PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1. SYGNAA
Y I OBWODY ELEKTRYCZNE
1.1. POJ
CIA PODSTAWOWE
NAPI
CIE ELEKTRYCZNE
Napięcie jest wielkością charakteryzującą potencjalne pole elektrycz-
ne i wyraża się stosunkiem pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku do-
datniego z punktu A do B, do wartości tego ładunku.
Różnicę potencjałów dwóch punktów A i B pola elektrycznego nazy-
wamy napięciem elektrycznym u między tymi punktami,
uAB = VA -VB
(1.1)
Ponieważ napięcie elektryczne
uAB = VA -VB = -(VB -VA) = - uBA (1.2)
jest wielkością skalarną opatrzoną znakiem, nazywamy je skalarem zwrot-
nym. Jednostką napięcia elektrycznego jest wolt (1V).
UWAGA: Przyjmuje się, że strzałka na-
pięcia związana z dwoma
punktami środowiska, posia-
VA
A
da grot skierowany do punktu
o wyższym potencjale. Jeśli
> uAB
VA VB
punkt, do którego skierowany
jest grot strzałki napięcia po-
siada potencjał niższy to
VB B
oznacza, że wartość tego na-
pięcia jest ujemna. Strzałkowanie napięcia
dr inż. Marek Szulim
1 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
PR
D ELEKTRYCZNY
Pod pojęciem prąd elektryczny, rozumiemy:
" zjawisko uporządkowanego ruchu ładunków elektrycznych
przez badany przekrój poprzeczny środowiska występujące pod
wpływem działającego pola elektrycznego;
" wielkość skalarną stanowiącą skrót terminu natężenie prądu
elektrycznego.
Natężeniem prądu elektrycznego i nazywamy granicę stosunku ła-
dunku elektrycznego "q przenoszonego przez cząstki naładowane w ciągu
pewnego czasu "t poprzez dany przekrój poprzeczny środowiska, do roz-
patrywanego czasu, gdy czas ten dąży do zera, tzn.
" q dq
i = lim =
(1.3)
"t0
"t dt
Jednostką prądu elektrycznego jest amper (1A), [i] = 1A = 1C/1s.
UWAGA: Prąd elektryczny jest skala-
rem zwrotnym  oznacza się
go za pomocą strzałki o gro-
cie skierowanym do obszaru o
i
niższym potencjale (strzałka
u
prądu wskazuje umowny kie-
runek przepływu ładunku do-
datniego), a więc prąd strzał- środowisko w którym
występuje prąd
kuje się odwrotnie niż napię-
cie. Zmiana zwrotu prądu lub
napięcia jest równoznaczna
Strzałkowanie prądu
ze zmianą znaku tej wielkości.
dr inż. Marek Szulim
2 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
MOC I ENERGIA ELEKTRYCZNA
Z każdym elementem przewodzącym, oprócz prądu i oraz napięcia u,
związana jest także moc p określona wzorem
p = u i (1.4)
Ponieważ u = u(t), i = i(t), zatem także p = p(t), co podkreśla się czę-
sto mówiąc moc chwilowa. Jednostką mocy jest wat (1W) przy czym
1W=1J/1s.
Przy standardowym strzałkowaniu prądu oraz napięcia moc określona
zależnością (1.4) jest mocą pobieraną przez element z otoczenia.
Jeśli w chwili t0
p(t0) > 0 p(t0) < 0
(moc pobierana jest dodatnia) (moc pobierana jest ujemna)
oznacza to, że moc jest faktycznie
pobierana oddawana
przez element z otoczenia przez element do otoczenia
Energia pobrana przez element w przedziale czasu od t1 do t2 jest
całką z mocy pobieranej. Oznaczając ją symbolem W(t1, t2) piszemy:
t2
W(t1,t2) = p(t) dt (1.5)
+"
t1
dr inż. Marek Szulim
3 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.2. KLASYFIKACJA SYGNAA
ÓW ELEKTRYCZNYCH
W języku potocznym sygnał kojarzy się ze znakiem służącym do
przekazywania informacji, np. dz
więk, dym itp. W naszym przypadku bę-
dziemy skupiali się wyłącznie na zjawiskach elektrycznych wywołujących
falę napięcia lub prądu.
Sygnał elektryczny jest to fala napięcia lub prądu rozchodząca się
ze z
ródła wzdłuż pewnych kierunków zwanych promieniami fali.
Tak zdefiniowany sygnał opisany jest przez funkcję wyrażoną anali-
tycznie lub przedstawioną w postaci wykresu. W przypadku ogólnym jest
to funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu.
W teorii obwodów o parametrach skupionych
PRZEBIEGI CZASOWE napięcia u(t) lub prądu i(t) elektrycznego
nazywamy SYGNAA
AMI ELEKTRYCZNYMI.
Sygnały elektryczne mogą być dowolnymi funkcjami rzeczywistymi
czasu, a więc zmiennej rzeczywistej t.
Badając zmienności tych funkcji:
SYGNAA
Y ELEKTRYCZNE
SYGNAA
Y ZDETERMINOWANE SYGNAA
Y STOCHASTYCZNE
Sygnałem zdeterminowanym na- Sygnałem stochastycznym nazy-
zywamy sygnał, którego wystą- wamy sygnał, którego wystąpie-
pienie można przewidzieć i opi- nia ani wartości nie możemy
sać równaniem określającym je- przewidzieć.
go wartość w dowolnej chwili
czasu
dr inż. Marek Szulim
4 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
SYGNAA
Y ZDETERMINOWANE
STAA
E ZMIENNE
f(t) = const. dla t "(- ",+"), f(t) `" const. dla t "(- ",+"),
oznaczane: U, I oznaczane: u(t), i(t),
Jeżeli warunek okresowości
(" '" f (t)= f (t + kT)
T >0 t
T- okres właściwy, k  liczba całkowita
jest spełniony nie jest spełniony
OKRESOWE NIEOKRESOWE
Jeżeli warunek:
T
f (t)dt = 0
+"
0
jest spełniony nie jest spełniony
PRZEMIENNE T
TNI
CE
sinusoidalne niesinusoidalne
HARMONICZNE NIEHARMONICZNE
f(t)
f(t) f(t)
+
t
t
+
+
-
t
-
-
T
T T
2Ą
ś#
f (t)= Fm sin�# t +�
ś# ź#
T
�# #
ODKSZTAA
CONE
dla t "(- ",+")
dr inż. Marek Szulim
5 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.3. OPIS SYGNAA
U HARMONICZNEGO
SYGNAA
HARMONICZNY
W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały
harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak
sin(�t +Ą 2)= cos �t ,
nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).
Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg
jest sinusoidalną funkcją czasu
Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:
u(t)= Um sin(� t +�u ) (1.6)
u(t) W czasie odpowia-
T
dającym jednemu
okresowi faza na-
U
m
pięcia zmienia się o
t
T/2
2Ą, tzn. �T = 2Ą .
Na rys. na osi od-
Ą 2Ą
�t
�u 0
ciętych oznaczono
skalę czasu i skalę
kątową.
gdzie: u(t) - wartość chwilowa napięcia;
Um - wartość maksymalna napięcia (największa wartość
chwilowa jaką sygnał osiąga - nazywana amplitudą);
�u - początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w
chwili t = 0;
� t +�u - kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;
� =2Ą f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;
f =1/T - częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością
okresu.
dr inż. Marek Szulim
6 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
" WARTOŚĆ SKUTECZNA SYGNAA
U
jest to pierwiastek kwadrato-
T
1
wy z wartości średniej kwa-
Fsk = f (t)2 dt = f (t)2 (1.7)
+"
dratu sygnału obliczonej za
T
0
jeden okres T
Oznaczana Fsk lub samo F
Uwaga: Wartość skuteczna prądu (napięcia) okresowego jest równa takiej
wartości prądu (napięcia) stałego, który przepływając przez iden-
tyczną rezystancję R wydzieliłby w czasie odpowiadającym okreso-
wi T taką samą ilość ciepła co przebieg okresowy.
Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego zgodnie ze wzorem (1.7)
wynosi
T T
1 1 Um
2 2
U =
m
+"u (t) dt = +"U sin2 � t dt = H" 0,707Um (1.11)
T T 2
0 0
Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy
przedstawić jako
u(t)= Um sin(� t +�u ) = U 2 sin(� t +�u )
(1.8)
SYGNAA
WYKA
ADNICZY
Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:
s t
x(t) = Ae dla t "(- ",+") (1.9)
Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony
s = � + j� (1.10)
(� + j� )t � t j� t
a zatem x(t) = Ae = Ae e (1.11)
dr inż. Marek Szulim
7 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. �=0) wtedy
j� t
x(t) = Ae
sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyz
nie zmiennej zespo-
lonej za pomocą tzw. wektora wirującego
obracającego się z prędkością kątową �
Im
w kierunku przeciwnym do ruchu wska-
zówek zegara. Położenie tego wektora na
�
płaszczyz
nie w danej chwili t określone
jest za pomocą kąta �t.
Re
�t
0
j� t
t =0
A
Czynnik e spełnia rolę operatora
obrotu,
natomiast A jest modułem wektora.
Uwzględniając wzór Eulera
j�
e = cos�t + j sin�t (1.12)
można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych
j�
x(t)= Ae = Acos�t + j Asin�t (1.13)
Część rzeczywista wektora wirującego przed-
Wynika stąd, że naj-
stawia sygnał o charakterze cosinusoidalnym
częściej spotykane
j� t
przebiegi wielkości
Re[Ae ] = Acos�t (1.14)
elektrycznych
Część urojona wektora wirującego przedsta- stanowią szczególne
wia sygnał o charakterze sinusoidalnym przypadki sygnału
o charakterze
j� t
Im[Ae ] = Asin�t (1.15)
wykładniczym.
dr inż. Marek Szulim
8 /39
e-mail: [e-mail]
�
j
t
e
A
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
OPIS SYMBOLICZNY
Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia (1.6).
Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyz
nie zmiennej zespo-
lonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym przedstawia rysunek.
Im u(t)
�
u(0)
U
m
u(0)
t
Re
�u
0
�t
�u 0
U
m
T
Wartość chwilowa napięcia dla chwili t = 0 wynosi
u(0)= Um sin�u
W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie Um jest nachylony względem
osi liczb rzeczywistych pod kątem �u . Rzut tego wektora na oś liczb uro-
jonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest
równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.
Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (1.15), następująco:
dla każdej chwili t
j (� t +�u )
u(t) = Um sin(� t +�u ) = Im[Um e ] = Im[u(t)]
(1.16)
dr inż. Marek Szulim
9 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Sygnał sinusoidalny:
u(t) = Um sin(�t +�u ) = 2 U sin(�t +�u )
amplituda
(rzeczywista) wartość skuteczna
(wartość max.)
wartość chwilowa
posiada następującą POSTAĆ SYMBOLICZN

(symboliczną wartość chwilową)
j(�t+�u ) j�u j�t j�u j�t
u(t) = Um e = Um e e = 2 U (1.17)
1 3 1e e
424 23
Um
U
symboliczna amplituda
symboliczna wartość skuteczna
/postać zespolona amplitudy/
/wskaz wartości skutecznej/
/wskaz amplitudy/
j(�t+�u ) j�t j�t
Czyli: u(t) = Um e = U e = 2U e (1.18)
m
UWAGI:
" nie zachodzi równość u(t) `" u(t) tylko odpowiedniość u(t)= u(t)
Ć
u(t)- u*(t)
" natomiast: u(t)= = Im[u(t)] (1.19)
2 j
" Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala
traktować je jako przebiegi wykładnicze.
dr inż. Marek Szulim
10 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
PRZYKA
AD 1
Dla (RZECZYWISTEJ) wartości chwilowej napięcia
u(t) = 282 sin(314t + 30o)V
Amplituda: Um = 282V
Wartość skuteczna:
Um 282
U = = = 200V
2 1,41
rad
Pulsacja � = 314
s
ponieważ � = 2Ą f
� 314
stąd częstotliwość f = = = 50 [Hz]
2Ą 2 �"3,14
1 1 1
Jeśli f = zatem okres T = = = 0,02 [s]
T f 50
Faza początkowa �u = 30o
Ą
inaczej �u = 30o = 0,524 rad
180o
Jej SYMBOLICZNA wartość chwilowa wynosi:
j (�t +�u ) j(314t +30o)V
u(t) = Um e = 282e
j�u j 30o
Symboliczna amplituda: U = Um e = 282e V
m
Um j�u
j�u j 30o
Symboliczna wartość skuteczna: U = e = U e = 200e V
2
dr inż. Marek Szulim
11 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.4. UKA
AD I JEGO PROCESY ENERGETYCZNE
Układem elektrycznym nazywamy taki układ fizyczny, w którym
dominują zjawiska elektryczne bądz
ma-
gnetyczne lub też oba te zjawiska łącznie.
Tab. 1.1. Rodzaje podstawowych zjawisk występujących w układzie elektrycznym
Proces
Zjawisko fizyczne Opis
energetyczny
wytwarzanie pola elektrycznego - Wytwarzania
energii elektr. w układzie fiz. na
GENERACJA
energii
drodze przemian innych form energii
AKUMULACJA energii powstawanie pola magnetycznego
wokół przewodników z prądem
w polu magnetycznym
Gromadzenia
gromadzenie ładunków elektrycz-
energii
AKUMULACJA energii
nych na przewodnikach, pod wpły-
w polu elektrycznym
wem pola elektrycznego
rozpraszanie energii w przewodni-
kach z prądem (np. zmiana energii Rozpraszania
DYSYPACJA
energii
prądu elektr. w energię cieplną)
Badanie dowolnego układu wymaga określenia, która wielkość fi-
zyczna lub ich zespół stanowi przyczynę zjawiska, a która wielkość cha-
rakteryzuje zjawiska zaistniałe w wyniku działania określonych przyczyn.
W tym celu wprowadza się pojęcia: wymuszenia i odpowiedzi układu.
Wymuszenie  wielkość fizyczna stanowiąca zewnętrzną przy-
czynę zjawisk badanych w danym układzie.
Odpowiedz
 wielkość fizyczna charakteryzująca zjawisko
powstałe w układzie pod wpływem wymuszenia.
Uwaga: Na układ może działać jedno lub wiele wymuszeń a badanie układu
może dotyczyć jednej lub wielu odpowiedzi.
Obwód elektryczny jest modelem układu elektrycznego, w którym to mode-
lu przy odpowiednim doborze elementów i sposobu ich
wzajemnego oddziaływania (połączeń) zachodzą pro-
cesy zbliżone do rzeczywistych.
dr inż. Marek Szulim
12 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Uwaga:
Obwód elektryczny jest uporządkowanym zbiorem elementów
Element obwodu to część obwodu niepodzielna pod względem
funkcjonalnym bez utraty swych charakterystycz-
nych własności.
Element idealny jest to element obwodu, w którym zachodzi tylko
jeden z dopuszczalnych procesów energetycz-
nych.
Element ma wyróżnione zaciski, tj. punkty. Każdy z elementów ko-
munikuje się (łączy się) z innymi elementami obwodu (otoczeniem)
WYA

CZNIE za pośrednictwem zacisków (biegunów, końcówek prze-
wodów) - z wyjątkiem z
ródeł sterowanych.
ZACISKOWA KLASYFIKACJA ELEMENTÓW
Klasyfikację elementów obwodu elektrycznego możemy prowadzić
przyjmując różne kryteria. Jednym z podstawowych jest kryterium
LICZBY POA

CZEC
elementu z otoczeniem - rys.
a) DWÓJNIK - lub
zacisk
lub
b) TRÓJNIK -
2
1
3
d) WIELOBIEGUNNIK -
(m-biegunnik)
m
dr inż. Marek Szulim
13 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.5. PARAMETRY PIERWOTNE I ELEMENTY IDEALNE
Parametry pierwotne opisują podstawowe zjawiska fizyczne
występujące w układzie elektrycznym
Parametry pierwotne (cechy fizyczne) są mierzalne.
Elementy idealne to takie elementy, w których zachodzi tylko jedno
zjawisko fizyczne. Każdy element idealny charakteryzowany jest tyl-
ko jednym parametrem pierwotnym
REZYSTANCJA R
Jest to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność układu do (jedno-
kierunkowej) zamiany energii elektrycznej na energię cieplną
(DYSYPACJA - ROZPRASZANIE).
Rezystancję można definiować w oparciu o moc rozpraszaną pR(t):
df
p (t)
R
R =
(1.20)
2
i (t)
Jednostką rezystancji jest om (�).
Często posługujemy się innym parametrem zwanym konduktancją
G, związaną z rezystancją relacją
R G = 1 (1.21)
jednostką konduktancji jest simens (S), [G] = 1S = 1�-1.
IDEALNY REZYSTOR jest elemen-
R
tem o dwóch zaciskach, w którym zachodzi
jedynie proces dysypacji energii elektrycz-
nej. Oznacza to, że jest charakteryzowany u
R
tylko rezystancją R.
Między prądem i napięciem (parą wielkości zaciskowych) idealnego
rezystora występuje proporcjonalność wyrażona prawem Ohma
1
uR = R iR lub iR = uR = G uR (1.22)
R
dr inż. Marek Szulim
14 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
INDUKCYJNOŚĆ L
Jest to wielkość fizyczna charakteryzująca zdolność układu do wytwa-
rzania pola magnetycznego (gromadzenia energii w polu magnetycznym -
AKUMULACJA).
df
�
L = = const.
(1.23)
i
Jednostką indukcyjności jest henr (H), [L]=1Wb/1A=1V�"1s/1A=1��"1s=1H
L
IDEALNA CEWKA jest dwójnikiem, w
i (t)
L
którym zachodzi jedynie proces akumulacji
energii w polu magnetycznym. Oznacza to, że
u (t)
L
opisuje ją tylko indukcyjność L.
Napięcie na zaciskach cewki opisuje zależność:
d� d diL(t)
uL(t) = = [L iL(t)]= L (1.24)
dt dt dt
POJEMNOŚĆ C
Wielkość określająca zdolność układu do gromadzenia ładunku elek-
trycznego pod wpływem przyłożonego napięcia - lub inaczej do groma-
dzenia energii w polu elektrycznym (AKUMULACJA).
df
q
C = = const.
(1.25)
u
Jednostką pojemności jest farad (F), [C] = 1C/1V = 1A�"1s/1V = 1F.
C
IDEALNY KONDENSATOR jest dwój-
i (t)
C
nikiem, w którym zachodzi jedynie proces
akumulacji energii w polu elektrycznym.
u (t)
C
Oznacza to, że opisuje go tylko pojemność C.
Prąd kondensatora opisuje zależność:
dq d duC(t)
iC(t)= = [C uC(t)]= C (1.26)
dt dt dt
dr inż. Marek Szulim
15 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
NAPI
CIE y
RÓDA
OWE u0
jest parametrem, występującego w układzie elektrycznym, procesu
przemiany innego rodzaju energii (mechanicznej, chemicznej, świetlnej
itp.) w energię elektryczną, a zatem jest parametrem opisującym własności
generacyjne występujące w układzie. Tę własność niezależną od innych
uwarunkowań układu opisuje zależność
'" u(t) = u0(t)
(1.27)
i
Jednostką napięcia z
ródłowego jest wolt (V).
IDEALNE y
RÓDA
O NAPI
CIA ele-
ment o dwóch końcówkach (zaciskach), w
u (t)
0
i(t)
którym zachodzi wyłącznie generacja energii
uzewnętrzniająca się pod postacią napięcia
z
ródłowego u0 (występującego pomiędzy za-
u(t)
ciskami elementu), niezależnego od obciąże-
nia (prądu w układzie).
PR
D y
RÓDA
OWY iZ
Własności generacyjne układu elektrycznego mogą być również cha-
rakteryzowane parametrem nazywanym natężeniem prądu z
ródłowego lub
krótko - prądem z
ródłowym.
Wartość parametru zwanego prądem z
ródłowym jest niezależna od
stanu pracy układu elektrycznego, co zapiszemy w postaci
'" i(t) = iZ (t)Z
(1.28)
u
Jednostką prądu z
ródłowego jest amper (A).
IDEALNE y
RÓDA
O PR
DU element o
i (t)
Z
dwóch końcówkach (zaciskach), w którym
i(t)
zachodzi wyłącznie generacja energii uze-
wnętrzniająca się pod postacią prądu z
ródło-
u(t)
wego iZ niezależnego od obciążenia (napięcia
na zaciskach).
dr inż. Marek Szulim
16 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
IDEALNE y
RÓDA
A STEROWANE
charakteryzują się tym, że ich parametr tj. napięcie z
ródłowe u0 bądz

prąd z
ródłowy iZ jest funkcją napięcia lub prądu związanego z inną parą
zacisków obwodu.
Zatem istnienie takich z
ródeł o niezerowym parametrze nie jest wyni-
kiem przetwarzania w jego strukturze innej formy energii na energię elek-
tryczną, a jedynie konsekwencją niezerowych napięć bądz
prądów w innej
części obwodu, które nazywamy wielkościami sterującymi.
Nie są to zatem z
ródła w dokładnym sensie tego słowa generacyjne lecz
pseudogeneracyjne i dlatego nazywamy je z
ródłami nieautonomicznymi.
Skoro parametr (u0 bądz
iZ) takiego z
ródła jako elementu dwuzaci-
skowego zależy od wielkości elektrycznej (u bądz
i) innej pary zacisków,
to model obwodowy takiego z
ródła sterowanego powinien zawierać cztery
zaciski (tab.1.2).
Tab. 1.2. Typy z
ródeł sterowanych
Nazwa z
ródła Symbol graficzny i równania
i =0
1
y
RÓDA
O NAPI
CIOWE
STEROWANE NAPI
CIEM
u = k u
u
0 1
1
(NSN)
i
1
y
RÓDA
O NAPI
CIOWE
STEROWANE PR
DEM
u = r i
u=0
0 1
1
(NSP)
i
1
y
RÓDA
O PR
DOWE
STEROWANE PR
DEM
i = a i
u=0
Z 1
1
(PSP)
i =0
1
y
RÓDA
O PR
DOWE
STEROWANE NAPI
CIEM
i = g u
u
Z 1
1
(PSN)
dr inż. Marek Szulim
17 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.6. SCHEMAT IDEOWY OBWODU
Schematem ideowym obwodu (siecią) nazywamy graficzne przed-
stawienie obwodu , pokazujące kolejność i sposób połączeń jego
elementów.
Wszystkim uwzględnionym w modelu parametrom układu odpowiadają
określone elementy, ich symbole graficzne oraz wartości, natomiast od-
cinki łączące elementy traktujemy jako idealne przewodniki (nie rozpra-
szające i nie akumulujące energii).
Na schemacie wyróżniamy: gałęzie, węzły i oczka.
Gałąz
obwodu jest to układ zawierający jeden lub wiele dowolnie po-
łączonych elementów (zarówno pasywnych jak i aktywnych), posia-
dający dwie wyprowadzone końcówki (zaciski) do połączenia z po-
zostałą częścią obwodu.
Gałąz
jest więc dwójnikiem do opisu którego wystarczy znajomość
napięcia gałęziowego ug i prądu gałęziowego ig.
12
ug
Gałąz
obwodu
Końcówkom gałęzi często narzuca się kolejność, tzn. oznaczamy jed-
ną z nich jako pierwszą (1), która stanowi początek gałęzi a pozostałą jako
drugą (2), stanowiącą jej koniec.
dr inż. Marek Szulim
18 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Węzłem obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest
przyłączona jedna następna gałąz
lub kilka gałęzi.
" Węzłem głównym obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi do
której dołączono co najmniej dwie inne gałęzie (w1 i w3). Zatem wę-
zeł główny (zwany potocznie węzłem), to taki punkt (zacisk) obwodu
w którym zbiegają się co najmniej trzy końcówki różnych gałęzi.
" Jeśli liczba zbiegających się w punkcie końcówek gałęzi jest równa
dwa, to punkt nazywamy węzłem pomocniczym. (w2).
w3
w2
w1
Ilustracja pojęcia węzła głównego i pomocniczego
Oczko obwodu elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą ga-
łęzi tworzących zamkniętą drogę dla prądu i posiadającą tę właści-
wość, że po usunięciu dowolnej gałęzi oczka pozostałe gałęzie nie
tworzą drogi zamkniętej.
oczko
Ilustracja pojęcia oczka obwodu
dr inż. Marek Szulim
19 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Gałęzie obwodu mogą tworzyć połączenie:
szeregowe, równoległe, gwiazdowe lub wieloboczne (wielokątne).
Układ połączeń nazywamy szeregowym, wtedy gdy w każdej gałęzi
układu występuje ten sam prąd elektryczny.
Połączenie szeregowe
Układ połączeń nazywamy równoległym, wtedy gdy na każdej gałęzi
układu występuje to samo napięcie elektryczne.
u u u u
Połączenie równoległe
dr inż. Marek Szulim
20 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
A

CZENIE ELEMENTÓW IDEALNYCH
SZEREGOWE RÓWNOLEGA
E
...
1 2 n 1 2 n
...
n n n
1 1
R = G =
REZYSTORÓW
"R "G ; R = "
k k
Rk
k =1 k =1 k =1
n n
1 1
L = =
CEWEK
"L "
k
L Lk
k =1 k =1
n n
1 1
= C =
KONDENSATORÓW
" "C
k
C Ck
k =1 k =1
n
y
RÓDEA
możliwe tylko w jednym
u0 =
"u
0 k
NAPI
CIA przypadku
k =1
n
y
RÓDEA
możliwe tylko w jednym
iZ =
"i
Z k
PR
DU przypadku
k =1
dr inż. Marek Szulim
21 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.7. ELEMENTY R, L, C W OBWODACH
PR
DU HARMONICZNEGO
REZYSTOR
Przy występowaniu prądu, opisanego symboliczną wartość chwilową
j�t
i( t ) = I e (1.29)
m
w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się (zgodnie z pra-
wem Ohma) napięcie
j�t j�t
u( t ) = Ri( t ) U e = R I e (1.30)
m m
Zatem
U = R I
(1.31a)
m m
U
m
I = GU
lub inaczej I = (1.31b)
m
m m
R
Co oznacza, że
U = R I
(1.32a)
U
I = GU
lub inaczej I = (1.32b)
R
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej (dla 1.32a), otrzymujemy
j�u j�i
U e = R I e (1.33)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (1.33) znajdujemy
U = R I I = G U
, (1.34a,b)
�u =�i
a z przyrównania argumentów (1.35)
dr inż. Marek Szulim
22 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Podsumowując
R
U = R I
U
U
Pomnożenie wskazu I przez R spo-
woduje jedynie zmianę długości tego
wskazu R razy. Wobec tego wskaz
I
napięcia U znajduje się na tej samej
prostej co wskaz prądu I
�u=�i
Napięcie na zaciskach
idealnego rezystora
jest w fazie z prądem
i(t),u(t)
U
m
Czyli przesunięcie fazowe
� między przebiegami u(t)
I
m
oraz i(t) rezystora wynosi
zero:
�t
�i 0
� =�u -�i = 0
�u
Przykładowe przebiegi czasowe
napięcia i prądu dla rezystora
dr inż. Marek Szulim
23 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
CEWKA INDUKCYJNA
Przy przepływie prądu, opisanego symboliczną wartość chwilową
j�t
i( t ) = I e (1.36)
m
w idealnej cewce o indukcyjności L, napięcie na jej zaciskach (zgodnie z
1.24) wyraża zależność
di(t)
j�t j�t
u(t)= L U e = j�L I e (1.37)
m m
dt
Zatem
U = j�L I
(1.38a)
m m
1
U
m
I = - j U
lub inaczej I = (1.38b)
m m
m
�L
j�L
Co oznacza, że
U = j�L I
(1.39a)
1
U
I = - j U
lub inaczej I = (1.39b)
�L
j�L
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej (dla 1.39a), otrzymujemy
Ą
�#� ś#
j +
ś# ź#
i
j�u
2
�# #
U e = � L I e (1.40)
Z przyrównania modułów w wyrażeniu (1.40) znajdujemy
1
U = � L I = X I I = U = BLU
, (1.41a,b)
L
�L
reaktancja indukcyjna susceptancja indukcyjna
Ą
�u =�i +
a z przyrównania argumentów (1.42)
2
dr inż. Marek Szulim
24 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Podsumowując
L
U = j�L I = jX I
L
U
U
Pomnożenie wskazu I przez j�L
�=Ą/2
(jXL) powoduje zmianę długości tego
wskazu �L (XL) razy oraz jego obrót
o 90o  w przód
I
�
u
�
i
Napięcie na zaciskach
idealnej cewki
wyprzedza prąd o 90o
u(t),i(t)
Czyli przesunięcie fazowe
� między przebiegami u(t)
oraz i(t) cewki wynosi:
0
�t
�u �i
Ą
� =�u -�i =
Ą/2
2
Przykładowe przebiegi czasowe
napięcia i prądu dla cewki
dr inż. Marek Szulim
25 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
PRZYKA
AD 2
L
i (t)
Obliczyć rzeczywistą wartość chwilową
L
prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności
L=0,2H, gdy dana jest rzeczywista wartość
u (t)
L
chwilową napięcia
uL(t)= 141 sin(100t + 40o)V
j 40o
Symboliczna amplituda napięcia: U = 141e V
Lm
141
j 40o j 40o
Symboliczna wartość skuteczna napięcia: U = e =100 e [V]
L
2
Reaktancja indukcyjna: X = �L =100�" 0,2 = 20[�]
L
1 1 1
Susceptancja indukcyjna: BL = = = = 0,05[S]
�L X 20
L
Zgodnie z (6.37) symboliczna wartość skuteczna prądu:
j 40o j 40o
1 U 100 e 100 e 100
j(40o -90o)
L
I = U = = = = e = 5e- j 50o
L L
j 90o
j�L jX j20 20
L 20 e
inaczej
1 1
I = U = - j U = - jBLU =
L L L L
j�L �L
j 40o j 40o j(-90o +40o)
= - j0,05�"100 e = 0,05 e- j 90o �"100 e = 5 e = 5e- j 50o
Czyli symboliczna amplituda prądu: I = 5 2 e- j 50o [A]
Lm
Stąd rzeczywista wartość chwilową prądu
iL(t) = 5 2 sin(100t - 50o)A
dr inż. Marek Szulim
26 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
KONDENSATOR
Gdy istnieje napięcie, opisane symboliczną wartość chwilową
j�t
i( t ) = I e (1.43)
m
na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, to prąd płynący
przez kondensator (zgodnie z 1.24) wyraża zależność
du(t)
j�t j�t
i(t) = C I e = j�CU e (1.44)
m m
dt
Zatem
I = j�CU
(1.45a)
m m
1
I
m
U = - j I
lub inaczej U = (1.45b)
m m
m
�C
j�C
Co oznacza, że
I = j�CU
(1.46a)
1
I
U = - j I
lub inaczej U = (1.46b)
�C
j�C
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni-
czej (dla 1.46a), otrzymujemy
Ą
�#� ś#
j +
ś# ź#
u
j�i
2
�# #
I e = �C U e (1.47)
Z przyrównania modułów, znajdujemy
1
I = �C U = BCU U = I = XC I
(1.48a,b)
�C
susceptancja pojemnościowa reaktancja pojemnościowa
Ą
�i =�u +
a z przyrównania argumentów (1.49)
2
dr inż. Marek Szulim
27 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Podsumowując
C
1
U = - j I = - jXC I
�C
U
I
�=-Ą/2
Pomnożenie wskazu I przez 1/j�C
(-jXC) powoduje zmianę długości te-
U
go wskazu 1/�C (XC) razy oraz jego
�
i
obrót o 90o  wstecz
�
u
Prąd płynący przez
idealny kondensator
wyprzedza napięcie o 90o
u(t),i(t)
Czyli przesunięcie fazowe �
między przebiegami u(t) oraz
i(t) kondensatora wynosi:
0
�t
�i �u
Ą
� =�u -�i = -
Ą/2
2
Przykładowe przebiegi czasowe
napięcia i prądu dla kondensatora
dr inż. Marek Szulim
28 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.8. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI SYMBOLICZNEJ
Prawo Ohma
Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości
skutecznej prądu I w nim płynącego:
U = Z I
(1.50)
Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektrycz-
ne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.
Podstawiając w (1.50) symboliczne wartości skuteczne w postaci wy-
kładniczej, otrzymujemy
j�u
U U e U
j(�u -�i )
Z = = = e (1.51)
j�i
I I
I e
U
czyli: Z = , arg Z = (�u -�i )= � (1.52a,b)
I
j�
Z = Z e Z = R + j X
Zatem (1.53a,b)
rezystancja reaktancja
Im
Impedancję Z można przed-
stawić geometrycznie na
Z
płaszczyz
nie zmiennej zespo-
X
lonej za pomocą trójkąta
impedancji.
�
Re
R
dr inż. Marek Szulim
29 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Prawo Ohma można także przedstawić następująco:
Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez
dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y
i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:
I = Y U
(1.54)
Admitancja (przewodność zespolona  jej jednostką jest simens S) dwój-
nika równa się odwrotności jego impedancji:
1
Y = (1.55)
Z
co oznacza, że
1 1
Y = = e- j� (1.56)
j�
Z
Z e
1 I
czyli: Y = = , argY = -� (1.57a,b)
Z U
Y = Y e- j� Y = G + j B
Zatem (1.58a,b)
konduktancja susceptancja
Im
Admitancję Y można przed-
stawić geometrycznie na
Y
płaszczyz
nie zmiennej zespo-
B
lonej za pomocą trójkąta
admitancji. -�
Re
G
dr inż. Marek Szulim
30 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
prądów in(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jed-
nego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej
chwili czasu równa zeru:
n
� k ik (t) = 0
(1.59)
"
t
k =1
gdzie: k = ą1 ( + jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła;  - jeśli zwrot
jest przeciwny, od węzła)
a) b)
- i1(t)+ i2(t)- i3(t)+ i4(t)= 0 i1(t)+ i2(t)- i3(t) = 0
Ilustracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jako obszaru
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (1.60a) oraz sym-
bolicznych wartości skutecznych (1.60b) odpowiednich prądów:
n n
k I = 0 (1.60a) k I = 0 (1.60b)
m k k
" "
k =1 k =1
dr inż. Marek Szulim
31 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych
napięć un(t) na wszystkich elementach, tworzących dowol-
nie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu rów-
na zeru:
n
� �k uk (t) = 0
(1.61)
"
t
k =1
gdzie: �k = ą1 ( + jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-
runkiem obiegu oczka;  - jeśli jest przeciwny)
u1(t)- u2(t)+ u3(t)+ u4(t)- u5(t) = 0
Ilustracja NPK
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (1.62a) oraz sym-
bolicznych wartości skutecznych (1.63b) odpowiednich napięć
n n
�kU = 0 (1.63a) �kU = 0 (1.63b)
m k k
" "
k =1 k =1
dr inż. Marek Szulim
32 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.9. POA

CZENIA DWÓJNIKÓW
" Połączenie szeregowe n dwójników
n
U = U1 +U +K+U = Z1 I + Z I +K+ Z I =
2 n 2 n k
"Z I = Z I (1.64)
k =1
n
Z = (1.65)
k
"Z
k =1
" Połączenie równoległe n dwójników
n
I = I1 + I +K+ I = Y1U + Y U +K+ Y U =
2 n 2 n k
"Y U = Y U (1.67)
k =1
n n
1 1
Y = (1.68)
k
"Y lub Z = "
Z
k
k =1 k =1
dr inż. Marek Szulim
33 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
1.10. POA

CZENIA ELEMENTÓW R, L, C
Obwód SZEREGOWY RLC
RLC
Wartość
impedancji elementu napięcia na elemencie
Z = R U = R I
R
R R
Z = j�L = j X U = j�L I = jX I
L
L L L L
1 1 1
Z = - j = - j XC U = I = - j I = - jXC I
C
C C
�C j�C �C
Ponieważ
Ą# ń#
�# 1 ś#
U = Z I = + jś#� L - ź#Ą# I = [R + j(X - XC )]I = (R + jX )I (1.69)
ó#R L
ś# ź#
�C
�# #
Ł# Ś#
Zatem:
2
�# 1 ś#
2
Z = R2 + ś#�L - ź# = R2 + (X - XC )2 = R2 + X (1.70)
L
ś# ź#
�C
�# #
1
�#�L - ś#
ś# ź#
�C X - XC X
ś#
ź#
arg Z = � = arctgś# = arctg�# L = arctg�# ś# (1.71)
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
R R R
�# # �# #
ś# ź#
�# #
dr inż. Marek Szulim
34 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, reaktancja X
we wzorze (1.69) X = X - XC może być:
L
a) X > 0 gdy X > XC
L
wówczas � > 0, napięcie wyprzedza prąd
obwód ma charakter indukcyjny
b) X = 0 gdy X = XC
L
wówczas � = 0, napięcie i prąd są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
c) X < 0 gdy X < XC
L
wówczas � < 0 , napięcie opóz
nia się względem prądu
obwód ma charakter pojemnościowy
a) b) c)
U U U
L C L
U UC
L
U
�>0
I I I
U
U=
U
R
R
U
R
�<0
U
C
U
Z
jX
�>0
R
R
�<0
jX
Z
dr inż. Marek Szulim
35 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
Obwód RÓWNOLEGA
Y RLC
RL C
Wartość
admitancji elementu prądu w elemencie
Y = G I = GU
R
R R
1 1 1 1
Y = - j = - jBL = - j I = U = - j U = - jBL U
L
L L
� L X j�L � L
L
1
Y = j�C = jBC = j
I = j�CU = jBC U
C
C
C
XC
Ponieważ
Ą# ń#
�# 1 ś#
I = Y U = + jś#�C - ź#Ą#U = [G + j(BC - BL )]U = (G + jB)U (1.70)
ó#G
ś# ź#
�L
�# #
Ł# Ś#
Zatem:
2
�# 1 ś#
Y = G2 + ś#�C - ź# = G2 + (BC - BL)2 = G2 + B2 (1.71)
ś# ź#
� L
�# #
1
�#�C - ś#
ś# ź#
�L BC - BL B
�# ś# �# ś#
ś# ź#
argY = arctg = arctg = arctg (1.72)
ś# ź# ś# ź#
ś# ź#
G G G
�# # �# #
ś# ź#
�# #
dr inż. Marek Szulim
36 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, susceptancja B
we wzorze (1.70) B = BC - BL może być:
a) B > 0 gdy BC > BL
wówczas � < 0 , prąd wyprzedza napięcie
obwód ma charakter pojemnościowy
b) B = 0 gdy BC = BL
wówczas � = 0, prąd i napięcie są w fazie
obwód ma charakter rezystancyjny
c) B < 0 gdy BC < BL
wówczas � > 0, prąd opóz
nia się względem napięcia
obwód ma charakter indukcyjny
a) b) c)
I IL
C
IC IL IC
I
�<0
U U U
I=
I
I
R
R
IR
�>0
I
L
I
Y
jB
�<0
G
G
�>0
jB
Y
dr inż. Marek Szulim
37 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
PRZYKA
AD 3
Obliczyć symboliczną
wartość skuteczną prądu i
napięcia każdego elementu
obwodu  sporządzić wykres
wskazowy  dane:
u(t) = 75 2 sin�t C
u(t) L
R1= R2= XL= 1 �,
XC= 2 �.
j 0o
0) Napięcie na zaciskach obwodu U = 75e V
1) Aby obliczyć prąd I1
Wyznacza się impedancję obwodu
Z1 = R1 - j XC =1- j 2 [�]
R2 j X
L
L
Z = = 0,5 + j 0,5[�]
2
C
R2 + j X
L
Z = Z1 + Z =1,5 - j1,5[�]
2
j 0o
U 75e
oraz korzysta z prawa Ohma: I = = = 25 + j 25[A]
Z 1,5 - j1,5
2) Oblicza się napięcia na
a) rezystorze R1 : U = R1 I1 = 25 + j 25[V]
R1
b) kondensatorze: U = - j XC I1 = 50 - j 50[V]
C
c) impedancji Z1 : jako U1 = U +U
R1 C
lub = Z1 I1 = 75 - j 25[V]
3) Oblicza się napięcie na impedancji Z2 : U = Z I1 = j 25[V]
2 2
dr inż. Marek Szulim
38 /39
e-mail: [e-mail]
PODSTAWY ELEKTRONIKI I MIERNICTWA W1: Sygnały i obwody elektryczne
C
u(t) L
4) Oblicza się prądy w
U
2
a) rezystorze R2 : I = = j 25[A]
2
R2
U
2
b) cewce: I = = 25[A]
3
jX
L
5) Wykres wskazowy tworzy się przyjmując następującą kolejność ryso-
wania:
1. U
2
2. I (w fazie z U )
2 2
3. I (opóz
niony względem U o 90o)
3 2
4. I1 (równy I + I )
2 3
5. U (w fazie z I1)
R1
6. U (opóz
nione względem I1 o 90o)
C
7. U1 (równe U +U )
R1 C
8. U (równe U1+U )
2
dr inż. Marek Szulim
39 /39
e-mail: [e-mail]