1
Wydział Matematyki Uniwersytetu A
ódzkiego
Repetytorium z geometrii
dla studentów I roku matematyki i informatyki
Maciej Czarnecki
[e-mail]
Spis treści
0 Wstęp 3
1 PÅ‚aszczyzna 4
1.1 Punkty i proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Figury płaskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Przekształcenia 9
2.1 Izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Podobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Rzuty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Przestrzeń trójwymiarowa 14
3.1 Punkty, proste i płaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Figury przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Przekształcenia przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Własności miarowe figur 18
4.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Długość krzywej i pole figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Trójkąty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 CzworokÄ…ty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 WielokÄ…ty foremne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Koło . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.7 Wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8 Bryły obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Geometria analityczna 28
5.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . 28
5.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . 29
5.3 Prosta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Trójkąt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 OkrÄ…g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.6 Krzywe stożkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
Rozdział 0
Wstęp
Niniejszy tekst jest próbą zgromadzenia faktów geometrycznych, które powinien
znać student pierwszego roku matematyki i kierunków pokrewnych. Ze względu
na częste zmiany programów nauczania wspólna dla wszystkich absolwentów szkół
ponadgimnazjalnych podstawa wiedzy geometrycznej jest uboga. Z drugiej strony
świeżo upieczeni studenci znają wiele faktów pobieżnie lub nawet intuicyjnie.
Celem repetytorium jest uporzÄ…dkowanie pewnych definicji i precyzyjne sformu-
łowanie znanych twierdzeń. Pociąga to za sobą konieczność zawarcia wielu kompro-
misów: wybór tylko jednej z wielu możliwych definicji, w bardziej skomplikowanych
przypadkach ograniczenie jej precyzji lub zakresu, wybór twierdzeń podstawowych
kosztem wielu użytecznych wniosków, odwołania do materiału występującego w dal-
szym ciągu itd. Suche przytoczenie faktów ma zapewnić łatwy dostęp do informacji,
a szerokie i precyzyjne poznanie tematyki jest możliwe w toku studiów.
Układ materiału od syntetycznej geometrii płaskiej i przestrzennej poprzez
przekształcenia do opisu analitycznego służy z jednej strony jak najbardziej efek-
tywnemu opisowi a z drugiej przygotowuje do przedmiotu algebra liniowa z geo-
metrią, który z kolei jest pierwszym etapem edukacji geometrycznej na studiach.
Pewne wykroczenia poza obowiązujący program szkolny mają na celu przybliżenie
obiektów, z którymi studenci mają często do czynienia.
Tekst nie jest jeszcze pełny, oczywistym brakiem jest nieobecność rysunków
i indeksu pojęć. Dyskusyjne jest, czy w takim opracowaniu powinny znalez
ć się
przykłady  znacząco zwiększyłyby jego objętość. Brak jakiegoś faktu czy pojęcia
może być spowodowany jego małą stosowalnością w matematyce wyższej, ale także
zwykłym niedopatrzeniem. Uwagi Czytelników o dostrzeżonych błędach i pominię-
ciach pozwolą na udoskonalenie kolejnych wersji repetytorium. Proszę kierować je
na mój adres [e-mail].
Dziękuję pani dr Monice Fabijańczyk za wiele życzliwych uwag, które pomogły
mi ulepszyć pierwotną wersję tekstu.
3
Rozdział 1
PÅ‚aszczyzna
Zgodnie z tradycję punkty będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu, a
ich zbiory  figury  małymi literami.
1.1 Punkty i proste
Pojęcia: przestrzeń (trójwymiarowa), płaszczyzna, prosta i punkt traktuje-
my jako pierwotne, to znaczy nie definiujemy ich. Relacje pomiędzy tymi
pojeciami opisują aksjomaty. Opis taki po raz pierwszy pojawił się w dziele
Euklidesa pt. Elementy w roku 300 p.n.e. Obecnie stosowany układ aksjoma-
tów dla geometrii (nawet płaskiej) jest dość skomplikowany i nie będziemy
go w całości przytaczać.
1.1.1 Do każdej prostej należy nieskończenie wiele punktów.
Punkty należące do jednej prostej nazywamy punktami współliniowymi.
1.1.2 Dla danego punktu istnieje nieskończenie wiele prostych zawierają-
cych (przechodzÄ…cych przez) ten punkt.
Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez punkt A oznaczamy przez
(A) i nazywamy pękiem prostych o wierzchołku A.
1.1.3 Dla danych dwóch różnych punktów istnieje dokładnie jedna prosta
przechodzÄ…ca przez te punkty.
Dla danych punktów A i B tę jedyna prostą oznaczamy przez AB.
1.1.4 Istnieją punkty, które nie są współliniowe.
1.1.5 Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny.
4
1.1. PUNKTY I PROSTE 5
Jeżeli różne proste l i m mają punkt wspólny A, to mówimy, że przecinają
się w punkcie A. Jeżeli proste te są rozłączne, to mówimy, że są równoległe
i piszemy l m. Przyjmujemy ponadto, że dwie proste pokrywające się są
do siebie równoległe.
1.1.6 Dla dowolnej danej prostej i danego punktu istnieje dokładnie jedna
prosta równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt.
Powyższy fakt nosi miano V postulatu Euklidesa.
1.1.7 Określimy odległość na płaszczyz
nie jako funkcję, która dowolnym
dwóm punktom A i B przypisuje liczbę nieujemną |AB| w taki sposób, że
warunki
1. |AB| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B,
2. |AB| = |BA|,
3. |AB| |AC| + |CB| (nierówność trójkąta)
są spełnione dla dowolnych punktów A, B, C.
Związek pomiędzy odległością punktów a ich współliniowością jest na-
stępujący:
1.1.8 Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi
co najmniej jeden z warunków:
1. |AB| = |AC| + |CB|
2. |AB| = |AC| - |CB|
3. |AB| = |CB| - |AC|
Zbiór wszystkich punktów C spełniających warunek 1. nazywamy od-
cinkiem o końcach A i B, a oznaczamy go przez AB. Punkt M " AB taki,
że |AM| = |BM| nazywamy środkiem odcinka AB, a odległość |AB| 
długością odcinka AB.
Dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punktów C spełniających
warunek 1. lub 2. nazywamy półprostą o początku A oraz zwrocie od A do
B i oznaczamy przez AB .
Zauważmy ponadto, że dla różnych punktów A, B zbiór wszystkich punk-
tów C spełniających warunek 1. lub 2. lub 3. jest prostą AB.
1.1.9 Dla każdej półprostej AB i każdej liczby a 0 istnieje dokładnie
jeden punkt C " AB taki, że |AC| = a.
1.1.10 Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe i prosta l przecina jeden
z odcinków AB, BC, CA, to przecina także jeszcze jeden z tych odcinków.
6 ROZDZIAA
1. PA
ASZCZYZNA
Powyższy fakt nazywamy aksjomatem Pascha. Wynika z niego, że dowolna
prosta dzieli płaszczyznę na dwa podzbiory. Każdy z nich wraz z wyznacza-
jąca go prostą nazywamy półpłaszczyzną.
1.2 Wektory
Definicja 1.2.1 Uporządkowaną parę punktów (A, B) nazywamy wektorem
zaczepionym o początku w punkcie A i końcu w punkcie B i oznaczamy przez
-
-
AB.
- - - -
- - - -
Wektory AB i CD nazywamy równymi, pisząc AB = CD, jeżeli środek
odcinka AD jest jednocześnie środkiem odcinka BC.
Wektorem swobodnym nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepio-
nych parami równych.
Najczęściej mówiąc o wektorze mamy na myśli wektor swobodny, nawet
jeżeli używamy dla jego oznaczenia początku i końca jednego z wektorów
zaczepionych, który go reprezentuje.
1.2.2 Dla dowolnego punktu A i dowolnego wektora swobodnego v istnieje
-
-
dokładnie jeden punkt B taki, że AB = v.
Definicja 1.2.3 Sumą wektorów swobodnych u i v nazywamy wektor u + v
-
równy wektorowi AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem oraz u =
- -
- -
AB, v = BC.
Definicja 1.2.4 Iloczynem wektora v przez liczbÄ™ a " R nazywamy wektor
- -
-
a·v równy wektorowi AC, gdzie A jest dowolnie ustalonym punktem, v = AB
oraz punkt C określamy następująco:
1. jeżeli a 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB
takim, że |AC| = a|AB|;
2. jeżeli a < 0, to C jest jedynym (por. 1.1.9) punktem półprostej AB1
takim, że |AC| = -a|AB1|, gdzie B1 " AB oraz A jest środkiem
odcinka BB1.
Oznaczmy przez ¸ wektor zerowy, czyli reprezentowany przez wektor
- -
-
zaczepiony AA. Dla dowolnego wektora v = AB niech -v oznacza wektor
-
-
reprezentowany przez wektor zaczepiony BA.
Twierdzenie 1.2.5 Dla dowolnych wektorów swobodnych u, v, w i dowol-
nych liczb a, b " R spełnione są warunki:
1. (u + v) + w = (u + v) + w,
2. u + v = v + u,
1.3. FIGURY PA
ASKIE 7
3. v + ¸ = v,
4. v + (-v) = ¸,
5. a · (u + v) = (a · u) + (a · v),
6. (a + b) · v = (a · v) + (b · v),
7. a · (b · v) = (ab) · v,
8. 1 · v = v.
1.3 Figury płaskie
Definicja 1.3.1 Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli wraz z każdą parą punk-
tów zawiera odcinek o końcach w tych punktach.
Definicja 1.3.2 Uporządkowaną parę półprostych o wspólnym początku
nazywamy kątem skierowanym, a półproste go wyznaczające  ramionami
kÄ…ta. KÄ…t skierowany o ramionach OA i OB oznaczamy przez AOB .
Kątem nieskierowanym nazywamy zbiór składający się z dwóch półpro-
stych o wspólnym początku (ramion kąta) i części płaszczyzny, którą z niej
wycinajÄ… (obszar kata). KÄ…t nieskierowany o ramionach OA i OB ozna-
czamy przez AOB.
Miarę kąta skierowanego (por. rozdział 13 repetytorium  niegeometrycz-
nego ) oznaczamy przez | AOB |. Miara kÄ…ta nieskierowanego (oznaczana
| AOB|) jest równa wartości bezwzględnej miary tego spośród kątów skiero-
wanych o tych samych ramionach, który zgodnie ze swoim zwrotem  zakre-
śla obszar kąta. Opisu miary kąta można dokonać precyzyjniej przy użyciu
narzędzi geometrii analitycznej.
Definicja 1.3.3 Niech A będzie punktem, r  liczbą dodatnią. Zbiór wszyst-
kich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A wynosi r nazy-
wamy okręgiem o środku A i promieniu r i oznaczamy przez O(A, r). Tym
samym
O(A, r) = {X " p ; |AX| = r}.
Zbiory:
K(A, r) ={X " p ; |AX| < r},
K(A, r) ={X " p ; |AX| r},
Z(A, r) ={X " p ; |AX| > r}
nazywamy odpowiednio: kołem otwartym, kołem domkniętym i zewnętrzem
koła o środku A i promieniu r.
8 ROZDZIAA
1. PA
ASZCZYZNA
Definicja 1.3.4 A
amaną nazywamy sumę ciągu odcinków, w którym jedy-
nym punktem wspólnym każdych dwóch kolejnych odcinków jest ich wspól-
ny koniec i każde kolejne dwa odcinki nie są współliniowe. Końce odcinków
tworzących łamaną nazywamy jej wierzchołkami, same odcinki  bokami
łamanej, a sumę długości wszystkich boków  długością łamanej.
A
amaną nazywamy zamkniętą, gdy jej każdy wierzchołek jest wspólnym
końcem co najmniej dwóch boków.
A
amana jest zwyczajna, jeżeli każdy jej bok ma punkty wspólne tylko z
bokami sąsiednimi (traktujemy bok pierwszy i ostatni także jako sąsiednie).
Definicja 1.3.5 Figura jest ograniczona, jezeli jest zawarta w pewnym kole.
Figura ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewne koło otwarte.
Definicja 1.3.6 Wielokątem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mającą
niepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półpłaszczyzn.
Wierzchołki i boki łamanej zwyczajnej zamkniętej ograniczającej wielo-
kąt nazywamy odpowiednio wierzchołkami i bokami wielokąta, a długość tej
Å‚amanej  obwodem wielokÄ…ta.
Przekątną wielokąta nazywamy każdy odcinek łączący jego wierzchołki,
który nie jest jednocześnie bokiem tego wielokąta.
Kątem wewnętrznym wielokąta nazywamy kąt o wierzchołku w wierz-
chołku wielokąta, którego ramiona zawierają boki wychodzące z tego wierz-
chołka i który zawiera cały wielokąt.
Wielokąt o n wierzchołkach (czyli także n bokach) nazywamy n kątem.
W dalszym ciągu będziemy rozważać tylko wielokąty wypukłe.
Definicja 1.3.7 Okręgiem opisanym na wielokącie nazywamy okrąg zawie-
rający wszystkie wierzchołki tego wielokąta.
Okręgiem wpisanym w wielokąt nazywamy okrąg zawarty w wielokącie
i styczny do wszystkich prostych (por. uwagÄ™ po tw. 4.1.4) zawierajÄ…cych
boki wielokÄ…ta.
Tradycyjnie oznaczamy wielokąt podając jednokrotnie kolejne wierzchołki
Å‚amanej go ograniczajÄ…cej.
Rozdział 2
Przekształcenia
2.1 Izometrie
Definicja 2.1.1 Izometrią płaszczyzny nazywamy takie przekształcenie F
płaszczyzny na płaszczyznę, które zachowuje odległość punktów, to znaczy
spełnia dla dowolnych punktów A, B warunek
|F (A)F (B)| = |AB|.
Twierdzenie 2.1.2 1. Przekształcenie tożsamościowe Id przypisujące każ-
demu punktowi ten sam punkt jest izometriÄ….
2. Złożenie dwóch izometrii jest izometrią.
3. Przekształcenie odwrotne do izometrii jest izometrią.
Składanie izometrii nie jest na ogół przemienne.
Definicja 2.1.3 Figury f i g nazywamy przystającymi, jeżeli istnieje izome-
tria F taka, że F (f) = g (czyli figura g jest izometrycznym obrazem figury
f).
Definicja 2.1.4 Punktem stałym przekształcenia F nazywamy taki punkt
A, że F (A) = A.
Twierdzenie 2.1.5 1. Izometria płaszczyzny, która ma trzy niewspółli-
niowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym.
2. Jeżeli A, B są różnymi punktami stałym izometrii, to cała prosta AB
składa się z punktów stałych tej izometrii.
Definicja 2.1.6 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punk-
ty prostej l, nazywamy symetrią osiową względem prostej l i oznaczamy
przez Sl.
9
10 ROZDZIAA
2. PRZEKSZTAA
CENIA
Izometrię, której jedynym punktem stałym jest punkt O, nazywamy sy-
metrią środkową względem punktu O i oznaczamy przez SO.
Definicja 2.1.7 Osią symetrii figury f nazywamy taką prostą l, że Sl(f) =
f (czyli obrazem figury f w symetrii osiowej względem prostej l jest ta sama
figura).
Środkiem symetrii figury f nazywamy taki punkt O, że SO(f) = f.
Twierdzenie 2.1.8 Symetria osiowa (odpowiednio środkowa) jest inwolu-
cją, to znaczy złożona sama ze sobą daje przekształcenie tożsamościowe.
Definicja 2.1.9 Mówimy, że dwie różne proste l i m są prostopadłe, gdy l
jest osiÄ… symetrii prostej m (lub co na jedno wychodzi m jest osiÄ… symetrii
prostej l). Piszemy wtedy l Ä„" m.
Twierdzenie 2.1.10 Dla dowolnego punktu A i dowolnej prostej l istnieje
dokładnie jedna prosta przechodząca przez A i prostopadła do l.
Twierdzenie 2.1.11 Jeżeli na płaszczyz
nie proste k i m są prostopadłe do
pewnej prostej l (czyli k Ą" l Ą" m), to proste k i m są równoległe (czyli
k m).
Definicja 2.1.12 Dwie proste l i m przecinajÄ…ce siÄ™ w punkcie O tworzÄ…
cztery wypukłe kąty nieskierowane  każdy z nich ma wierzchołek w punkcie
O, jedno z jego ramion zawiera siÄ™ w prostej l, a drugie w prostej m.
Dwa spośród tych kątów nazywamy Kątami przyległymi jeżeli mają wspól-
ne ramię, a kątami wierzchołkowymi  jeżeli ich jedynym punktem wspól-
nym jest wierzchołek.
Twierdzenie 2.1.13 Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
Suma miar kątów przyległych jest równa Ą.
Jako miarę kąta pomiędzy prostymi przyjmujemy miarę dowolnego z
czterch kątów wypukłych przez nie utworzonych. Nie prowadzi to do niepo-
rozumień, bo proste przecinające się pod kątem ą przecinają się także pod
kÄ…tem Ä„ - Ä….
Kąt pomiędzy prostymi prostopadłymi jest kątem prostym, a jego miara
Ä„ Ä„
jest równa . Kąt o mierze z przedziału (0, ) nazywamy kątem ostrym, o
2 2
mierze z przedziału (Ą , Ą)  kątem rozwartym, a kąt o mierze równej Ą 
2
kątem półpełnym.
Definicja 2.1.14 SymetralnÄ… odcinka nazywamy oÅ› symetrii tego odcinka
różną od prostej zawierającej ten odcinek.
Odległość figur jest określona w def. 4.1.1.
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta,
zawarta w kÄ…cie i jego osi symetrii.
2.1. IZOMETRIE 11
Twierdzenie 2.1.15 Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów
płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka.
Twierdzenie 2.1.16 Dwusieczna kąta jest zbiorem wszystkich punktów ką-
ta równoodległych od jego ramion.
Twierdzenie 2.1.17 Każda izometria płaszczyzny różna od przekształcenia
tożsamościowego jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osio-
wych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.
Twierdzenie 2.1.18 Izometria przekształca:
1. prostÄ… na prostÄ…,
2. odcinek na odcinek o tej samej długości,
3. półprostą na półprostą,
4. okrÄ…g na okrÄ…g o tym samym promieniu,
5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) na koło otwarte (odpowiednio
domknięte) o tym samym promieniu.
Twierdzenie 2.1.19 Izometria zachowuje:
1. równoległość prostych,
2. prostopadłość prostych,
3. kąt pomiędzy prostymi.
Definicja 2.1.20 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach równoległych
nazywamy translacją. Jeżeli l i m są prostymi równoległymi, to wektorem
-
-
translacji Sm ć% Sl nazywamy wektor 2 · AB, gdzie A " l, B " m oraz AB Ä„" l
(wtedy także AB Ą" m).
Definicja 2.1.21 Złożenie dwóch symetrii osiowych o osiach przecinają-
cych się nazywamy obrotem. Jeżeli l i m są prostymi przecinającymi się w
punkcie O, to środkiem obrotu nazywamy punkt O, a kątem obrotu Smć%Sl na-
zywamy kÄ…t skierowany o mierze 2| AOB |, gdzie A " l\{O}, B " m\{O}.
Twierdzenie 2.1.22 Złożeniem translacji o wektor u z translacją o wektor
v jest translacja o wektor u + v.
Twierdzenie 2.1.23 Złożeniem obrotu o środku O o kąt ą z obrotem o
Å›rodku O o kÄ…t ² jest obrót o Å›rodku O o kÄ…t Ä… + ².
Twierdzenie 2.1.24 Obrót o kąt Ą jest złożeniem dwóch symetrii osiowych
o osiach prostopadłych czyli symetrią środkową.
12 ROZDZIAA
2. PRZEKSZTAA
CENIA
2.2 Podobieństwa
Definicja 2.2.1 Podobieństwem na płaszczyz
nie o skali k > 0 nazywamy
takie przekształcenie F płaszczyzny na płaszczyznę, które mnoży odległość
punktów przez liczbę k, to znaczy spełnia dla dowolnych punktów A, B
warunek
|F (A)F (B)| = k|AB|.
Definicja 2.2.2 Figury f i g nazywamy podobnymi, jeżeli istnieje podo-
bieństwo F takie, że F (f) = g.
Definicja 2.2.3 Jednokładnością o środku O i skali s " R \ {0} nazywamy
s
przekształcenie JO dane dla dowolnego punktu A warunkiem
- -
----
s
OJO(A) = s · OA.
Twierdzenie 2.2.4 1. Jednokładność o skali s jest podobieństwem o ska-
li |s|.
2. Złożeniem jednokładności o środku O i skali s1 z jednokładnością o
środku O i skali s2 jest jednokładność o środku O i skali s1s2.
3. Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku O i skali s
1
jest jednokładność o środku O i skali .
s
Twierdzenie 2.2.5 Każde podobieństwo jest złożeniem jednokładności z
izometriÄ….
Twierdzenie 2.2.6 Podobieństwo o skali k przekształca:
1. prostÄ… na prostÄ…,
2. odcinek o długości a na odcinek o długości ka,
3. półprostą na półprostą,
4. okrÄ…g o promieniu r na okrÄ…g o promieniu kr,
5. koło otwarte (odpowiednio domknięte) o promieniu r na koło otwarte
(odpowiednio domknięte) o promieniu kr.
Twierdzenie 2.2.7 Podobieństwo zachowuje:
1. równoległość prostych,
2. prostopadłość prostych,
3. kąt pomiędzy prostymi.
2.3. RZUTY 13
2.3 Rzuty
Definicja 2.3.1 Jeżeli proste l i m nie są równoległe, to rzutem równole-
głym na prostą m w kierunku prostej l nazywamy przekształcenie przypisu-
jące dowolnemu punktowi A punkt Am będący jedynym punktem wspólnym
l
prostej m oraz prostej równoległej do prostej l i przechodzącej przez punkt
A.
Zauważmy, że z samej definicji rzut równoległy nie jest przekształceniem
różnowartościowym; w szczególności nie jest więc także izometrią.
Twierdzenie 2.3.2 Rzut równoległy jest przekształceniem idempotentnym,
to znaczy złożony sam ze sobą daje samego siebie.
Definicja 2.3.3 Rzutem prostopadłym na prostą m nazywamy rzut rów-
noległy na tę prostą w kierunku prostej prostopadłej do prostej m. Obraz
dowolnego punktu A w rzucie prostopadłym na prostą m oznaczamy przez
Am.
Twierdzenie 2.3.4 Punkt Sl(A) będący obrazem punktu A w symetrii osio-
wej względem prostej l spełnia warunek
- -
---- -
AlSl(A) = AAl.
Twierdzenie 2.3.5 (Talesa) Rzut równoległy zachowuje stosunek długości
odcinków równoległych a nierównoległych do kierunku rzutowania.
Innymi słowy, jeżeli odcinki AB i CD, o niezerowej długości, są rów-
noległe do siebie, proste m nie jest równoległa do prostej l oraz AB l i
CD l, to
m
|AmBl | |AB|
l

= .
m

ClmDl |CD|
Rozdział 3
Przestrzeń trójwymiarowa
W geometrii przestrzennej pojęciami pierwotnymi są: przestrzeń (trójwy-
miarowa) , płaszczyzny, proste i punkty. Pozostają w mocy wszystkie
stwierdzenia dotyczące tylko punktów i prostych.
3.1 Punkty, proste i płaszczyzny
3.1.1 Każda płaszczyzna zawiera nieskończenie wiele prostych.
Punkty należace do jednej płaszczyzny, jak i proste leżące w jednej płasz-
czyz
nie, nazywamy współpłaszczynowymi.
3.1.2 Dla danych trzech punktów niewspółliniowych istnieje dokładnie jed-
na płaszczyzna przechodząca przez te punkty.
Dla danych punktów A, B i C tę jedyna płaszczyznę oznaczamy przez ABC.
3.1.3 Istnieją punkty, które nie są współpłaszczyznowe.
Część przestrzeni, która powstaje przez rozcięcie przestrzeni płaszczyzną,
wraz z tą płaszczyzną, nazywamy półprzestrzenią.
3.1.4 Dwie różne płaszczyzny są rozłączne lub ich częścią wspólną jest
prosta.
Jeżeli różne płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej, to mówimy, że prosta
ta jest ich wspólną krawędzią. Jeżeli płaszczyny są rozłączne lub pokrywają
się, to mówimy, że są równoległe.
3.1.5 Dla dowolnej danej płaszczyzny i danego punktu istnieje dokładnie
jedna płaszczyzna równoległa do danej i przechodząca przez dany punkt.
Twierdzenie 3.1.6 Dwie proste w przestrzeni są równoległe lub przecinają
się w jednym punkcie lub są rozłączne i nierównoległe.
14
3.2. FIGURY PRZESTRZENNE 15
W dwóch pierwszych przypadkach obie proste leżą na pewnej wspólnej
płaszczyz
nie; w przypadku trzecim mówimy, że proste są skośne (nie leżą
one wtedy na jednej płaszczyz
nie).
3.1.7 Płaszczyzna nie zawierająca danej prostej jest z nią rozłączna lub
ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny.
W pierwszym z przypadków mówimy, że prosta jest równoległa do płaszczy-
zny, a w drugim  że przebija płaszczyznę.
3.2 Figury przestrzenne
Definicja 3.2.1 Niech A będzie punktem, r  liczbą dodatnią. Zbiór wszyst-
kich punktów przestrzeni , których odległość od punktu A wynosi r na-
zywamy sferą o środku A i promieniu r i oznaczamy przez S(A, r). Tym
samym
S(A, r) = {X "  ; |AX| = r}.
Zbiory:
K(A, r) ={X "  ; |AX| < r},
K(A, r) ={X "  ; |AX| r}
nazywamy odpowiednio: kulą otwartą i kulą domkniętą o środku A i promie-
niu r.
Analogicznie jak w przypaku płaskim mówimy, że sfera S(A, r) jest stycz-
na do płaszczyzny p, jeżeli odległość punktu A od płaszczyzny p jest równa r
(lub równoważnie: gdy sfera ma z płaszczyzną dokładnei jeden punkt wspól-
ny.
Definicja 3.2.2 Figura przestrzenna jest ograniczona, jeżeli jest zawarta w
pewnej kuli. a ma niepuste wnętrze, jeżeli zawiera pewną kulę otwartą.
Definicja 3.2.3 Wielościanem (wypukłym) nazywamy ograniczoną i mają-
cą niepuste wnętrze część wspólną skończonej liczby półprzestrzeni.
Brzeg wielościanu składa się z wielokątów, które nazywamy ścianami,
ich boki są krawędziami, a wierzchołki  wierzchołkami wielościanu.
Definicja 3.2.4 Sferą opisaną na wielościanie nazywamy sferę, do której
należą wszystkie wierzchołki tego wielościanu.
Sferą wpisaną w wielościan nazywamy sferę o środku należącym do wie-
lościanu i styczną do wszystkich płaszczyzn zawierających ściany tego wie-
lościanu.
16 ROZDZIAA
3. PRZESTRZEC
TRÓJWYMIAROWA
3.3 Przekształcenia przestrzeni
Definicja 3.3.1 Izometrią przestrzeni nazywamy przekształcenie przestrze-
ni na przestrzeń, zachowujące odległość punktów.
Twierdzenie 3.3.2 1. Izometria przestrzeni, która ma cztery niewspół-
liniowe punkty stałe, jest przekształceniem tożsamościowym.
2. Jeżeli A, B, C są niewspółliniowymi punktami stałymi izometrii, to ca-
ła płaszczyzna ABC składa się z punktów stałych tej izometrii.
Definicja 3.3.3 Izometrię, dla której wszystkimi punktami stałymi są punk-
ty płaszczyzny p, nazywamy symetrią płaszczyznową względem płaszczyzny
p i oznaczamy przez Sp.
Twierdzenie 3.3.4 Każda izometria przestrzeni różna od przekształcenia
tożsamościowego jest symetrią płaszczyznową lub złożeniem co najwyżej czte-
rech symetrii płaszczyznowych.
Definicja 3.3.5 Płaszczyzną symetrii figury f nazywamy taką płaszczyznę
p, że Sp(f) = f.
Definicja 3.3.6 Mówimy, że prosta l jest prostopadła do płaszczyzny p, gdy
każda prosta przechodząca przez punkt A " l )" p i leżąca w płaszczyz
nie p
jest prostopadła do prostej l.
Mówimy, że dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeżeli jedna z nich zawiera
prostą prostopadłą do drugiej płaszczyzny.
Definicja 3.3.7 Jeżeli prosta l nie jest równoległa do płaszczyzny p, to
rzutem równoległym na płaszczyznę p w kierunku prostej l nazywamy prze-
kształcenie przypisujące dowolnemu punktowi A punkt będący jedynym
punktem wspólnym płaszczyzny p oraz prostej równoległej do prostej l i
przechodzÄ…cej przez punkt A.
Rzutem prostopadłym na płaszczyznę p nazywamy rzut równoległy na tę
płaszczyznę w kierunku prostej prostopadłej do płaszczyzny p.
Definicja 3.3.8 Miarą kąta pomiędzy prostą l a nierównoległą do niej płasz-
czyzną p nazywamy miarę kąta pomiędzy prostą l i jej rzutem prostopadłym
na płaszczyznę p.
Miarą kąta pomiędzy nierównoległymi płaszczyznami p i q przecinającymi
siÄ™ wzdÅ‚uż prostej l nazywamy miarÄ™ kÄ…ta pomiÄ™dzy prostymi k ‚" p i m ‚" q
przechodzącymi przez punkt A " l i prostopadłymi do prostej l.
Twierdzenie 3.3.9 Izometria przestrzeni przekształca:
1. płaszczyznę na płaszczyznę,
3.3. PRZEKSZTAA
CENIA PRZESTRZENI 17
2. sferÄ™ na sferÄ™ o tym samym promieniu,
3. kulę otwartą (odpowiednio domkniętą) na kulę otwartą (odpowiednio
domkniętą) o tym samym promieniu.
Twierdzenie 3.3.10 Izometria przestrzeni zachowuje:
1. równoległość prostych i płaszczyzn,
2. prostopadłość prostych i płaszczyzn,
3. kąt pomiędzy prostymi i płaszczyznami.
Rozdział 4
Własności miarowe figur
4.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów
Definicja 4.1.1 Odległością dwóch figur niepustych f i g nazywamy liczbę
d(f, g) = inf{|AB| ; A " f '" B " g}.
Powyższa definicja nie pociąga za sobą wniosku, że dla dowolnych figur
f i g istnieją punkty A " f i B " g takie, że d(f, g) = |AB|.
Twierdzenie 4.1.2 Odległość punktu A od prostej l jest równa |AAl| (czyli
odległości punktu od jego rzutu prostopadłego na tę prostą).
Twierdzenie 4.1.3 Odległość dwóch prostych przecinających się (a tym
bardziej prostych pokrywajÄ…cych siÄ™) wynosi 0.
Odległość dwóch prostych równoległych l i m jest równa długości odcinka
prostopadłego łączącego punkty z obu prostych (czyli dla dowolnego punktu
A " l wynosi |AAm|).
Twierdzenie 4.1.4 Niech dla prostej l i okręgu O(S, r), położonych na jed-
nej płaszczyz
nie, liczba d będzie odległością punktu S od prostej l. Wówczas:
1. jeżeli d < r, to okrąg i prosta mają dokładnie dwa punkty wspólne.
2. jeżeli d = r, to okrąg i prosta mają dokładnie jeden punkt wspólny.
3. jeżeli d > r, to okrąg i prosta są rozłączne.
W przypadku 1. mówimy, że prosta jest sieczną okręgu, a w przypadku
2.  że jest styczna do okręgu.
Twierdzenie 4.1.5 Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu O(S, r) w punkcie
A, to odcinek OA jest prostopadły do prostej l.
18
4.2. DA
UGOŚĆ KRZYWEJ I POLE FIGURY 19
Twierdzenie 4.1.6 Przez dowolny punkt z zewnętrza koła przechodzą do-
kładnie dwie proste styczne do okręgu ograniczającego to koło.
Jeżeli dwie proste przecinają się w punkcie O i są styczne do tego samego
okręgu, odpowiednio w punktach A i B, to |OA| = |OB|.
Twierdzenie 4.1.7 Niech dla okręgów O(A1, r1) i O(A2, r2), położonych
na jednej płaszczyz
nie, liczba d będzie odległością ich środków. Wówczas:
1. jeżeli d = 0 i r1 < r2, to okręgi są rozłączne, a koło K(A2, r2) zawiera
koło domknięte K(A1, r1).
2. jeżeli 0 < d < |r2 - r1| i r1 < r2, to okręgi są rozłączne, a koło
K(A2, r2) zawiera koło domknięte K(A1, r1).
3. jeżeli d = |r2 - r1| i r1 < r2, to okręgi mają dokładnie jeden punkt
wspólny, a koło domknięte K(A2, r2) zawiera koło domknięte K(A1, r1).
4. jeżeli |r2 - r1| < d < r1 + r2, to okręgi mają dokładnie dwa punkty
wspólne.
5. jeżeli d = r1 +r2, to okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, a koła
K(A1, r1) i K(A2, r2) są rozłączne.
6. jeżeli d > r1 + r2, to koła domknięte K(A1, r1) i K(A2, r2) (a tym
samym także okręgi) są rozłączne.
W przypadku 1. o okręgach mówimy, że są koncentryczne, w przypadku 3.
 styczne wewnętrznie, w przypadku 4.  przecinające się, a w przypadku
5.  że są styczne zewnętrznie.
4.2 Długość krzywej i pole figury
Krzywa jest ciągłym obrazem odcinka, ale do zrozumienia poniższej definicji
wystarczy tylko intuicyjne wyczucie tego pojęcia.
Definicja 4.2.1 Rozważmy wszystkie łamane wpisane w krzywą, to znaczy
mające wszystkie wierzchołki leżące na tej krzywej i uporządkowane zgodnie
z orientacją krzywej. Jeżeli zbiór długości takich łamanych posiada kres
górny, to nazywamy ten kres górny długością krzywej.
Oczywiście długość łamanej rozpatrywanej jako krzywa jest równa zwy-
kłej długości łamanej. Powyższa definicja przydaje się na przykład do poli-
czenia długości okręgu (poprzez wpisywanie w niego wielokątów foremnych
o coraz większej liczbie boków).
20 ROZDZIAA
4. WA
ASNOÅšCI MIAROWE FIGUR
Definicja 4.2.2 Rozważmy na płaszczyz
nie siatki kwadratowe o długościach
1
boków dążacych do zera, na przykład , n " N.
2n
Dla ustalonej figury f i siatki na poziomie n obliczmy sumę wn pól
kwadratów całkowicie zawartych w figurze f oraz sumę zn pól kwadratów
mających niepustą część wspólną z figurą f. Jeżeli ciągi (wn) i (zn) mają tę
samą granicę, to tę wspólną wartość nazywamy polem figury f.
Z powyższej definicji dość łatwo wynika, że pola wielokątów wyrażają
się znanymi wzorami. Może ona jednak służyć do obliczania pola bardziej
skomplikowanych figur, na przykład koła.
4.2.3 Podobnie jak pole figury płaskiej można zdefiniować objętość figury
przestrzennej używając siatek sześciennych.
4.3 Trójkąty
Definicja 4.3.1 Trójkąt o dwóch bokach równej długości nazywamy trój-
kątem równoramiennym, a jego równe boki  ramionami trójkąta.
Trójkąt o wszystkich trzech bokach równej długości nazywamy trójkątem
równobocznym.
Definicja 4.3.2 Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierz-
chołek trójkąta z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciw-
legły bok.
Środkową w trójkącie nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze
środkiem przeciwległego mu boku.
Twierdzenie 4.3.3 Wysokość w trójkącie równoramiennym mająca punkt
wspólny z oboma ramionami jest jednocześnie środkową w tym trójkącie.
Twierdzenie 4.3.4 Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie,
który dzieli każdą z nich w stosuku 2 : 1 (licząc od wierzchołka do środka
przeciwległego boku).
Punkt przecięcia środkowych trójkąta nazywamy jego środkiem ciężkości.
Twierdzenie 4.3.5 Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi Ą.
Definicja 4.3.6 Trójkąt o jednym kącie prostym nazywamy trójkątem pro-
stokątnym, trójkąt o jednym kącie rozwartym  trójkątem rozwartokątnym,
a trójkąt o wszystkich kątach ostrych  trójkątem ostrokątnym.
Twierdzenie 4.3.7 Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem
okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego
trójkąta.
4.3. TRÓJK
TY 21
W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Środkiem okręgu wpisanego w trój-
kąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta.
W szczególności, że zarówno symetralne boków trójkąta przecinają się w
jednym punkcie, jak i dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają
siÄ™ w jednym punkcie.
W trójkącie ABC przyjmuje się standardowe oznaczenia:
" a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|,
" Ä…, ², Å‚ oznaczajÄ… miary kÄ…tów wewnÄ™trznych odpowiednio o wierzcho-
Å‚akch A, B, C,
" R oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, a r  promień
okręgu wpisanego w ten trójkąt,
a+b+c
" p oznacza połowę obwodu trójkąta: p = ,
2
" hA, hB, hC oznaczają długości wysokości opuszczonych odpowiednio
z punktów A, B, C.
Twierdzenie 4.3.8 (Pitagorasa) Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko
wtedy, gdy kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów
długości pozostałych boków.
Przy standardowych oznaczeniach:
Ä„
Å‚ = Ð!Ò! c2 = a2 + b2.
2
W trójkącie prostokątnym bok leżący naprzeciw kąta prostego nazywamy
przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki przyprostokątnymi.
Twierdzenie 4.3.9 (cosinusów) W trójkącie kwadrat długości jednego z
boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszo-
nej o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta wewnętrznego
zawartego pomiędzy nimi.
Przy standardowych oznaczeniach:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos Å‚.
Twierdzenie 4.3.10 W trójkącie ostrokątnym kwadrat długości dowolnego
boku jest mniejszy od sumy kwadratów długości pozostałych boków.
W trójkącie rozwartokątnym kwadrat długości najdłuższego boku jest więk-
szy od sumy kwadratów długości pozostałych boków.
Twierdzenie 4.3.11 (sinusów) W trójkącie stosunek długości boku do si-
nusa przeciwległego mu kąta wewnętrznego jest stały i równy średnicy okręgu
opisanego na tym trójkącie.
22 ROZDZIAA
4. WA
ASNOÅšCI MIAROWE FIGUR
Przy standardowych oznaczeniach:
a b c
= = = 2R.
sin Ä… sin ² sin Å‚
Twierdzenie 4.3.12 W trójkącie naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.
Twierdzenie 4.3.13 (cechy przystawania trójkątów) Jeżeli dwa trój-
kąty spełniają co najmniej jeden z warunków:
1. (bbb) mają po trzy boki o odpowiednio równych długościach,
2. (bkb) mają po dwa boki o odpowiednio równych długościach i kąty
pomiędzy tymi bokami o tych samych miarach,
3. (kbk) mają po jednym boku tej samej długości i przylegające do niego
kÄ…ty majÄ… odpowiednio te same miary,
to trójkąty te są przystające.
Twierdzenie 4.3.14 (cechy podobieństwa trójkątów) Jeżeli dwa trój-
kąty spełniają co najmniej jeden z warunków:
1. (bbb) długości ich trzech boków są proporcjonalne,
2. (bkb) długości ich dwóch boków są proprorcjonalne i kąty pomiędzy
tymi bokami majÄ… tÄ™ samÄ… miarÄ™,
3. (kk) mają po dwa kąty o odpowiednio równych miarach,
to trójkąty te są podobne.
Twierdzenie 4.3.15 Pole P trójkąta ABC wyraża się przy standardowych
oznaczeniach wzorami
1
P = ahA
2
1
P = ab sin Å‚
2
P =pr

P = p(p - a)(p - b)(p - c) (wzór Herona)
abc
P =
4R
P =2R2 sin Ä… sin ² sin Å‚
Twierdzenie 4.3.16 W trójkącie równobocznym o boku długości a pole wy-
"
a2 3
nosi P = , a promienie okręgu opisanego i wpisanego są równe odpo-
4
" "
a 3 a 3
wiednio R = i r = .
3 6
4.4. CZWOROK
TY 23
4.4 CzworokÄ…ty
Definicja 4.4.1 Czworokąt o dwóch bokach równoległych nazywamy tra-
pezem, a dwa jego równoległe boki podstawami trapezu.
Czworokąt o dwóch parach boków równoległych  równoległobokiem.
Trapez, którego dwa boki niewyróżnione jako podstawy są równej dłu-
gości nazywamy trapezem równoramiennym, a równoległobok o wszystkich
bokach równej długości  rombem.
Twierdzenie 4.4.2 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylko
wtedy, gdy środki jego przekątnych AC i BD pokrywają się.
Twierdzenie 4.4.3 Czworokąt ABCD jest równoległobokiem wtedy i tylko
- -
- -
wtedy, gdy AB = DC.
Twierdzenie 4.4.4 Suma miar kątów wewnętrznych czoworokąta wynosi
2Ä„.
Definicja 4.4.5 CzworokÄ…t o wszystkich kÄ…tach prostych nazywamy pro-
stokątem, a prostokąt o wszystkich bokach równej długości  kwadratem.
Twierdzenie 4.4.6 Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wte-
dy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów są równe.
Okrąg można opisać na przykład na prostokącie i trapezie równoramien-
nym (o ile nie jest równoległobokiem).
Twierdzenie 4.4.7 W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.
Okrąg można wpisać na przykłąd w romb.
Twierdzenie 4.4.8 W kwadracie o boku długości a promienie okręgu opi-
"
a 2 a
sanego i wpisanego są równe odpowiednio R = i r = .
2 2
Twierdzenie 4.4.9 Pole P prostokąta o bokach długości a i b wynosi
P = ab.
W szczególności pole kwadratu o boku długości a wynosi a2.
Twierdzenie 4.4.10 Pole P równoległoboku o bokach długości a i b, kącie
wewnętrznym ą i wysokości opuszczonej na bok a długości ha wynosi
P = ab sin Ä… = aha.
24 ROZDZIAA
4. WA
ASNOÅšCI MIAROWE FIGUR
Twierdzenie 4.4.11 Pole P trapezu o bokach równoległych długości a i b,
i wysokości opuszczonej na którykolwiek z nich długości h wynosi
a + b
P = h.
2
Twierdzenie 4.4.12 Proste zawierające przekątne rombu są prostopadłe i
zawierają dwusieczne jego kątów wewnętrznych.
Pole P rombu o przekatnych długości d1 i d2 wynosi
d1d2
P = .
2
4.5 WielokÄ…ty foremne
Definicja 4.5.1 n kąt nazywamy foremnym jeżeli wszystkie jego boki są
równej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne jednakowej miary.
Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, a czworokątem forem-
nym  kwadrat. Istnieją wielokąty foremne o dowolnej liczbie boków.
na2 Ä„
Twierdzenie 4.5.2 W n kÄ…cie foremnym o boku a pole wynosi P = ctg ,
4 n
a
a promienie okręgu opisanego i wpisanego są odpowiednio równe R = Ą
2 sin
n
a Ä„
i r = ctg .
2 n
Twierdzenie 4.5.3 Sześciokąt foremny o boku długości a jest sumą sześciu
"
3a2 3
trójkątów równoobocznych o boku a. Jego pole wynosi P = , a promienie
2
"
a 3
okręgu opisanego i wpisanego są odpowiedni równe R = a i r = .
2
4.6 Koło
Definicja 4.6.1 W danym okręgu kątem środkowym nazywamy kąt o wierz-
chołku w środku tego okręgu, a kątem wpisanym  kąt wypukły o wierz-
chołku w punkcie leżącym na okręgu i przecinający koło otwarte ograniczone
przez dany okrÄ…g.
Twierdzenie 4.6.2 (o kÄ…tach w kole) KÄ…t wpisany w okrÄ…g ma miarÄ™
równą połowie miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary.
Twierdzenie 4.6.3 W okręgu kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek prze-
ciwprostokątnej tego trójkąta.
Twierdzenie 4.6.4 Długość okręgu o promieniu r jest równa 2Ąr.
Pole koła o promieniu r wynosi Ąr2.
4.7. WIELOÅšCIANY 25
Definicja 4.6.5 Wycinkiem kołowym nazywamy część wspólną koła i kąta
środkowego dla danego koła.
Twierdzenie 4.6.6 Pole wycinka kołowego o promieniu r i kącie rozwarcia
r2Ä…
ą wynosi P = , a długość łuku okręgu ograniczającego ten wycinek jest
2
równa l = rą.
4.7 Wielościany
Definicja 4.7.1 Wielościan, w którym jedna ze ścian jest obrazem innej w
translacji i pozostałe krawędzie łączą
ich odpowiadające sobie wierzchołki, nazywamy graniastosłupem, jego
dwie wyróżnione ściany  podstawami, a krawędzie o końcach na różnych
podstawach  krawędziami bocznymi.
Graniastosłup prosty ma krawędzie boczne prostopadłe do podstaw, a
graniastosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny.
Definicja 4.7.2 Objętość graniastosłupa wynosi
V = PpH,
gdzie Pp jest jest jego polem podstawy, a H  wysokością (czyli odległo-
ścią dowolnego punktu jednej z podstaw od płaszczyzny zawierającej drugą
podstawÄ™).
Definicja 4.7.3 Graniastosłup prosty o podstawie będącej prostokątem na-
zywamy prostopadłościanem, a prostopadłościan o wszystkich krawędziach
tej samej długości  sześcianem.
Twierdzenie 4.7.4 Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c
wynosi V = abc.
Twierdzenie 4.7.5 W sześcianie o krawędzi długości a objętość wynosi
V = a3, a promienie sfery opisanej i wpisanej są równe odpowiednio R =
"
a 3 a
i r = .
2 2
Definicja 4.7.6 Wielościan, w którym istnieje ściana i wierzchołek takie,
że krawędzie nie będące krawędziami wyróznionej ściany łączą wierzchoł-
ki tej ściany z wyróżnionym wierzchołkiem, nazywamy ostrosłupem, jego
wyróżnioną ścianę  podstawą, wyróżniony wierzchołek  wierzchołkiem
ostrosłupa, a krawędzie łączące podstawę z wierzchołkiem  krawędziami
bocznymi.
Ostrosłup prawidłowy ma ponadto w podstawie wielokąt foremny, a od-
cinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem ostrosłupa jest prostopadły
do podstawy.
26 ROZDZIAA
4. WA
ASNOÅšCI MIAROWE FIGUR
Definicja 4.7.7 Objętość ostrosłupa wynosi
1
V = PpH,
3
gdzie Pp jest jest jego polem podstawy, a H  wysokością (czyli odległością
wierzchołka od płaszczyzny zawierającej podstawę).
Definicja 4.7.8 Ostrosłup o podstawie będącej trójkątem nazywamy czwo-
rościanem, a czworościan o wszystkich krawędziach równej długości  czwo-
rościanem foremnym.
Twierdzenie 4.7.9 W czworościanie foremnym o krawędzi długości a ob-
"
a3 2
jętość wynosi V = , a promień sfery opisanej i wpisanej są równe od-
12
" "
a 6 a 6
powiednio R = i r = .
4 12
Definicja 4.7.10 Wielościanem foremnym nazywamy wielościan, którego
wszystkie ściany są parami przystającymi wielokątami foremnymi i każdy
wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu.
Twierdzenie 4.7.11 Jedynymi wielościanami foermnymi są tak zwane bry-
ły platońskie czyli
1. czworościan foremny,
2. sześcian,
3. ośmiościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocznymi),
4. dwunastościan foremny (o ścianach będących pięciokątami foremny-
mi),
5. dwudziestościan foremny (o ścianach będących trójkątami równobocz-
nymi),
4.8 Bryły obrotowe
Kulę można otrzymać w wyniku obrotu koła wokół prostej zawierającej śred-
nicę tego koła.
4
Twierdzenie 4.8.1 Objętość kuli o promieniu r wynosi V = Ąr3.
3
Pole sfery o promieniu r wynosi P = 4Ä„r2.
Definicja 4.8.2 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu prostokąta wokół pro-
stej zawierającej jeden z jego boków nazywamy walcem.
Długość boku prostokąta, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wyso-
kością walca, długość boku sąsiadującego  promieniem podstawy walca,
koła zakreślone przez promienie  podstawami walca, a figurę zakreśloną
przez bok równoległy do osi obrotu  powierzchnią boczną walca.
4.8. BRYA
Y OBROTOWE 27
Twierdzenie 4.8.3 Objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości H
wynosi V = Ä„r2H, a pole powierzchni bocznej tego walca P = 2Ä„rH.
Definicja 4.8.4 Bryłę otrzymaną w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego
wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych nazywamy stoż-
kiem.
Długość przyprostokątnej, wokół którego obracaliśmy, nazywamy wy-
sokością stożka, długość drugiej przyprostokątnej  promieniem podstawy
stożka, koło zakreślone przez promień  podstawą stożka, a figurę zakreśloną
przez przeciwprostokątną  powierzchnią boczną stożka.
Twierdzenie 4.8.5 Objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości H
1
wynosi V = Ąr2H, a pole powierzchni bocznej tego stożka P = Ąrl, gdzie
3
"
l = r2 + H2.
Rozdział 5
Geometria analityczna
5.1 Punkty i wektory w układzie współrzędnych
Na płaszczyz
nie wprowadzamy prostokątny układ współrzędnych, to znaczy
przypisujemy każdemu punktowi A dwie liczby: odciętą x i rzędną y. Piszemy
wówczas po prostu A = (x, y).
-
-
Dla punktów A = (x1, y1) i B = (x2, y2) wektor AB utożsamiamy z parą
liczb [x2 - x1, y2 - y1].
Tak określone punkty i wektory spełniają warunki 1.2.2, 1.2.3 oraz 1.2.5.
Definicja 5.1.1 Iloczynem skalarnym wektorów u = [u1, u2] i v = [v1, v2]
nazywamy liczbÄ™
u " v = u1v1 + u2v2.
Długością wektora v = [v1, v2] nazywamy liczbę

"
2 2
|v| = v " v = v1 + v2.
Twierdzenie 5.1.2 Dla dowolnych wektorów u, v, w i liczb a, b " R speł-
nione sÄ… warunki:
1. (a · u + b · v) " w = au " w + bv " w,
2. u " v = v " u,
3. v " v > 0 o ile v = ¸.

Twierdzenie 5.1.3 Dla dowolnych wektorów u, v i liczby a " R spełnione
sÄ… warunki:
1. |v| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v = ¸,
2. |a · v| = |a||v|,
3. |u + v| |u| + |v|.
28
5.2. PRZEKSZTAA
CENIA W UKA
ADZIE WSPÓA
RZ
DNYCH 29
Twierdzenie 5.1.4 Dla dowolnych wektorów u, v zachodzi nierówność
|u " v| |u||v|.
Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu po lewej stronie występuje zwy-
kła wartość bezwględna liczby.
Twierdzenie 5.1.5 Odległość punktów A = (x1, y1) i B = (x2, y2) wyraża
siÄ™ wzorem

-
-

|AB| = AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2.

Definicja 5.1.6 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v jedyną liczbę
ą " [0, Ą] spełniającą warunek
u " v
cos Ä… =
|u||v|
nazywamy kątem pomiędzy wektorami i oznaczamy przez (u, v).
Wektory u, v są prostopadłe, gdy kąt pomiędzy nimi jest prosty lub co
na jedno wychodzi u " v = 0.
Wektory u, v są równoległe, gdy kąt pomiędzy nimi jest zerowy lub pół-


u1 u2

pełny, czyli gdy det(u, v) = = 0.
v1 v2
Twierdzenie 5.1.7 Dla dowolnych wektorów niezerowych u, v zachodzi zwią-
zek
u " v = |u||v| cos (u, v).
Twierdzenie 5.1.8 Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest dodatni wtedy i
tylko wtedy, gdy tworzÄ… ona kÄ…t ostry.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy
tworzÄ… ona kÄ…t rozwarty.
5.2 Przekształcenia w układzie współrzędnych
W celu opisania przekształcenia płaszczyzny podajemy jakie nowe współ-
rzędne (x , y ) będzie miał punkt (x, y) po wykonaniu tego przekształcenia
lub (co często jest wygodniejsze) jak opisać stare współrzędne za pomocą
nowych
5.2.1 Translacja o wektor v = [a, b] wyraża się wzorami:

x = x - a x = x + a
y = y - b y = y + b
30 ROZDZIAA
5. GEOMETRIA ANALITYCZNA
5.2.2 Obrót o kąt ą dokoła punktu O(0, 0) wyraża się wzorami:

x = x cos Ä… + y sin Ä… x = x cos Ä… - y sin Ä…
y = -x sin Ä… + y cos Ä… y = x sin Ä… + y cos Ä…
5.2.3 Jednokładność o środku O(0, 0) i skali s = 0 wyraża się wzorami:


1
x = x x = sx
s
1
y = y y = sy
s
5.3 Prosta
5.3.1 Prostą opisujemy równaniem ogólnym
Ax + By + C = 0,
gdzie A, B, C sÄ… ustalonymi liczbami oraz A2 + B2 > 0.
Wektor u = [B, -A] jest równoległy do tak opisanej prostej (jest jej
wektorem kierunkowym), a wektor v = [A, B] jest prostopadły do tej prostej.
Twierdzenie 5.3.2 Niech dane będą proste:
l : A1x + B1y + C1 = 0
m : A2x + B2y + C2 = 0.
Wówczas


A1 B1

1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy = 0.

A2 B2
2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy A1A2 + B1B2 = 0
Tym samym równanie prostej równoległej do prostej Ax + By + C = 0
można sprowadzić do postaci Ax+By+C = 0, a prostej do niej prostopadłej
do postaci Bx - Ay + C = 0.
5.3.3 Prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (czyli w jej równaniu
ogólnym B = 0) można przedstawić w postaci kierunkowej

y = ax + b.
Współczynnik a nazywamy wtedy współczynnikiem kierunkowym tej prostej.
Twierdzenie 5.3.4 Niech dane będą proste:
l : y = a1x + b1
m : y = a2 + b2.
Wówczas
5.4. TRÓJK
T 31
1. proste l i m są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2.
2. proste l i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a1a2 = -1.
Tym samym równanie prostej równoległej do prostej y = ax + b jest
1
postaci y = ax + b , a prostej do niej prostopadłej  postaci y = - x + b
a
o ile a = 0 lub x = c gdy a = 0.

5.3.5 Prostą przechodząca przez punkt A = (a1, a2) i równoległą do wek-
tora v = [v1, v2] można przedstawić za pomocą równania parametrycznego

x = a1 + tv1
,
y = a2 + tv2
gdzie t przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych.
Twierdzenie 5.3.6 Środkiem odcinka o końcach A = (x1, y1) i B = (x2, y2)
jest punkt

x1 + x2 y1 + y2
M = , .
2 2
Twierdzenie 5.3.7 Odległość punktu A = (x0, y0) od prostej l : Ax+By+
C = 0 wyraża się wzorem
|Ax0 + By0 + C|
d(A, l) = " .
A2 + B2
Twierdzenie 5.3.8 Odległość dwóch prostych równoległych l : Ax + By +
C1 = 0 i m : Ax + By + C2 = 0 wyraża się wzorem
|C2 - C1|
d(l, m) = " .
A2 + B2
5.4 Trójkąt
5.4.1 Przy dowodzeniu faktów dotyczących trójkąta ABC metodą anali-
tyczną rozważa się często jego szczególne położenie
A = (0, 0), B = (a, 0), C = (b, c),
gdzie a, c > 0. Jeżeli dodatkowo założymy, że kąt przy wierzchołku C jest
ostry, to możemy także przyjąć, b > 0.
Takie położenie trójkąta nie zmniejsza ogólności rozważań (można jest
otrzymać po przekształceniu przez izometrię), a redukuje liczbę rozważanych
parametrów (współrzędnych punktów) z 6 do 3.
32 ROZDZIAA
5. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Twierdzenie 5.4.2 Środkiem ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (x1, y1),
B = (x2, y2) i C = (x3, y3) jest punkt

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
S = , .
3 3
Twierdzenie 5.4.3 Jeżeli trójkąt jest rozpięty na wektorach u = [u1, u2] i
v = [v1, v2] (to znaczy wektory u, v są dwoma różnymi wektorami opisujący-
mi boki trójkąta), to jego pole wyraża się wzorem


1 1
u1 u2

P = | det(u, v)| = | |.
v1 v2
2 2
Twierdzenie 5.4.4 Pole trójkąta o wierzchołkach A = (x1, y1), B = (x2, y2)
i C = (x3, y3) wynosi


1 x1 y1 1

1

P = | 1 x2 y2 | = |x2y3 + x3y1 + x1y2 - x2y1 - x3y2 - x1y3|.


2

1 x3 y3 2
5.5 OkrÄ…g
5.5.1 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 ma równanie
(x - a)2 + (y - b)2 = r2.
5.5.2 Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 można przedstawić
parametrycznie

x = a + r cos t
,
y = b + r sin t
gdzie t przebiega przedział [0, 2Ą].
Twierdzenie 5.5.3 Jeżeli punkt A = (x0, y0) należy do okręgu o środku
(0, 0) i promieniu r > 0 (czyli o równaniu x2+y2 = r2), to prosta o równaniu
x0x + y0y = r2
jest styczna do tego okręgu w punkcie A.
5.6 Krzywe stożkowe
Definicja 5.6.1 Elipsą nazywamy krzywą o równaniu
x2 y2
+ = 1,
a2 b2
gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu
przez izometrię do tej postaci sprowadzić.
5.6. KRZYWE STOŻKOWE 33
Definicja 5.6.2 Hiperbolą nazywamy krzywą o równaniu
x2 y2
- = 1,
a2 b2
gdzie a, b > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu
przez izometrię do tej postaci sprowadzić.
Definicja 5.6.3 Parabolą nazywamy krzywą o równaniu
y2 = 2px,
gdzie p > 0 oraz każdą krzywą, której równanie można po przekształceniu
przez izometrię do tej postaci sprowadzić.
Definicja 5.6.4 Krzywą stożkową nazywamy każdy zbiór, który można uzy-
skać poprzez przecięcie dwustronnego nieskończonego stożka (lub jego zde-
generowanej postaci: nieskończonego walca) płaszczyzną lub, co na jedno
wychodzi, zbiór wszystkich rozwiązań ogólnego równania stopnia 2 z dwie-
ma niewiadomymi
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,
gdzie a, b, c, d, e, f sÄ… ustalonymi liczbami rzeczywistymi.
Twierdzenie 5.6.5 Dowolna krzywa stożkowa jest dokładnie jednej z na-
stępujących postaci:
1. zbiorem pustym,
2. punktem,
3. prostÄ…,
4. sumą dwóch prostych równoległych,
5. sumą dwóch prostych przecinających się,
6. elipsÄ…,
7. hiperbolÄ…,
8. parabolÄ….