PrÄ…d elektryczny
obwody elektryczne
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
NatÄ™\
enie prÄ…du elektrycznego
A
adunek dq przechodzi przez umownÄ…
płaszczyznę aa albo bb itd., w ciągu interwału
czasu dt. NatÄ™\
enie prÄ…du I:
I = dq / dt.
Całkowity ładunek przepływający
przez umowną płaszczyznę
w interwale czasu (0,t)
t
q = I t dt .
( )
+"
0
1 Amper =1A = 1 kulomb na sekundÄ™ =1C/s
NatÄ™\
enie prÄ…du elektrycznego
jest skalarem
Strzałki wskazują kierunek
ruchu Å‚adunku.
A
adunek jest zachowany
b
a
Przez płaszczyznę aa w czasie
dt przechodzi Å‚adunek dq0:
I=dq0/dt.
Przez płaszczyznę bb w czasie dt
a
b
tak\
e przechodzi Å‚adunek dq0.
Przez górną gałąz
przechodzi dq1,
przez dolnÄ… dq2: dq1+dq2=dq0.
dq1 dq2
I0 = + = I1 + I2 .
dq1+dq2=dq0|:dt
dt dt
Obwód elektryczny
ProstokÄ…t zaznaczony
kolorem niebieskim jest
pewnym elementem
przewodzÄ…cym obwodu.
U
Przez obwód płynie prąd o
natÄ™\
eniu I.
Bateria B utrzymuje stałą
ró\
nicę potencjału U. Przez
Ilość dq ładunku,
obwód płynie prąd o natę\
eniu
który przepłynie w
I skierowany od zacisku a do
interwale czasu dt:
zacisku b.
dq=Idt
Czym mo\
e być element?
Element mo\
e być np.:
a)opornikiem, wtedy energia chemiczna baterii
zamienia się w ciepło,
b) bateriÄ… Å‚adowalnÄ…, wtedy energia chemiczna
z
ródła zamienia się w energię chemiczną
Å‚adowanej baterii,
c) silnikiem, wtedy energia chemiczna zamienia
siÄ™ w energiÄ™ mechanicznÄ….
Moc
Ilość ładunku dq, który przepłynie pomiędzy
zaciskami a i b w interwale czasu dt: dq=Idt.
Praca dW jakÄ… wykona z
ródło przenosząc
Å‚adunek:
dW=dqU=IdtU
Moc P zwiÄ…zana z tÄ… pracÄ…:
P=dW/dt=UI
Bateria przekazuje energiÄ™ elementowi.
Energia przekazana w jednostkowym
interwale czasu jest mocÄ… baterii.
Jednostka mocy
P=dW/dt=UI
1 VÅ"1 A=(1 J/C)Å"(1 C/s)=1 J/s= 1 W.
Moc dla obwodu zawierajÄ…cego
opór R
P=UI
Poniewa\
R=U/I
eliminujÄ…c U otrzymamy:
P=RI2.
EliminujÄ…c I otrzymamy:
P=U2/R.
Odkrycie nadprzewodnictwa
Zale\
ność oporu próbki rtęci od temperatury
bezwzględnej. Ten wykres zrobiony przez Onnesa
dokumentował odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa.
R &!
Hg
0.1
R<10-5 &!
T K
0
4.1 4.3
4.2 K
Odkrycie nadprzewodnictwa
Wynik otrzymany współcześnie
Wynik otrzymany współcześnie
Czego mo\
na było oczekiwać?
Czego mo\
na było oczekiwać?
Metal normalny
-183 0 C
nadprzewodnik
Temperatura K
Opór (m
&!
)
opór
Niszczenie zjawiska nadprzewodnictwa
przez pole magnetyczne.
" W 1914 r. Onnes stwierdził, \
e dostatecznie
silne pole magnetyczne niszczy nadprze-
wodnictwo.
" Prąd elektryczny płynący przez nadprzewo-
dnik wytwarza pole magnetyczne. Zatem
przez nadprzewodniki odkryte przez Onnesa
(nadprzewodniki I rodzaju) nie mo\
na prze-
puszczać silnych prądów.
" Wydawało się, \
e nale\
y porzucić nadzieję na
realizacjÄ™ linii energetycznych bez strat.
Przeszkodą były tak\
e bardzo niskie tempe-
ratury niezbędne dla istnienia nadprzewod-
nictwa.
Dalsze odkrycia Onnesa
" W 1914 Onnes odkrył sposób wytwarzania
trwałego prądu: je\
eli przepuścić prąd
przez pierścień nadprzewodzący to będzie
on płynął latami bez zanikania.
" Póz
niej okazało się, \
e przez pierścienie
płyną tylko takie prądy, które wytwarzają
kwantowane strumienie pola magnetycz-
nego przez otwory w pierścieniach.
" Cewka, w której płynie taki prąd mo\
e
słu\
yć do przechowywania energii.
y
ródła siły elektromotorycznej E
Aby podtrzymać stały przepływ ładunku
potrzebne jest urządzenie, które wykonując pracę
nad nośnikami ładunku, utrzymuje ró\
nicÄ™
potencjału pomiędzy parą swoich zacisków. Takie
urzÄ…dzenie nazywa siÄ™ z
ródłem siły elektromoto-
rycznej (SEM).
Przykłady SEM:
" Ogniwo elektryczne (bateria elektryczna),
" prÄ…dnica,
" ogniwa paliwowe,
" termoogniwa,
" węgorze (electrophorus).
Przeciwdziałanie powrotowi
do stanu równowagi
Je\
eli przyło\
one do przewodnika pole elektry-
czne nie jest podtrzymywane, a obwód jest
zamknięty, to przemieszczanie się ładunku
doprowadzi do zaniku tego pola i Å‚adunek
przestanie płynąć.
Aby podtrzymać przepływ prądu nale\
y w przy-
padku dodatnich nośników ładunku do końca
przewodnika o ni\
szym potencjale stale odpro-
wadzać przynoszone przez prąd ładunki, a do
końca o wy\
szym potencjale je doprowadzać.
Praca wykonana nad Å‚adunkiem
Õ1
Õ2
W12=qE
Spadek napięcia U12 na danym odcinku obwodu
U12=W12/q= E .
Ogniwo Westona
Ogniwo galwaniczne w którym elektrodę dodatnią
stanowi rtęć, ujemną amalgamat kadmu, a elektrolitem
jest roztwór nasycony siarczanu kadmu. Nad rtęcią
znajduje się siarczan rtęci Hg2SO4 utarty z siarczanem
kadmu CdSO4 oraz z rtęcią, w postaci tzw. pasty. W obu
rurkach znajdujÄ… siÄ™ tak\
e kryształy CdSO4, a całość
wypełniona jest wodnym roztworem siarczanu
kadmowego. W temperaturze równej 20 °C siÅ‚a
elektromotoryczna ogniwa Westona wynosi 1,0185-
1,0187 V. Ogniwo to jest zwykle konstruowane w
kształcie litery "H" z przewę\
eniami w połowie dolnych
ramion, które zapobiegają przemieszczaniu się
chemikaliów podczas transportu ogniwa.
katoda anoda
Chocia\
kryształy siarczku rtęci bardzo z
le
rozpuszczajÄ… siÄ™ w H2O, to w elektrolicie CdSO4
znajdują się dodatnie jony rtęci Hg+ i jony .
SO-
4
Ogniwo Westona nie włączone do obwodu elektrycznego
Jony kadmu wychodzÄ… z elektrody amalgamatowej
Cd(Hg) w roztwór wodny w postaci jonów Cd++.
Pozostawione elektrony silnie Å‚adujÄ… elektrodÄ™ (katodÄ™).
Wychodzenie to trwa dopóty, dopóki elektrostatyczne
przyciÄ…ganie ujemnej elektrody nie przeszkodzi
wychodzeniu jonów Cd++. Elektrolit ładuje się dodatnio.
Gdy przez ogniwo płynie prąd
Elektrony z katody odpływają przez obwód elektryczny
do anody. Wtedy nowe porcje Cd++ mogą wejść do
roztworu, a katoda mo\
e się doładować. Dodatnie jony
Hg+ przyłączają elektrony prądu i włączają się anody
Hg. Nowe jony Hg++ mogą przejść do roztworu,
pojawiające się równocześnie jony łączą się Cd++.
SO--
4
Elektrolit staje się elektrycznie obojętny.
Procesy chemiczne zachodzÄ…ce w ogniwie
Westona przez który płynie prąd.
4
2
Hg SO
Rozkład potencjału w ogniwie Westona,
przez który nie płynie prąd
Potencjał V
Rozkład potencjału w ogniwie Westona,
przez który płynie prąd
y
ródło SEM 
generator van de Graafa
Izolacyjny pas transportowy napięty
jest między walcami. Pas jest
Å‚adowany ze z
ródła napięcia
poprzez ostrze. Pod wpływem
silnego pola elektrycznego w
ośrodku otaczającym ostrze
powstajÄ… jony dodatnie i ujemne.
Na pasie osadzajÄ… siÄ™ Å‚adunki tego
samego znaku, co odpychajÄ…cy je
Å‚adunek na ostrzu. Ruch pasa
wynosi zebrane ładunki ku górze do
ostrze
wnętrza kopuły, gdzie przez ostrze,
na zasadzie puszki Faraday a
spływają one na elektrodę zbiorczą.
y
ródło wikipedia
Praca, energia i SEM
y
ródło SEM E
wykonuje pracÄ™
nad nośnikami
Å‚adunku i
utrzymuje stały
prÄ…d o natÄ™\
eniu I
w oporniku R.
Opór przewodów
pominięto.
Obwód zawierający z
ródło SEM i
odbiorniki ró\
nych rodzajów
Obliczanie natÄ™\
enia prÄ…du w
obwodzie o pojedynczym oczku
W interwale dt
w oporniku R
energia
Pdt=I2Rdt
zamienia siÄ™ w
ciepło.
Jednocześnie przez baterię B przepłynie ładunek
dq=Idt. Praca dW wykonana przez bateriÄ™ nad
E=IR
Å‚adunkiem dq: dW=Edq=EIdt. dW=I2Rdt.
I=E/R.
Drugie prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma zmian potencjału
napotkanych przy pełnym obejściu dowolnego
oczka obwodu elektrycznego jest równa zeru.
Va+E-RI=Va.
E-RI=0.
Va
Obejście oczka w
Va+RI -E=Va I = E/R.
stronÄ™ przeciwnÄ…:
Druga zasada Kirchhoffa jest
sformułowaniem zasady
zachowania energii
Opór wewnętrzny z
ródła
"
Opór wewnętrzny baterii jest równe r, a jej
SEM  E.
Bilans spadków potencjału
rzeczywistego z
ródła
a
"
Bilans spadków potencjału (obejście zgodne z ruchem
wskazówek zegara): Va+(E-Ir)-IR=VaI=E/(r+R).
Oporniki połączone szeregowo
A
adunek porusza siÄ™
tylko jednÄ… drogÄ….
Przez wszystkie oporniki
U
płynie prąd o tym samym
natÄ™\
eniu I. Suma ró\
nic
potencjałów na
opornikach jest równa
przyło\
onej ró\
nicy
potencjałów:
U=U1+U2+U3
Oporniki połączone szeregowo 
opór równowa\
ny
Z drugiego prawa Kirhoffa, dla idealnego z
ródła
SEM:
E-IR1-IR2-IR3=0.
I=E/(R1+R2+R3).
Oznaczenie:
Rrw =R1+R2+R3.
Wtedy: E-IRrw=0.
Opór równowa\
ny dla n oporników
połączonych szeregowo
n
Rrw = R1 + R2 +& + Rn =
"R .
i
i=1
Rrw > Ri (i =1,2,& , n).
Opór równowa\
ny układu wielu oporników jest
większy od ka\
dego z nich.
Ró\
nice potencjałów
Algebraicznie
Vb
sumujemy
Kierunek obiegu
spadki
Vb
potencjałów:
Va
Vb-IR=Va
Va
Lecz:
I=E/(r+R) Vb-Va= ER/(r+R)
Obieg przeciwny
Vb
Vb-E+Ir=Va,
Kierunek obiegu
Vb
I=E/(r+R),
Va
Va
Vb-Va=E-E/(r+R)r,
Vb-Va=E[(R+r-r)/(r+R)=E[R/(r+R)].
Moc, potencjał i SEM
y
ródło SEM wytwarzając prąd o natę\
eniu I
powoduje ruch ładunków, przekazując im energię.
Szybkość P procesu przekazywania energii:
P=IU=I(E-Ir)=IE-I2r.
Wyraz I2r określa szybkość zmiany energii
chemicznej na energiÄ™ cieplnÄ…. Jest to energia
rozproszona w z
ródle.
Wyraz IE jest mocÄ… PSEM przekazu energii przez
z
ródło zarówno nośnikom ładunku jak i na
zwiększenie energii cieplnej.
A
adowanie z
ródła SEM
Podczas Å‚adowania z
ródła SEM poprzez
przepuszczanie przezeń prądu w  przeciwną
stronÄ™ zamieniamy energiÄ™ prÄ…du na energiÄ™
chemiczną oraz energię cieplną. Szybkości
zamiany w energiÄ™ chemicznÄ… i cieplnÄ…:
PSEM= IE,
Pciepl=I2r.
I zasada Kirchhoffa
W gałęzi bad: I1,
w gałęzi bcd: I2,
w gałęzi bd: I3.
Bilans natÄ™\
eń w węz
le d: I1+I3=I2; w węz
le b:
I2=I1+I3.
I zasada Kirchhoffa: suma natÄ™\
eń prądów
wpływających do dowolnego węzła= suma
prądów wypływających z tego węzła.
Konsekwencje II zasady Kirchhoffa
Wybór oczek:
1. badb
2. bcdb
3. badcb
Analiza oczek na podstawie II prawa Kirchhoffa:
badb przeciwnie do wskazówek zegara: E1-I1R1-I3R3=0,
bcdb przeciwnie do wskazówek zegara : I3R3+I2R2-E2=0.
Bilans dla konturu badcb jest konsekwencją dwóch
powy\
szych równań. Dodając je stronami otrzymamy:
E1-I1R1+I2R2-E2 =0.
ObchodzÄ…c du\
y kontur badcb przeciwnie do wskazówek
zegara otrzymamy: E1-I1R1+I2R2-E2 =0.
Oporniki połączone równolegle
Do ka\
dego z
oporników
przyło\
ono ró\
nicÄ™
potencjału U.
I1=U/R1,
I2=U/R2,
I3=U/R3.
I prawo Kirchhoffa w punkcie a: I=I1+I2+I3:
ëÅ‚ öÅ‚
I 1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
I = UìÅ‚ + +
a" = + +
R1 R2 R3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ U Rrw ìÅ‚ R1 R2 R3 ÷Å‚.
íÅ‚ Å‚Å‚
Opór równowa\
ny
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1
= + + .
Rrw ìÅ‚ R1 R2 R3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ogólnie dla n oporników połączonych równolegle:
n
1 1
= .
"
Rrw Ri
i=1
Porównanie
Amperomierz
Amperomierz  przyrzÄ…d
przeznaczony do pomiaru
natÄ™\
enia prÄ…du.
Opór amperomierza
RA jest mały w porów-
naniu z pozostałymi
oporami obwodu:
RA<Gwarantuje to mały
RA
wpływ amperomierza na
natÄ™\
enie prÄ…du
płynącego w obwodzie.
Woltomierz
Woltomierz  przyrząd słu\
Ä…cy do pomiaru
ró\
nicy potencjałów.
W przeciwieństwie do ampero-
mierza, aby go włączyć do
obwodu nie trzeba przecinać
przewodu.
Opór wewnętrzny
woltomierza RV jest
RV
du\
y w porównaniu
z pozostałymi oporami
obwodu: RV<Proces Å‚adowania kondensatora
A
adowanie kondensatora
Klucz zamyka obwód,
w który włączona jest
bateria.
U=q/C
Z drugiego prawa
Kirchhoffa (obejście
obwodu zagodne z
ruchem wskazówek
E-IR-q/C=0.
zegara):
Poniewa\
I=dq/dt
dq/dt-q/(RC)=E/R.
Rozwiązanie równania ró\
niczkowego:
îÅ‚1- e-t /(RC) Å‚Å‚
E
q t = C .
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Własności rozwiązania
Rozwiązanie równania ró\
niczkowego:
îÅ‚1- e-t /(RC) Å‚Å‚
E
q t = C
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Warunek poczÄ…tkowy: q(0)=0  na poczÄ…tku
kondensator nie był naładowany:
îÅ‚1- e-0/(RC) Å‚Å‚
E
q 0 = C = 0
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
q(t)CE.
Gdy t"
A
adowanie kondensatora wykres
zale\
ności ładunku od czasu
îÅ‚1- e-t /(RC) Å‚Å‚
E
q t = C
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
A
adowanie kondensatora wykres
zale\
ności natę\
enia I od czasu
dq t
( ) q0
ëÅ‚ öÅ‚e-t / RC .
I t = =
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
dt RC
íÅ‚ Å‚Å‚
Sprawdzenie rozwiÄ…zania
dq t
( )
dC de-t /(RC) 1
E
ëÅ‚ öÅ‚e-t / RC =
E -
= - C = -C
E
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt dt RC
íÅ‚ Å‚Å‚
q t
( ).
C C
E
E
E
= - 1- e-t / RC + = -
( )
RC RC R RC
dq t q t
( ) ( )
E
+ = .
dt RC R
NatÄ™\
enie prÄ…du Å‚adowania
E
I t = e-t / RC .
( )
R
Z upływem czasu prąd ładowania zanika:
E
lim I t = lim e-t / RC = 0 .
( )
t" t"
R
Ró\
nica potencjałów
Å‚adowanego kondensatora
q t
( )
îÅ‚ t Å‚Å‚
öÅ‚
UC t = =
( )
E
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1- expëÅ‚ - RC łłśł .
C
íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Asymptotyka ró\
nicy potencjałów:
îÅ‚ t Å‚Å‚
öÅ‚
lim UC t = lim
( ) E
E
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚1- expëÅ‚ RC łłśł = .
t" t"
íÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Stała czasowa
Iloczyn RC ma wymiar czasu:
îÅ‚ Å‚Å‚
U q q
îÅ‚ Å‚Å‚
RC = = = t = T .
[ ] [ ]
ïÅ‚q / t śł
ïÅ‚ śł
I U
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Dlatego iloczyn RC nazywane jest stałą
czasowÄ… obwodu zawierajÄ…cego opornik
i kondensator.
Rozładowanie kondensatora
Klucz w
poło\
eniu b 
bateria
odłączona od
kondensatora.
Na jego
okładkach
Å‚adunek q.
Równanie ró\
niczkowe dla Å‚adunku:
dq t
( )
1
= - q t .
( )
+E/R.
dt CR
Wyrazu E/R nie ma!
Rozwiązanie równania ró\
niczkowego
dla ładunku rozładowywanego
kondensatora
dq t
( )
1
= - q t .
( )
dt CR
q t = q0 e-t / CR .
( )
CU0
lim q t = 0.
( )
Asymptotyka:
t"
NatÄ™\
enie prądu rozładowania
dq t
( )
q0
öÅ‚e-t / RC .
I t = = -ëÅ‚
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
dt RC
íÅ‚ Å‚Å‚
Prądy rozładowania i ładowania kondensatora
płyną w przeciwnych kierunkach.
PoczÄ…tkowe natÄ™\
enie prądu rozładowania
q0
öÅ‚.
I0 = I t = 0 = -ëÅ‚
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
RC
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozładowanie kondensatora
wykres zanikania Å‚adunku
z upływem czasu
q0
q t = q0e-t / CR .
( )
Ustalenie I0
U0
U0
Ró\
nica potencjałów pomiędzy okładkami i
przyło\
ona do opornika jest taka sama.
q0 / C
q0
I0 = U0 / R = .
CR