OBWODY ELEKTRYCZNE i
MAGNETYCZNE
prawo Biot a-Savart a-Laplace a
prawo Biot a-Savart a-Laplace a
I
ź I dl � r
0
dB =�"
3
4  r
dl
ą r
ź I dl � r
0
B =�"
+"
L
3
L
4  r
prawo Biot a-Savart a-Laplace a
I
P ( x , y , z )
r = r - r
Pd l
d l
r
P
r
( x ', y ', z ')ą
r
d l
L
prawo Biot a-Savart a-Laplace a
r H" d
j P(x, y, z)
r = r - r
P dl
ź j � r
0
r
P
r
B = dV
+"
3
V
j
4  r
r
dl
V
Siła Lorentza
dF = Idl � B
F = d F
+"
B
L
F
I
F = qv � B
dl
wektor indukcji magnetycznej
B
F
[ ] NJ Vs
1T =1 B = =1 = 1 = 1
[ ]
22
I l Am Am m
[ ][ ]
Zasada superpozycji
B
" Pole wektorowe indukcji jest wytworzone
przez prądy płynące w przewodach,
B
" Jeżeli pole jest wytworzone przez układ
obwodów prądowych I1, I2, I3,....In, z których
każdy wytwarza odpowiednio pole
B , B , B ,.....B
123 n
" to pole wypadkowe jest ich superpozycją
n
B = B + B + B + ....+ B = B
"
123 ni
i=1
" y
ródłem pola magnetycznego są również ciała
magnetyczne
Moment mechaniczny działający na
obwód z prądem
na mały obwód z prądem I
I
M
F
umieszczony w polu indukcji
B
s
działa moment mechaniczny
siły
M = Is � B = m� B
F
s
gdzie: wektor powierzchni
m moment magnetyczny obwodu
M = Nm = J
[ ]
F
2
m = Am
[ ]
Pole indukcji dipola magnetycznego
" analogia z dipolem elektrycznym
m
M = p � E p = qh
F
B
" Przyjmuje się , że pole dipola
magnetycznego jest określone analogicznym
wzorem jak pole dipola elektrycznego
E
r
p r ź m r
0
E =-grad B =-grad
P
33
4 � r 4  r
0
P
" Dowolny makroskopowy obwód prądowy
można potraktować jako złożenie bardzo
małych obwodów ( dipoli magnetycznych ).
Pole indukcji dowolnego obwodu prądowego
Ids
S " z zasady superpozycji
I
ź Ids r
0
r
B = (-grad )
+"
P
3
S
B
4  r
" czyli
ź Ids r
0
B =-grad ()
+"
P
3
S
4  r
Ids
" można zauważyć,że
d�
ds r ds
r n
= = d�
32
rr
" stąd
P
ź I ź I
00
B =-grad d� =- (grad �)
+"
PP
�
4  4 
Pole indukcji dowolnego obwodu prądowego
można pokazać że:
r � dl
grad � =

+"
P
3
L
r
I
stąd
ź I dl � r
�
0
B =

+"
3
L
P
4  r
Wzór Laplace a, który wyraża prawo Biot a-Savart a w przypadku płaskim
ź I siną
0
B = dl

+"
2
L
4  r
Wirowość pola indukcji magnetycznej
ź I ź I
00
B dl =- grad� dl = (� -� )
+"+"
12
L12 L12
4  4 
P
w przypadku gdy krzywa L12 jest krzywą
2
I
zamkniętą
�
2
gdy krzywa L nie obejmuje
0
ż#
przewodu
B dl =

+"
�#
�
L
1
gdy krzywa L obejmuje
�#ź I
0
L
przewód
12
ogólnie
P
1
B dl = ź j d s

+"+"
0
L ( S ) S
Twierdzenia analizy wektorowej
" Twierdzenie Ostrogradskiego-
Gauss a
B d s = divBdV

+"+"
S (V ) V
" Twierdzenie Stokes a
B dl = rotB d s

+"+"
L ( S ) S
Rachunek operatorowy pola wektorowego
" Dywergencja lub rozbieżność
11
divB = lim B d s =lim B ds

+"+"
n
"V 0 "V 0
S ( "V ) S ( "V )
"V "V
" Rotacja lub cyrkulacja
1
rotB = lim B dl

+"
"S0
L ( "S )
"S
" kierunek wyznacza wektor normalny do "S
" zwrot definiuje prawoskrętność brzegu "S
Wirowość pola indukcji magnetycznej
B dl = ź j ds

+"+"
0
L ( S ) S
ds
j
Wykorzystując twierdzenie Stokes a
rotB d s = ź j d s
+"+"
0
L
SS
z dowolności S wynika, że
rotB = ź j
0
Wzór ten wyraża wirowość pola indukcji magnetycznej
Pole magnetyczne jest POLEM WIROWYM
a dla prądów makroskopowych w próżni przyjmuje postać
B dl = ź (ąI )
"

+"
0 i
S
L ( S )
Potencjał wektorowy pola magnetycznego
Idl = j �" sdl = jdV
ź I dl � r ź j � r
00
B =�" = dV
+"+"
33
LV
4  r 4  r
r 1
ale
=-grad( )
3
rr
ź I dl � r ź I 1
00
B =�" = -�" dl �"( )
+"+"
3
LL
4  rr
4 
" � ( f F) = f "� F + ("f )� F
korzystając z tożsamości
Przyjmując f=1/r i otrzymamy
F = dl
11 dl
dl �"( ) = ( )"� dl -"� ( )
rr r
Potencjał wektorowy pola magnetycznego
dl
" ponieważ nabla różniczkuje po zmiennych (x,y,z) a wektor jest
11
funkcją zmiennych (x ,y ,z ) to
" � dl = 0 dl �"( ) = -"כ# ś#
zatem
ś# ź#
rr
�# #
�# ź I dl ś# �# ź j ś#
00
B = rot = rot dV
+"+"
ś#ź# ś# ź#
LV
4  r 4  r
�# # �# #
Okazuje się, że wektor indukcji magnetycznej jest rotacją pola wektorowego,
które nazywamy MAGNETYCZNYM POTENCJAA
EM WEKTOROWYM
B = rot A ="� A
�# ź I dl ś# �# ź j ś#
Vs
00
A =1
[ ]
A == dV
+"+"
ś#ź# ś# ź#
m
LV
4  r 4  r
�# # �# #
Bezz
ródłowość pola magnetycznego
divB = div rot A = 0
( )
W magnetostatyce obowiązują relacje
divA = 0
2
" A =-ź j
0
Równanie Poissona dla potencjału magnetycznego