

+"
S (V )
D = �0 E + P
Równania materiałowe
D = � E = �0�r E
B = ź0 H + ź0 M
B = ź H = ź0źr E
j = ł E + qvu
Warunki brzegowe
E1t = E2t Pole elektryczne
n � E + n � E = 0
12
12
D2n - D1n = qs
n o D + n o D = qs
12
12
H2t - H1t = K
n � H + n � H = K
12
12
Pole magnetyczne
B2n = B1n
n o D + n o D = 0
12
12
n � E + n � E = 0
12
E1t = E2t 12
Pole przepływowe
"qs
"qs
n o j1 + n o j2 = -
j2n - j1n = - 12
"t
"t
V
Wektor Poyntinga
dV
Energia pobrana przez obszar dV
przez czas dt
dW = E o jdt + H od B + E o d D dV
( )
�#ś#
"B "D
dW = E o j + H o + E o dVdt
ś#ź#
"t "t
�# #
�#ś#
dW "B "D
Moc pobierana przez element dV = E o j + H o + E o dV
ś#ź#
dt "t "t
�# #
�#ś#
"B "D
a przez cały obszar V P = E o j + H o + E o dV
ś#ź#
+"
"t "t
V �# #
�#ś#
"B "D
E o j + H o + E o= E o j + H o (-rotE) + E o rotH - j =
ś#ź# ()
"t "t
�# #
= ErotH - HrotE = -div E � H
()
V
Wektor Poyntinga
dV
P =- E � H o d s
( ) ()
+"div E � H dV =-
+"
VS (V )
Moc wyprowadzenia energii poza obszar V
-P = E � H o d s
( )

+"
S (V )
Strumień wektora Jest mocą wypromieniowaną z obszaru V
E � H
( )
Wektor - wektor Poyntinga - wektor gęstości mocy [ W/m2]
= E � H
( )
Transport mocy w kablu jedno żyłowym
koncentrycznym
E

"
UI
�  = E � H = EH sin 90o = EH =
I
H
R2 2 r
r ln
R1
R2 2  R2
UI UI dr
E � H o d s = rdrd� = = UI = P = moc
()
+"+" +" +"
R2 R2 R1 r
SR1 0
2 r2 ln ln
R1 R1
2
11 I I I
I
E
EH = j = =
H
3
ł 2 R1 ł R12 2 R1 2 2ł R1
l j

2
Il
22
EHds = EH 2 R1l = 2 R1l = I = RI
3
+"
2 2ł R1 ł R12
S
Energia płynie do odbiornika przez przestrzeń otaczającą przewody
i częściowo dopływa ( jest tracona na ciepło ) do wnętrza przewodu
Linia 2 przewodowa
 E
E
�  "
"
"
H
H