Konspekt jest współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
w projekcie:
"Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń
- zintegrowany rozwój Politechniki A
ódzkiej zarządzanie Uczelnią,
nowoczesna oferta edukacyjna
i wzmacniania zdolności do zatrudniania,
także osób niepełnosprawnych".
Materiały pomocnicze do przedmiotu
Obwody Elektryczne 3
Przedmowa
Materiały pomocnicze do przedmiotu Obwody Elektryczne 3 są przeznaczone głównie dla
studentów studiów niestacjonarnych. Mają ułatwić samodzielną naukę praktycznego
wykorzystania metod analizy obwodów poznawanych w ramach przedmiotu Obwody
Elektryczne 3. Materiały nie są typowym zbiorem zadań, nie zawierają propozycji zadań do
samodzielnego rozwiązania lecz zadania o niezbyt dużym stopniu trudności, których
rozwiązania są dokładnie opisane. Ma to służyć lepszemu zrozumieniu problemów analizy
obwodów, szczególnie w zakresie podstaw tej dziedziny. Opanowanie analizy obwodów w
zakresie przewidzianym przez zajęcia ćwiczeniowe z Obwodów Elektrycznych 3 wymaga
opanowania zagadnień zawartych w odpowiednich rozdziałach podręcznika: TEORIA
OBWODÓW, ZADANIA opracowanego pod redakcją profesora M.Tadeusiewicza.
2
Zadanie 1
Wyznacz opis łańcuchowy czwórnika przedstawionego na rys.1.1.
Z1
1 2
Z2
1 2
Rys.1.1
RozwiÄ…zanie
Do opisu czwórników wykorzystuje się cztery wielości związane z czwórnikiem: napięcie na
zaciskach wejściowych, prąd wejściowy, napięcie na zaciskach wyjściowych oraz prąd
wyjściowy. Są one przedstawione na rys.1.2.
i1
i2 2
1
u1
czwórnik u2
2
1
Rys.1.2. Wielkości używane w opisach czwórników
Do analizy układu, w którym występują dowolne sygnały nieokresowe może być
wykorzystane przekształcenie Laplace a. Do opisu czwórników wykorzystane zostaną zatem
wielkości operatorowe, które oznaczane są w następujący sposób:
U1(s) = u1 I1(s) = i1 U2(s) = u2 I2(s) = i2 (1.1)
Równania łańcuchowe czwórnika są jednymi z sześciu rodzajów wykorzystywanych do opisu
czwórników. Zależność (1.2) przedstawia równania łańcuchowe:
u1 = a11u2 + a12(- i2)
(1.2)
i1 = a21u2 + a22(- i2)
Postać macierzowa tych równań to:
u1 u2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= A
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
(1.3)
i1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚- i2 ûÅ‚
gdzie:
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
A =
ïÅ‚a a22 śł
ðÅ‚ 21 ûÅ‚
(1.4)
3
Współczynniki wiążące napięcia i prądy wejściowe oraz wyjściowe, które są elementami
macierzy A mogą zostać wyznaczone poprzez analizę układu czwórnika w dwóch różnych
stanach, np. w stanie zwarcia zacisków wyjściowych (rys.1.3) oraz w stanie jałowym, czyli w
stanie rozwarcia zacisków wyjściowych (rys.1.4).
i1
i2
1
u2 = 0
u1
czwórnik
Rys.1.3. Czwórnik w stanie zwarcia zacisków wyjściowych
i1
i2 = 0
1
u2
u1
czwórnik
Rys.1.4. Czwórnik w stanie rozwarcia zacisków wyjściowych
Analiza zależności (1.2) pozwala na wyznaczenie sposobu wyznaczenia wyrazów macierzy
łańcuchowej. Wyrazy a11 oraz a21 zostaną wyznaczone na podstawie analizy stanu
rozwarcia zacisków wyjściowych
u1 i1
a11 = a21 = (1.5)
u2 i2=0 u2 i2=0
Odpowiada to następującemu stanowi analizowanego czwórnika:
i1 Z1
i2 = 0
u2
u1
Z2
Rys.1.5. Stan rozwarcia zacisków wyjściowych analizowanego czwórnika
Na podstawie rys.1.5 można sformułować równania:
üÅ‚
u1 = i1(Z1 + Z2 )ôÅ‚
u1 i1(Z1 + Z2 ) (Z1 + Z2 ) Z1
Ò! a11 = = = = 1+
żł
Z2 Z2
u2 i1Z2
ôÅ‚
u2 = i1Z2 þÅ‚
i1 1
u2 = i1Z2 Ò! a21 = =
Z2
u2
4
Wyrazy a12 oraz a22 zostaną wyznaczone na podstawie analizy stanu zwarcia zacisków
wyjściowych czwórnika
u1 i1
a12 = a22 = (1.6)
-i2 u2=0 -i2 u2=0
Odpowiada to następującemu stanowi analizowanego czwórnika:
i1 Z1
i2
u2 = 0
u1
Z2
Rys.1.6. Stan zwarcia zacisków wyjściowych analizowanego czwórnika
Na podstawie rys.1.6 można sformułować równania:
u1 = i1Z1üÅ‚ u1 i1Z1
Ò! a12 = = = Z1
żł
i2 = -i1 þÅ‚ - i2 i1
i1
i2 = -i1 Ò! a22 = = 1
- i2
Poszukiwana macierz łańcuchowa czwórnika to:
Z1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1+ Z2 Z1śł
A = ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚
Z2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 2
Wyznacz opis admitancyjny czwórnika typu  przedstawionego na rys.2.1.
Y2
1 2
Y1
Y1
1 2
Rys.2.1
RozwiÄ…zanie
5
Opis admitancyjny czwórnika przedstawiajÄ… równania (2.1) ÷ (2.3).
i1 = y11u1 + y12u2
(2.1)
i2 = y21u1 + y22u2
W postaci macierzowej:
i1 u1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= Y
ïÅ‚i śł ïÅ‚u śł
(2.2)
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
gdzie:
y11 y12
îÅ‚ Å‚Å‚
Y =
ïÅ‚y y22 śł
ðÅ‚ 21 ûÅ‚ (2.3)
Podobnie, jak w zadaniu 1, wyrazy macierzy Y zostaną wyznaczone przez analizę dwóch
różnych stanów czwórnika. Z zależności (2.1) wynika, że najwygodniejszym sposobem
wyznaczenia poszukiwanych parametrów będzie analiza czwórnika ze zwartymi zaciskami
wyjściowymi, tzn. dla u2 = 0 oraz ze zwartymi zaciskami wejściowymi, tzn. przy u1 = 0 .
Pierwszy z tych stanów przedstawia rys.2.2.
i1
i2
Y2
u2 = 0
u1
Y1
Y1
Rys.2.2. Analizowany czwórnik przy zwartych zaciskach wyjściowych
Dla u2 = 0 zależności (2.1) przyjmują postać
i1 = y11u1
i2 = y21u1
Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:
i1 i2
y11 = y21 =
u1 u2 =0 u1 u2=0
Analiza obwodu z rys.2.2 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikajÄ… poszukiwane parametry:
i1
i1 = Y1 Å" u1 + Y2 Å" u1 = (Y1 + Y2 )u1 Ò! y11 = = Y1 + Y2
u1 u2 =0
i2
- i2 = Y2 Å" u1 Ò! y21 = = -Y2
u1 u2=0
Drugi z analizowanych stanów to stan zwarcia zacisków wejściowych czwórnika, u1 = 0 .
Stan ten przedstawiony jest na rys.2.3
6
i2
i1 Y2
u1 = 0
u2
Y1
Y1
Rys.2.3. Analizowany czwórnik przy zwartych zaciskach wejściowych
Dla u1 = 0 zależności (2.1) przyjmują postać:
i1 = y12u2
i2 = y22u2
Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:
i1 i2
y12 = y22 =
u2 u1=0 u2 u1=0
Analiza obwodu z rys.2.3 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikajÄ… poszukiwane parametry:
i1
i2 = Y1 Å" u2 + Y2 Å" u2 = (Y1 + Y2 )u2 Ò! y22 = = Y1 + Y2
u1 u2=0
i1
- i1 = Y2 Å" u2 Ò! y12 = = -Y2
u2 u2=0
Poszukiwana macierz admitancyjna to:
Y1 + Y2 - Y2
îÅ‚ Å‚Å‚
Y =
ïÅ‚
- Y2 Y1 + Y2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 3
L L
1 2
C
1 2
Rys.3.1
7
1. Wyznacz opis impedancyjny czwórnika typu T przedstawionego na rys.3.1 na
podstawie analizy dwóch wybranych jego stanów.
2. Wyznacz opis hybrydowy czwórnika korzystając z wyznaczonego w punkcie 1 opisu
impedancyjnego.
RozwiÄ…zanie
Punkt 1
Opis impedancyjny czwórnika przedstawiajÄ… równania (3.1) ÷ (3.3).
u1 = z11i1 + z12i2
(3.1)
u2 = z21i1 + z22i2
W postaci macierzowej:
u1 i1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= Z
ïÅ‚u śł ïÅ‚i śł
(3.2)
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
gdzie:
z11 z12
îÅ‚ Å‚Å‚
Z =
ïÅ‚z z22 śł
(3.3)
ðÅ‚ 21 ûÅ‚
Podobnie, jak w zadaniu 1, wyrazy macierzy Z zostaną wyznaczone przez analizę dwóch
różnych stanów czwórnika. Z zależności (3.1) wynika, że najwygodniejszym sposobem
wyznaczenia poszukiwanych parametrów będzie analiza czwórnika z rozwartymi zaciskami
wyjściowymi, tzn. dla i2 = 0 oraz z rozwartymi zaciskami wejściowymi, tzn. przy i1 = 0 .
Pierwszy z tych stanów przedstawia rys.3.2.
sL
i1 sL
i2 = 0
1
u2
u1
sC
Rys.3.2. Analizowany czwórnik przy rozwartych zaciskach wyjściowych
Dla i2 = 0 zależności (3.1) przyjmują postać
u1 = z11i1
u2 = z21i1
Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:
u1 u2
z11 = y21 =
i1 i2=0 i1 i2=0
8
Analiza obwodu z rys.3.2 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikajÄ… poszukiwane parametry:
1 1 u1 1
ëÅ‚ öÅ‚i
u1 = sL Å" i1 + Å" i1 = sL + Ò! z11 = = sL +
ìÅ‚ ÷Å‚
1
sC sC sC
íÅ‚ Å‚Å‚ i1 i2=0
1 u2 1
u2 = Å" i1 Ò! z21 = =
sC sC
i1 i2=0
Drugi z analizowanych stanów to stan rozwarcia zacisków wejściowych czwórnika, i1 = 0 .
Stan ten przedstawiony jest na rys.3.3.
sL
sL
i2
i1 = 0
1
u2
u1
sC
Rys.3.3. Analizowany czwórnik przy rozwartych zaciskach wejściowych
Dla i1 = 0 zależności (3.1) przyjmują postać:
u1 = z12i2
u2 = z22i2
Wynikają z nich następujące wartości dwóch poszukiwanych parametrów:
u1 u2
z12 = z22 =
i2 i1=0 i2 i1=0
Analiza obwodu z rys.3.3 pozwala na sformułowanie następujących równań, z których
wynikajÄ… poszukiwane parametry:
1 1 u2 1
ëÅ‚ öÅ‚i
u2 = sL Å" i2 + Å" i2 = sL + Ò! z22 = = sL +
ìÅ‚ ÷Å‚
2
sC sC sC
i2 i1=0
íÅ‚ Å‚Å‚
1 u1 1
u1 = Å" i2 Ò! z12 = =
sC sC
i2 i1=0
Poszukiwana macierz impedancyjna to:
1 1
îÅ‚sL + Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
sC sC
Z =
ïÅ‚ śł
1 1
ïÅ‚ sL + śł
ðÅ‚ sC sC ûÅ‚
Punkt 2
Równania hybrydowe czwórnika przedstawiajÄ… zależnoÅ›ci (3.4) ÷ (3.6)
9
u1 = h11i1 + h12u2
(3.4)
i2 = h21i1 + h22u2
W postaci macierzowej:
u1 i1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= H
(3.5)
ïÅ‚i śł ïÅ‚u śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚ 2 ûÅ‚
gdzie:
h11 h12
îÅ‚ Å‚Å‚
H =
ïÅ‚h h22 śł
(3.6)
ðÅ‚ 21 ûÅ‚
Poszukiwane parametry zostaną wyznaczone przez rozwiązanie równań (3.1) o znanych
współczynnikach względem napięcia u1 oraz prądu i2 . Pierwsze z równań (3.4) jest
związkiem napięć u1,u2 oraz prądu i1 . Z równań (3.1) należy zatem wyeliminować prąd i2 .
z12
Pomnożenie drugiego z równań przez - a następnie dodanie stronami obu równań
z22
pozwala na osiągnięcie tego celu.
u1 = z11i1 + z12i2
z12 z12z21
- u2 = - i1 - z12i2
z22 z22
Po dodaniu stronami i uporządkowaniu otrzymanego równania zgodnie z pierwszym
równaniem (3.4) otrzymuje się:
z12 z12 z21
u1 - u2 = z11i1 - i1
z22 z22
öÅ‚
z12 z21 z12 ëÅ‚ z12z21 z12
ìÅ‚ ÷Å‚
u1 = z11i1 - i1 + u2 = z11 - + u2
z22 z22 ìÅ‚ z22 ÷Å‚i1 z22
íÅ‚ Å‚Å‚
Porównanie ostatniej zależności z pierwszym równaniem (3.4) prowadzi do równań:
z12 z21 z12
h11 = z11 - h12 =
z22 z22
Przekształcenie drugiego równania (3.1) do postaci zgodnej z drugim równaniem (3.4) daje
następujący wynik:
u2 = z21i1 + z22i2
z21 1
i2 = - i1 + u2
z22 z22
Porównanie ostatniego równania z drugim równaniem (3.4) prowadzi do następujących
wyników:
10
z21 1
h21 = - h22 =
z22 z22
Poszukiwana macierz hybrydowa to:
z12 z21 z12
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚z11 -
z22 z22 śł
H = ïÅ‚ śł
z21 1
ïÅ‚ śł
-
ïÅ‚
z22 z22 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Po uwzględnieniu wyznaczonych w punkcie wartości elementów macierzy Z otrzymuje się:
1 1
Å"
z12 z21 1 s2LC +1 1 sL(s2LC + 2)
sC sC
h11 = z11 - = sL + - = -
1
z22 sC sC
sC(s2LC +1)= (s2LC +1)
sL +
sC
z12 1
h12 = =
z22 s2LC +1
z21 1
h21 = - = -
z22 s2LC +1
1 1 sC
h22 = = =
z22 sL + 1 s2LC +1
sC
îÅ‚ Å‚Å‚
sL(s2LC + 2) 1
ïÅ‚ śł
(s2LC +1) s2LC +1śł
ïÅ‚
H =
ïÅ‚ 1 sC śł
-
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ s2LC +1 s2LC +1ûÅ‚
Zadanie 4
Wyznacz opis stanowy obwodu przedstawionego na rys.4.1.
L
iL
iR
iC
e
C
uC
R2
R1
Rys.4.1
11
RozwiÄ…zanie
Opis stanowy układu liniowego ma postać:
dx
= Ax + b(t)
dt (4.1)
gdzie:
A = [aij]
n×n (4.2)
jest macierzÄ… stanu,
x = [x1 K xn]T
(4.3)
jest wektorem stanu, jego składowe xi ; i = 1,Kn to zmienne stanu, n jest rzędem obwodu a
b = [b1(t)K bn(t)]T
(4.4)
to wektor z
ródłowy. Wektor
dx1 dxn T
dx îÅ‚ Å‚Å‚
= K
ïÅ‚ śł
(4.5)
dt dt dt
ðÅ‚ ûÅ‚
jest wektorem pochodnych zmiennych stanu. Zależność (4.1) przedstawia n równań
następującej postaci :
dx1
= a11x1 + a12x2 +K + a1n xn + b1(t)
dt
dx2
= a21x1 + a22x2 +K + a2n xn + b2(t)
(4.6)
dt
M
dxn
= an1x1 + an2x2 +K + ann xn + bn(t)
dt
Cechą charakterystyczną równań (4.6) jest to, że po lewej stronie każdego równania
występuje pochodna zmiennej stanu, w każdym równaniu innej, po prawej stronie mogą
występować wszystkie zmienne stanu z odpowiednimi współczynnikami oraz elementy
wektora z
ródłowego.
Obwód z rys.4.1 jest układem drugiego rzędu. Jako zmienne stanu przyjęte zostają: napięcie
na kondensatorze uC (t) oraz prąd płynący przez cewkę iL(t). W przypadku prostych
obwodów, takich jak przedstawiony na rys.4.1, równania stanu można sformułować
posługując się prawami Kirchhoffa oraz zależnościami elementarnymi.
Prądowe prawo Kirchoffa dla każdego z dwóch węzłów obwodu ma postać:
iR + iC + iL = 0
Wielkość iL(t) jest zmienną stanu, iC (t) - pochodną zmiennej stanu. Z równania należy
zatem wyeliminować tylko prąd iR(t) zastępując go wyrażeniem zależnym wyłącznie od
zmiennych stanu oraz ewentualnie prÄ…du iC (t). PodstawiajÄ…c:
uC
iR =
R2
12
otrzymuje się zależność, która nie zawiera żadnych wielkości obwodowych poza zmiennymi
stanu oraz pochodną jednej z nich. Jest to zatem równanie stanu w nieuporządkowanej jeszcze
formie.
uC duC
iR + iC + iL = 0 Ò! + C + iL = 0
R2 dt
Wynikiem uporządkowania ostatniego równania zgodnie z formatem zależności (4.6) jest
pierwsze z równań stanu:
duC uC iL
= - -
dt CR2 C
W celu wyznaczenia drugiego równania stanu sformułowane zostaje napięciowe prawo
Kirchhoffa dla prawego oczka obwodu z rys.4.1.
diL
uC - L - e - iL R1 = 0
dt
Jest to równanie stanu, które wymaga uporządkowania zgodnie z zależnością (4.6).
diL uC R1 e
= - iL -
dt L L L
Poszukiwany opis stanowy to:
duC uC iL
= - -
dt CR2 C
diL uC R1 e
= - iL -
dt L L L
lub w postaci macierzowej:
1 1
duC îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
-
ïÅ‚- śłîÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ 0 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł uC
CR2 C
dt
e
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
diL = ïÅ‚ 1 R1 śłïÅ‚ iL śł +
ïÅ‚-
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ Lśł
ûÅ‚
-
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ dt ûÅ‚
ðÅ‚ L L ûÅ‚
Zadanie 5
Na rys.5.1 przedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.
Wyznacz rzÄ…d tego obwodu.
RozwiÄ…zanie
Rząd obwodu jest najmniejszą liczbą warunków początkowych niezbędnych do
jednoznacznego określenia stanu obwodu w dowolnej chwili.
13
R1
L7
i6
i7
L6
j9
e8
C3 u4
u3
R2
L5
C4
i5
Rys.5.1
Dla obwodów zawierających niezależne z
ródła napięciowe i prądowe oraz elementy R, L i C
(bez z
ródeł sterowanych) rząd obwodu jest równy liczbie cewek i kondensatorów obecnych w
obwodzie pomniejszonej o liczbę pętli CE (pętli zawierających wyłącznie kondensatory oraz
idealne z
ródła napięciowe) oraz liczbę przekrojów LJ (przekrojów zawierających wyłącznie
gałęzie z cewkami oraz idealnymi z
ródłami prądowymi).
n = nL + nC - nLJ - nCE (5.1)
gdzie: n jest rzędem obwodu, nL  liczbą cewek w obwodzie, nC  liczbą kondensatorów w
obwodzie, nLJ  liczbą przekrojów LJ a nCE  liczbą pętli CE.
Przedstawiony obwód zawiera 2 kondensatory oraz 3 cewki. Pierwszym przybliżeniem rzędu
obwodu jest liczba 5 (suma cewek i kondensatorów. Rząd obwodu ulega jednak obniżeniu o
liczbę pętli CE oraz liczbę przekrojów LJ. Na rys.5.2 przedstawione zostały znalezione pętle
CE oraz przekroje LJ.
R1
L7
i6
i7
L6
j9
e8
C3 u4
u3
R2
L5
C4
i5
Rys.5.2. Znalezione w obwodzie pętle CE oraz przekroje LJ.
14
W obwodzie jest jedna pętla CE, oznaczona kolorem czerwonym na rys.5.2 oraz jeden
przekrój LJ oznaczony na niebiesko na rys.5.2. Można sformułować zatem dwa równania. Dla
pętli CE  napięciowe prawo Kirchhoffa:
u3 + e8 - u4 = 0
oraz dla przekroju LJ  prÄ…dowe prawo Kirchhoffa
i5 + j9 + i6 + i7 = 0
Pierwsze równanie pozwala na wyznaczenie jednego z napięć na kondensatorach u3 lub u4
jeżeli znamy wartość drugiego. Jeden z warunków początkowych dla napięć na
kondensatorach staje się zbyteczny a rząd obwodu obniża się o 1. Drugie równanie pozwala
na obliczenie jednego z prądów cewek: i5, i6 lub i7 gdy znamy wartości dwóch pozostałych.
Jeden z warunków początkowych dla prądów staje się niepotrzebny a rząd obwodu ulega
obniżeniu o 1. Rząd obwodu wynosi zatem 3.
Zadanie 6
Na rys.6.1 przedstawiony jest obwód dynamiczny zawierający cewki i kondensatory.
Wyznacz opis stanowy tego obwodu. Jako zmienne stanu przyjmij prÄ…d cewki iL oraz
napięcia na kondensatorach: uC1 i uC2 .
uC1
C1
C2
uC2
R2
j
R1
R4
R5
L R3
iL
Rys.6.1
RozwiÄ…zanie
Do rozwiązania problemu zostanie zastosowana następująca koncepcja wyznaczania opisu
stanowego. Kolejność postępowania jest następująca:
1. zastąpienie kondensatorów z
ródłami napięcia o wartościach napięć z
ródłowych
równych napięciom na kondensatorach (są to zmienne stanu) oraz zastąpieniu cewek
z
ródłami prądu o wartościach prądów z
ródłowych równych prądom płynącym przez
cewki (są to też zmienne stanu)
2. rozwiązanie otrzymanego w ten sposób obwodu rezystancyjnego względem prądów
kondensatorów oraz napięć na cewkach
3. wprowadzenie do otrzymanych równań zależności:
15
duC diL
iC = C uL = L
dt dt (6.1)
4. podzielenie równań przez C lub odpowiednio L, co kończy formułowanie równań
stanu
Realizacja punktu 1 polega na zastąpieniu kondensatorów C1 oraz C2 idealnymi z
ródłami
napięciowymi o napięciach z
ródłowych: uC1 i uC2 oraz zastąpieniu cewki L idealnym
z
ródłem prądowym o prądzie z
ródłowym iL . Prowadzi to do otrzymania obwodu
rezystancyjnego przedstawionego na rys.6.2.
uC1
iC1
iC2
R2
uC2
j
R1
R4
R5
iL
R3
uL
Rys.6.2. Obwód rezystancyjny otrzymany po wprowadzeniu z
ródeł
zastępujących kondensatory oraz cewkę
Otrzymany obwód zostanie rozwiązany względem prądów płynących przez z
ródła napięciowe
zastępujące kondensatory: iC1 oraz iC2 i napięcia panującego na zaciskach z
ródła prądowego
zastępującego cewkę uL . Zastosowana będzie metoda superpozycji. Wyniki analiz
poszczególnych obwodów, w których obecne są kolejno różne z
ródła będą oznaczane
górnymi indeksami.
Pierwszym analizowanym obwodem będzie przedstawiony na rys.6.3. Powstał on przez
usunięcie z
ródeł zastępujących kondensatory i cewkę oraz pozostawienie w obwodzie jedynie
z
ródła prądowego j. Usunięcie z obwodu z
ródeł napięciowych związane jest ze zwarciem
zacisków tych z
ródeł, usunięcie z
ródła prądowego wymaga pozostawienia jego zacisków
rozwartych.
W obwodzie z rys.6.3 prąd płynie tylko przez opornik R1. Jest to prąd z
ródłowy j. Prądy w
obu gałęziach, w których znajdowały się kondensatory są równe 0.
( (
iC1) = 0 iC12) = 0 (6.2)
1
PÅ‚ynÄ…cy przez opornik R1 prÄ…d z
ródła powoduje powstanie napięcia, które jest równe napięciu
na zaciskach usuniętego z
ródła prądowego. Jego wartość wynika z prawa Ohma.
u(1) = - j Å" R1 (6.3)
L
16
iC1(1)
iC2(1)
R2
j
R1
R4
R5
R3
uL(1)
Rys.6.3. Pierwszy z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji
W drugim z analizowanych obwodów pozostawione zostanie z
ródło napięciowe uC1 . Inne
z
ródła zostają usunięte. Otrzymany w ten sposób obwód przedstawiony jest na rys.6.4.
uC1
iC1(2)
iC2(2)
R2
R1
R4
R5
R3
uL(2)
Rys.6.4. Drugi z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji
W obwodzie z rys.6.4 z
ródło uC1 wywołuje przepływ prądu przez opornik R2. Jego wartość
wynika z prawa Ohma.
uC1
(
iC2 ) = - (6.4)
1
R2
Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to
(
iC2 ) = 0 (6.5)
2
17
Ponieważ przez rezystory R1 oraz R4 nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.
Napięcie na rozwartych zaciskach z
ródła prądowego iL jest równe napięciu z
ródłowemu
uC1 .
u( 2 ) = uC1 (6.6)
L
Trzeci z analizowanych obwodów zawierający jedynie z
ródło uC2 przedstawiony jest na
rys.6.5.
iC1(3)
iC2(3)
uC2
R2
R1
R4
R5
R3
uL(3)
Rys.6.5. Trzeci z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji
W obwodzie z rys.6.5 z
ródło uC2 wywołuje przepływ prądu przez oporniki R4 oraz R5. Jego
wartość wynika z prawa Ohma.
uC2
(
iC3 ) = - (6.7)
2
R4 + R5
Drugi z prądów w gałęziach z kondensatorami to
(
iC3 ) = 0 (6.8)
1
Ponieważ przez rezystory R1, R2 oraz R3 nie płynie prąd, napięcia na ich zaciskach są równe 0.
Napięcie na rozwartych zaciskach z
ródła prądowego iL jest równe napięciu panującemu na
zaciskach rezystora R4. Wynosi ono:
R4
(
u( 3 ) = -iC3 ) Å" R4 = uC2 (6.9)
L 2
R4 + R5
Ostatni z analizowanych obwodów zawierający jedynie z
ródło prądowe iL przedstawiony
jest na rys.6.6. PrÄ…d z
ródła iL płynie przez rezystor R3, połączony szeregowo ze z
ródłem,
następnie przez równoległe połączenie oporników R4 oraz R5, przez bezoporową zworę
łączącą zaciski rezystora R2 i przez opornik R1. Prądy w gałęziach, w których były
umieszczone kondensatory wynoszÄ…:
(
iC4 ) = -iL (6.10)
1
18
i na podstawie zależności obowiązującej dla dzielnika prądowego:
R4
(
iC4 ) = -iL (6.11)
2
R4 + R5
iC1(4)
iC2(4)
R2
R1
R4
R5
iL R3
uL(4)
Rys.6.6. Czwarty z analizowanych obwodów zbudowany na mocy zasady superpozycji
Napięcie na z
ródle prądowym iL wynosi zgodnie z napięciowym prawem Kirchhoffa:
ëÅ‚ R4R5 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
u( 4 ) = -iL ìÅ‚ R3 + + R1 (6.12)
L
R4 + R5 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Podsumowanie otrzymanych wyników analizy czterech układów dla trzech poszukiwanych
wielkoÅ›ci, przedstawionych przez zależnoÅ›ci (6.2) ÷ (6.12) prowadzi do nastÄ™pujÄ…cych
wzorów:
uC1
( ( ( (
iC1 = iC1) + iC2 ) + iC3 ) + iC4 ) = 0 - + 0 - iL
1 1 1 1
R2
uC2 R4
( ( ( (
iC2 = iC12) + iC2 ) + iC3 ) + iC4 ) = 0 + 0 - - iL (6.13)
2 2 2
R4 + R5 R4 + R5
ëÅ‚
R4 R4R5 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
uL = u(1) + u( 2 ) + u( 3 ) + u( 4 ) = - j Å" R1 + uC1 + uC2 - iL R3 + + R1
L L L L
R4 + R5 ìÅ‚ R4 + R5 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwzględnienie zależności (6.1) prowadzi do równań stanu:
duC1 uC1 1
= - - iL
dt C1R2 C1
duC2 uC2 R4
= - - iL (6.14)
dt (R4 + R5)C2 (R4 + R5)C2
ëÅ‚
diL R1 1 R4 R4R5 öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
= - j Å" + uC1 + uC2 - iL ìÅ‚ R3 + + R1
dt L L (R4 + R5)L R4 + R5 ÷Å‚ L
íÅ‚ Å‚Å‚
19
Postać macierzowa tych równań to:
Å‚Å‚
1
duC1 îÅ‚ 1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- 0 - śł
ïÅ‚ śł Å‚Å‚
C1R2 C1
ïÅ‚ śł
dt
uC1 îÅ‚ 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚du śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 R4
ïÅ‚u śł
C2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= 0 - - Å" + 0 (6.15)
ïÅ‚
dt (R4 + R5)C2 (R4 + R5)C2 śł ïÅ‚ C2 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
R1
śł
ïÅ‚ śł
iL ïÅ‚- j Å"
diL ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł śł
ëÅ‚
ïÅ‚ R4 R4R5 öÅ‚ śł
1 1
ðÅ‚ L ûÅ‚
ïÅ‚ śł ÷Å‚
- ìÅ‚
R3 + + R1
ïÅ‚
dt
ìÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
L (R4 + R5)L R4 + R5 ÷Å‚ Lśł
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Zadanie 7
W układzie przedstawionym na rys.7.1 oblicz prądy fazowe i przewodowe oraz
narysuj wykres wskazowy. Generator jest symetryczny.
EA Zp IA A
UAB
ZAB
ICA
IAB
Zp IB B
EB
IBC ZBC ZCA
UBC
Zp
EC IC
C
UCA
Rys.7.1
Dane:
EA = EB = EC = 230V ; Z = (10 + j20)&!; Z = 100&!; ZBC = ZCA = (50 + j50)&!
p AB
RozwiÄ…zanie
Odbiornik połączony jest w trójkąt. W celu wyznaczenia prądów przewodowych oraz
fazowych należy zamienić trójkąt obciążenia na równoważną gwiazdę zgodnie z
zależnościami podanymi poniżej.
Z ZCA
AB
Z =
A
Z + ZBC + ZCA
AB
ZBCZ
AB
ZB = (7.1)
Z + ZBC + ZCA
AB
ZCAZBC
ZC =
Z + ZBC + ZCA
AB
Po wprowadzeniu do zależności (7.1) wartości liczbowych określających impedancje trójkąta
otrzymuje siÄ™:
Z ZCA 100(50 + j50)
AB
Z = = = (30 + j10)&!
A
Z + ZBC + ZCA 200 + j100
AB
20
Z Z 100(50 + j50)
BC AB
ZB = = = (30 + j10)&!
Z + ZBC + ZCA 200 + j100
AB
ZCAZ (50 + j50)(50 + j50)
BC
ZC = = = (10 + j20)&!
Z + Z + ZCA 200 + j100
AB BC
IA A
EA Zp ZA
UA
EB Zp IB B
ZB
0
0
UB
EC Zp
IC C ZC
UC
U0
Rys.7.2. Analizowany obwód po zamianie obciążenia trójkątowego na gwiazdę
Do dalszej analizy układu założona zostaje zerowa faza początkową EA . Stąd:
EA = 230V
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
÷Å‚
EB = EAa2 = 230ìÅ‚- - j = (-115 - j199)V (7.2)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 3
÷Å‚
EC = EAa = 230ìÅ‚- + j = (-115 + j199)V
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Początkiem analizy układu z rys.7.2 jest wyznaczenie napięcia U0 pomiędzy punktami
gwiazdowymi generatora i odbiornika. Określa je zależność (7.3).
EA EB EC
+ +
Z + Z ZB + Z ZC + Z
A p p p
U0 = (7.3)
1 1 1
+ +
Z + Z ZB + Z ZC + Z
A p p p
Podstawienie wartości liczbowych daje w wyniku:
EA EB EC
230 -115 - j199 -115 + j199
+ +
+ +
Z + Z ZB + Z ZC + Z
40 + j30 40 + j30 20 + j40
A p p p
U0 = = =
1 1 1 1 1 1
+ + + +
Z + Z ZB + Z ZC + Z 40 + j30 40 + j30 20 + j40
A p p p
= (29,21+ j24,03)V
21
Wyznaczona wartość napięcia U0 pozwala na obliczenie prądów przewodowych. Zależności
pozwalające na obliczenie tych prądów otrzymuje się na podstawie napięciowego prawa
Kirchhoffa dla pętli utworzonych przez przewód każdej fazy oraz domkniętych strzałką
napięcia U0 .
EA -U0
EA - I (Z + Z )-U0 = 0 Ò! I =
A A p A
Z + Z
A p
EB -U0
EB - IB(ZB + Z )-U0 = 0 Ò! IB = (7.4)
p
ZB + Z
p
EC -U0
EC - IC(ZC + Z )-U0 = 0 Ò! IC =
p
ZC + Z
p
Po podstawieniu do zależności (7.4) wartości liczbowych otrzymuje się prądy przewodowe.
EA -U0 230 - 29,21- j24,03
I = = = (2,92 - j2,79)A
A
Z + Z 40 + j30
A p
EB -U0 -115 - j199 - 29,21- j24,03
I = = = (- 4,98 - j1,84)A
B
ZB + Z 40 + j30
p
EC -U0 -115 + j199 - 29,21- j24,03
IC = = = (2,06 + j4,63)A
ZC + Z 20 + j40
p
Znajomość prądów przewodowych pozwala na wyznaczenie napięć fazowych odbiornika
połączonego w trójkąt. Można je wyznaczyć z równań sformułowanych na podstawie
napięciowego prawa Kirchhoffa dla dwóch impedancji odbiornika z rys.7.2:
U = I Z - I Z
AB A A B B
U = I ZB - IC ZC (7.5)
BC B
UCA = IC ZC - I Z
A A
Druga możliwość wyznaczenia napięć odbiornikowych to napięciowe prawa Kirchhoffa
napisane dla generatorów oraz napięć na impedancjach przewodów dwóch faz. Równania te
mogą być formułowane zarówno dla układu z rys.7.3 jak też z rys.7.4.
U = EA - EB - Z I + Z IB
AB p A p
UBC = EB - EC - Z IB + Z IC (7.6)
p p
UCA = EC - EA - Z IC + Z I
p p A
Podstawiając do zależności (7.5) wyznaczone wartości prądów przewodowych otrzymuje się
napięcia U ,UBC,UCA odbiornika:
AB
U = I Z - I Z = 115,5 - j54,5 +131+ j105 = (246,5 + j50,5)V
AB A A B B
U = I Z - IC ZC = -131- j105 + 72 - j87,5 = (- 59 - j192,5)V
BC B B
UCA = IC ZC - I Z = -72 + j87,5 -115,5 + j54,5 = (-187,5 + j142)V
A A
Znajomość napięć fazowych odbiornika pozwala na wyznaczenie prądów fazowych
I ,IBC,ICA odbiornika połączonego w trójkąt.
AB
22
U 246,5 + j50,5
AB
I = = = (2,47 + j0,51)A
AB
Z 100
AB
UBC - 59 - j192,5
IBC = = = (- 2,52 - j1,34)A
ZBC 50 + j50
UCA -187,5 + j142
ICA = = = (- 0,46 + j3,30)A
ZCA 50 + j50
Wykres wskazowy prądów i napięć analizowanego obwodu przedstawiony jest na rys.7.3.
EC UC+ICZp
IC ICA
IA
U0 0
IAB
UA+IAZp
IBC
0 EA
IB
EB UB+IBZp
Rys.7.3. Wykres wskazowy prądów i napięć analizowanego obwodu
Kolorem czerwonym oznaczone sÄ… prÄ…dy fazowe, zielonym  prÄ…dy przewodowe. PrÄ…dy
przewodowe są różnicą odpowiednich prądów fazowych.
Kolorem niebieskim oznaczone są napięcia na impedancjach połączenia gwiazdowego oraz
impedancjach przewodów w każdej fazie układu z rysunku 7.2. Punkt 0 oraz napięcie U0
istnieje tylko w układzie z rys.7.2.
Rysowanie wykresu rozpoczyna się od symetrycznej gwiazdy napięć generatora EA ,EB ,EC .
Przy jej rysowaniu należy uwzględnić poczynione założenie, zależności (7.2). Z punktu
początkowego narysowanych napięć generatorów wykreśla się napięcie U0 , którego wartość
została wyznaczona zgodnie ze wzorem (7.3). Koniec wskazu napięcia U0 jest punktem
gwiazdowym 0 zastępczego odbiornika (rys.7.2). Wskazy, których początkiem jest punkt 0 a
końcami są zakończenia wskazów napięć generatora są napięciami panującymi na fazach
23
odbiornika gwiazdowego oraz impedancjach przewodów w odpowiednich fazach. Prądy
przewodowe są ilorazem tych napięć oraz impedancji fazowych odbiornika gwiazdowego
powiększonych o impedancje przewodów. Na wykresie są umieszczone wskazy prądów
fazowych odbiornika trójkątowego (kolor czerwony) oraz prądy przewodowe (kolor zielony),
wykreślone jako różnice odpowiednich prądów fazowych.
Zadanie 8
W układzie z rys.8.1 wyznacz prądy przewodowe. Narysuj wykres wskazowy. Generator jest
symetryczny.
IA ZA=0
EA
UA ZB
EB IB
0
0
EC IC UB ZC
U0
Uc
Rys.8.1
Dane: EA = EB = EC = 230 V; Z = 0; Z = (100 - j100)&!; ZC = (100 + j100)&!
A B
RozwiÄ…zanie:
Układ badany jest niesymetrycznym układem trójprzewodowym ze zwarciem w fazie A.
Analiza układu rozpoczyna się od wyznaczenia napięcia U0 na podstawie zależności (7.3).
W obliczeniach należy uwzględnić, że impedancja fazy A jest zerowa, tzn. YA " . Na
potrzeby rozwiązania zostaje poczynione również założenie: EA = EA = 230V .
YA YB YC
EA + EB + EC
EAYA + EBYB + ECYC YA YA YA EA
U0 = = = = EA
YA YB YC
YA + YB + YC 1
+ +
YA YA YA
Znajomość napięcia U0 umożliwia obliczenie napięć odbiornikowych w analizowanym
układzie:
U = EA -U0 = 0
A
5Ä„
- j
6
UB = EB -U0 = EB - EA = EBA = 230 3e V
5Ä„
j
6
UC = EC -U0 = EC - EA = ECA = 230 3e V
24
Prądy fazowe odbiornika, które w tym przypadku są także prądami przewodowymi, są
ilorazami wyznaczonych napięć odbiornikowych oraz impedancji fazowych odpowiednich
faz. Dla fazy A nie można wykorzystać podanego sposobu obliczenia prądu, ponieważ po
0
podstawieniu wartości napięć i impedancji fazy A otrzymujemy symbol . Dla faz B oraz C
0
odbiornika wyznaczone zostają następujące wartości prądów (są to jednocześnie prądy
fazowe i przewodowe):
Ä„ Ä„
- j j
4 4
ZB = (100 - j100) = 100 2e &! ZC = (100 + j100) = 100 2e &!
5Ä„
- j
7Ä„
6
- j
EB -U0 230 3e
12
I = = = 1,15 6 e A = (- 0,729 - j2,721)A
B
Ä„
ZB
- j
4
100 2e
5Ä„
j
7Ä„
6
j
EC -U0 230 3e
12
IC = = = 1,15 6 e A = (- 0,729 + j2,721)A
Ä„
ZC
j
4
100 2e
PrÄ…d fazy A zostaje wyznaczony na podstawie prÄ…dowego prawa Kirchhoffa dla punktu 0
odbiornika:
I + IB + IC = 0 Ò! I = -(IB + IC ) = 1,458 A
A A
UC
IC
EC
ĆC
-IA
EA=U0 IA
0
0
ĆB
IB
EB
UB
Rys.8.2. Wykres wskazowy układu z rys.8.1
25
Sposób rysowania wykresu jest następujący. Zaczyna się od symetrycznej gwiazdy napięć
generatora: EA ,EB ,EC . Następnie z punktu, który jest początkiem wskazów napięć
generatora (punkt 0) wykreślone zostaje napięcie U0 (na podstawie obliczeń). Jego koniec
wyznacza położenie punktu 0 . Wskazy mające początek w punkcie 0 , a końce w punktach
będących końcami wskazów napięć generatora to napięcia fazowe odbiornika. Prądy faz B i C
są przesunięte względem napięć o kąty fazowe impedancji znajdujących się w fazach B i C.
Prąd fazy A wynika z PPK. Jego konstrukcja polega na znalezieniu sumy wskazów prądów
I ,IC , która jest równa - I a następnie znalezieniu wskazu przeciwnego do niego.
B A
Zadanie 9
Obliczyć wskazania mierników w układzie przedstawionym na rys.9.1 oraz narysować
wykres wskazowy dla dwóch przypadków:
1. wyłącznik w1 jest zamknięty a wyłącznik w2 otwarty,
2. wyłącznik w1 jest otwarty a wyłącznik w2 zamknięty.
L
IA
A
W1
L
w1
R
IB
B
C
R
IC
C
W2
L
L
R
w2
C
A
Rys.9.1
Dane: R=ÉL=1/ÉC=20&!, |Up|=400V, zasilanie symetryczne o zgodnej kolejnoÅ›ci faz,
impedancja przewodów jest pomijana
RozwiÄ…zanie
Punkt 1:
Na rysunku 9.2 przedstawiony został układ, który powstał po zamknięciu wyłącznika w1 oraz
otwarciu wyłącznika w2. Zamknięcie wyłącznika w1 zapewnia symetryczne zasilanie całego
układu (wszystkie fazy zasilania są doprowadzone do odbiornika). Otwarcie wyłącznika w1
spowodowało rozdzielenie części odbiorczej układu trójfazowego na dwa niezależne
odbiorniki połączone w gwiazdę, których punkty gwiazdowe (zerowe) są rozłączone.
Powoduje to powstanie ogólnie różnych napięć między punktem zerowym generatora oraz
punktami zerowymi każdego z układów.
26
L
IA
A IA 
W1
IA
w1
R
IB
IB 
B
0 
IB
R
IC
C IC 
W2
IC
L
R
w2
A
0
Rys.9.2. Analizowany układ w konfiguracji połączeń odpowiadającej punktowi 1
Oznaczenia punktów zerowych obu układów oraz ich prądów fazowych są na rys.9.2 różne
(odróżniają je różne dodatki do symboli:  lub   . W porównaniu do rys.9.1 rys.9.2 zawiera
jeszcze dwie zmiany. Połączenie równoległe elementów L i C w fazie B odbiornika z
punktem zerowym 0  zostało zastąpione przerwą, ponieważ admitancja tego połączenia jest
równa 0 (równe moduły reaktancji elementów L oraz C). W połączeniu tym zachodzi
rezonans prądów. Szeregowe połączenie elementów L i C występujące w fazie C odbiornika z
punktem zerowym 0 zostało zastąpione zwarciem ponieważ impedancja tego połączenia
równa jest 0 (równe moduły reaktancji elementów L oraz C). Prądy każdego z dwóch
odbiorników układu z rys.9.2 są niezależne od siebie, są rezultatem dwóch różnych napięć
punktów zerowych względem punktu zerowego generatora.
W przewodzie łączącym punkty zerowe 0 oraz 0  jest przerwa (wyłącznik w2 jest otwarty,
nie przewodzi prądu) a więc wskazanie amperomierza Iamp = 0 . Napięcie U0 obliczone
zostaje w oparciu o zależność 7.3. Zostaje założona zerowa wartość fazy początkowej
napięcia generatora w fazie A, EA = 230 V . Ze względu na zwarcie w fazie C pierwszego
odbiornika (na rys.9.2 jest on umieszczony w dolnej części schematu) YC " napięcie jego
punktu gwiazdowego względem punktu gwiazdowego generatora wynosi:
YA YB YC
EA + EB + EC
2Ä„
j
EAYA + EBYB + ECYC YC YC YC EC 400
3
U0' = = = = EC = e V
YA YB YC
YA + YB + YC 1
3
+ +
YC YC YC
Obliczona wartość napięcia U0' pozwala na wyznaczenie prądów odbiornika pierwszego.
Wyznaczenie prądów w fazach A oraz C następuje na podstawie zależności (7.4).
27
Ä„
- j
Ä„
6 - j
EA - EC 400e
6
I'A = = = 20e A = (17,32 - j10)A
R 20
EB - EC - j400
I' = = = -20 A
B
jÉL j20
PrÄ…d fazy zwartej, fazy C wyznaczony zostaje na podstawie prÄ…dowego prawa Kirchhoffa:
'
IC = -(I'A + I' )= -(10 3 - j10 - 20)= (2,68 + j10)A
B
IC
0
EC = U0
IB
IA
UA
0
EA
UB
EB
Rys.9.3. Wykres wskazowy pierwszego odbiornika
Układ z punktem gwiazdowym 0  to układ z przerwą w fazie B, w której występuje rezonans
prądów cewki L i kondensatora C. Przy otwartym wyłączniku w2 obowiązuje równanie:
' ''
I'A + I'' + IC = 0
B
Prąd IB  =0. Wynika stąd, że:
I'' =0
B
' '' ' '' ' ''
I'A + I'' + IC = 0 I'A + IC = 0 Ò! I'A = -IC
B
Ò!
Zatem słuszne jest napięciowe prawo Kirchhoffa:
' '' '
U - I'A jÉL + IC R = 0 Ò! U = I'A(R + jÉL)
AC AC
PrÄ…dy w drugim odbiorniku to:
Ä„
- j
5Ä„
6
- j
U 400e
' '' AC
12
I'A = -IC = = = 10 2 e A = (3,66 - j13,66)A
R + jÉL 20 + j20
28
EC
UC  
EA
0
IC 
UA  
U0 
0 
IA 
EB
Rys.9.4. Wykres wskazowy drugiego odbiornika
Prądy przewodowe faz A oraz C całego układu niezbędne do wyznaczenia wskazań
watomierzy znajduje się jako sumy prądów fazowych obu odbiorników.
I = I'A + I" = 17,32 - j10 + 3,66 - j13,66 = (20,98 - j23,66)A
A A
' ''
IC = IC + IC = 2,68 + j10 - 3,66 + j13,66 = (- 0,98 + j23,66)A
IC
EC = U0
IB IC
UC  
IA
IB
UA
IC  0
EA
UA  
U0 
IA
IA 
UB
EB
Rys.9.5. Wykres wskazowy całego układu dla przypadku 1
29
Wskazania watomierzy obliczane są na podstawie znanych zależności:
"
PW1 = Re{U I }= {- j400(20,98 + j23,66)}= 9464 W
BC A
"
PW 2 = Re{UCB IC}= {j400(- 0,98 - j23,66)}= 9464 W
Punkt 2:
Układ przedstawiony na rys.9.6 składa się z dwóch odbiorników, z których każdy połączony
jest w gwiazdÄ™.
L
IA
A IA 
W1
IA
w1
R
IB
IB 
B
0 
IB
R
IC
C IC 
W2
IC
Iamp
L
R
w2
A
0
Rys.9.6. Analizowany układ w konfiguracji połączeń odpowiadającej punktowi 2
Punkty gwiazdowe obu odbiorników 0 oraz 0  posiadają wspólny potencjał, ponieważ są
połączone przewodem bezoporowym (wyłącznik w2 jest zamknięty). Zatem:
' ''
U0 = U0 = U0
Otwarty wyłącznik w1 powoduje przerwę w fazie B. Prądy fazowe obu odbiorników w tej
fazie i prąd całego układu są zatem równe 0:
I' = I'' = I = 0
B B B
W fazie C pierwszego odbiornika jest w dalszym ciÄ…gu zwarcie. Obliczona w punkcie 1
wartość napięcia U0 pozostaje nadal aktualna.
' ''
U0 = U0 = U0 = EC
Przez opornik R umieszczony w fazie C drugiego odbiornika prąd nie płynie bo napięcie na
tym elemencie jest zerowe.
''
IC = 0
30
Wyznaczone napięcie U0 pozwala na obliczenie prądów w fazie A obu odbiorników oraz
całego układu.
Ä„
- j
2Ä„
6 - j
U 400e
AC
3
I '' = = = 20e A
A
jÉL j20
Ä„
- j
Ä„
6 - j
U 400e
AC
6
I ' = = = 20e A
A
R 20
5Ä„
- j
12
I = I '+I '' = 20 2 e A = (7,32 - j27,32)A
A A A
Ponieważ w fazie B jest przerwa to prąd całego układu w fazie B nie płynie. Zatem
IB =0
I + IB + IC = 0 Ò! I + IC + 0 Ò! IC = -I
A A A
EC = U0 = U0 
0 =0 
UA 
0
IA = - IC
EA
UB 
EB
Rys.9.7. Wykres wskazowy całego układu dla przypadku 2
Prądy w fazach B oraz C drugiego odbiornika nie płyną. Wynika stąd wartość prądu
amperomierza. Przez amperomierz płynie następujący prąd:
'' '
I'' = IC = 0 Ò! I'A = Iamp Ò! Iamp = 20 A
B
31
Wskazanie watomierza W1 wynika z zależności, która posłużyła do wyznaczania wskazań
watomierzy w punkcie 1.
"
PW1 = Re{U I }= {- j400(7,32 + j27,32)}= 10928W
BC A
Wskazanie watomierza W2 wynika z zerowej wartości napięcia panującego na jego cewce
napięciowej. Początek cewki napięciowej jest zwarty z jej końcem przez cewkę prądową
watomierza, na której panuje zerowe napięcie, zwartą fazę C pierwszego odbiornika oraz
cewkę L znajdującą się w fazie B pierwszego odbiornika, przez którą nie płynie prąd gdyż
jeden z jej końców jest dołączony do punktu, który nie jest połączony z żadnym innym
elementem układu.
PW 2 = 0 (UW 2 = 0)
32