Wybór zadań z algebry liniowej i geometrii, A.Lenarcik (eko.11,energ.11)
Macierze
m7. Oblicz wyznaczniki


-1 2 -3 -i 1 2 + i 2 + 3i 2 - 2i 1 - i

-1 -1 cos Ć - sin Ć
, b) , c) , , ,
a) -2 1 4 d) 0 i 1 e) 2 + i 7 - 3i 3 - i

-1 1 sin Ć cos Ć

1 0 1 -2 i 1 1 + i 4 - 6i 2 - 3i


1 0 2 -3

x y x + y

1 2 -1 1
, .
f) y x + y x g)

-1 -1 -2 0

x + y x y

-3 2 4 1
m8. Dla jakich wartości  wyznacznik zeruje się?


2 -  -2 0

3 -  -2
, b) .
a) -2 1 -  -2

2 -2 - 

0 -2 -
m9. Rozwiąż nierówności:


3x - 5 x - 2 x - 3 x 1 1


a) 2x + 1 x - 1 x + 2 > 0, b) 1 x 1 0.


3x + 2 x - 1 2x + 3 1 1 x
Å„Å‚

2x
òÅ‚ - y + z = 0
2x - 3y = 4
m10. Rozwiąż układ równań: a) , b) -x - 3y + 2z = -5 ,
3x + 2y = -7
ół
3x - 4y - z = 5
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ -x + 2y - 3z + t = 0
ôÅ‚
ix + y
òÅ‚ - iz = 3 - i
òÅ‚
x + y - z + t = 2
c) x + y - z = -2i , d) .
ół ôÅ‚ -x + 2y - 3z + 2t = 2
ôÅ‚
2ix - y + z = 2 + i
ół
2x - 2y + z - t = 3
m11. Dla jakich wartości parametru a podany układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie?
Å„Å‚

ax + 2y + 3z = 1
òÅ‚
ax + y = 1
a) , b) -x + ay = 0 .
ax + a2y = -1
ół
ax + y + 2z = -1
m12. Zauważ, że podany układ równań ma zawsze rozwiązanie zerowe. Dla jakich wartości parametru b możliwe jest
istnienie rozwiązań niezerowych?
Å„Å‚

2x + 2y + bz = 0
òÅ‚
bx - 2by = 0
a) , b) -x + by - z = 0 .
3x + by = 0
ół
x + y + bz = 0
m13. Dla jakich wartości parametru a macierz A jest odwracalna?
îÅ‚ Å‚Å‚

a 2 a
a 4
ðÅ‚ ûÅ‚.
a) A = , b) A = -1 1 -2
a a
1 3 1

-1 4 a b
m14. Znajdz
macierz odwrotnÄ… do danej macierzy A. a) A = , b) A = ,
-3 2 c d
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1 0

-1 0 1
ïÅ‚ śł
1 1 - i 1 2 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚, ïÅ‚ śł.
c) A = , d) A = 1 2 2 e) A =
ðÅ‚ ûÅ‚
1 + i i -1 0 1 1
-2 1 1
-1 2 0 1
m15. Wylicz symbolicznie X z równania macierzowego: a) AX = B, b) XA + B = C,
c) A-1(X - B) = C, d) AXB + C = D, e) A(X - B) = CX.
m16. Wyznacz macierz X z równania macierzowego:

3 2 0 -1 -3 5
a) 3AX + BT = C, gdzie A = , B = , C = ,
-1 1 2 1 5 -5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 1 2 3 -1 1 -6 3 0
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚,
b) A-1XB = D, gdzie A = 2 -1 1 B = -1 2 1 D = -5 0 -1
0 1 2 1 0 1 4 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0 0 1 -1 0 3 2
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚.
c) (X + B)A = D, gdzie A = -1 1 2 B = 2 1 0 D = 0 6 4
1 3 2 -1 -2 1 4 4 0
Å„Å‚

x
òÅ‚ - 2y + 3z = 9
2x + 5y = 3
m17. Metodą macierzową rozwiąż układ równań: a) , b) x + z = 3 .
-7x + 3y = 10
ół
2x - y = 3
WEKTORY

w4. Przedstaw wektory b, d, f, h, i jako kombinacje wektorów bazy (
a, c, e, g, u, v).





f




c






d













g

a









b
b

h








e












i





v






u



w5. Wyraz
wektory AB, BC, C D, DA, AC, DB jako kombinacje liniowe wektorów bazy ( j k).
i, ,
C


B








k



j




i








D












A


układy współrzędnych
u3. Określ graficznie współrzędne x, y punktu P w układzie repera (O, oraz współrzędne x , y tego samego
u, v)
punktu w układzie (O , , ).
u v
P
·

v





v

u
·



O
u

·
O
u4. Znajdz
równanie krzywej x2 + 2xy + y2 - 8x - 4y + 3 = 0 we współrzędnych x , y oraz równanie krzywej
3x + y - 3 = 0 we współrzędnych x, y.

j



O




i

j


O
i
iloczyn skalarny
s1. Dane są wektory na płaszczyz
nie takie, że ć% = -1, oraz długości wektorów są odpowiednio równe
u, v u v u, v
" "
3 oraz 2. (a) Oblicz p ć% gdzie p = 2 - 3 q = - + 2 (b) Oblicz długości wektorów p i q. (c) Wyznacz
q, u v, u v.
stałą ą tak aby wektory p i q - ą były prostopadłe.
p
s3. Oblicz kąt pomiędzy wektorami i których współrzędne określone są w bazie ortonormalnej: (a) = [2, 1],
u v u
= [-3, 1], (b) = [-2, 3], = [1, 5], (c) = [6, 7, -1], = [13, 8, 5], (d) = [10, 1, 7], = [1, -2, 1], (e) =
v u v u v u v u
[4, 1, -1], = [-2, 1, 2], (f) = [-3, 2, -5], = [-2, -5, 3], (g) = [-10, -7, -1], = [5, 3, 4], (h) = [2, 8, 7],
v u v u v u
= [4, 3, 1]. Odp. a) 135o, b) 45o, c) 30o, d) 60o, e) 135o, f) 120o, g) 150o, h) 45o. Ciekawostka: Wektory o
v
współrzędnych całkowitoliczbowych na płaszczyz
nie nigdy nie utworzÄ… kÄ…ta 30o ani 60o!

s8. Wyznacz wektor równoległy do wektora = 0 o długości 1: (a) = [3, 4], (b) = [2, 1, 2]. Wsk. Podziel
v v v
wektor przez jego długość. Czynność tę nazywamy normowaniem wektora.

s9. Dane sÄ… wektory = [3, 4], b = [12, 5]. Znajdz
wektor wyznaczający dwusieczną kąta pomiędzy danymi
a c
wektorami. Wsk. Wystarczy unormować dane wektory i dodać.
prosta i płaszczyzna
p16. Znajdz
równanie parametryczne prostej przechodzącej przez dwa dane punkty: (a) A(-1, 4), B(3, -2); (b) A(5, -1, 3),
B(1, -4, -3).
p17. Znajdz
równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty: (a) A(1, -1, 1), B(3, -4, 5),
C(-4, 6, 8); (b) A(-2, -3, 1), B(-1, -1, 4), C(0, 1, 7); (c) A(-2, -5, 0), B(-1, -3, 3), C(0, -1, 6). Sprawdz
, czy
punkty nie leżą na jednej prostej.
p18. Znajdz
na płaszczyz
nie równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt A(2, -3) i prostopadłej do wektora
= [3, 4].
v
p19. Znajdz
w przestrzeni równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1, -2, 4) prostopadłej do wek-
tora = [5, -3, -2].
v
p20. Wyznacz wektor prostopadły jednocześnie do wektora = [-1, 3, 2] i do wektora = [3, -2, 1]. Wsk. Sko-
n u v
rzystaj z iloczynu wektorowego.
Å„Å‚
x = 2 + 3s - t
òÅ‚
p21. Znajdz
równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym: y = s + t .
ół
z = 4 + 2t
p22. Znajdz
równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: A(2, 4, -1), B(0, -3, 4), C(7, 5, 2).
y+3
x-2 z
p23. Znajdz
równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej punkt A(0, -4, 5) oraz prostą = = .
3 -4 -1
p24. Prostą na płaszczyz
nie opisaną równaniem 3x - 7y + 3 = 0 zapisz parametrycznie.
x-1 y+2
p25. Prostą na płaszczyz
nie opisaną równaniem = zapisz w postaci ogólnej.
3 -4
p26. Płaszczyznę w przestrzeni opisaną równaniem x - 2y + 3z + 7 = 0 zapisz parametrycznie.
x y-3 z+1
p27. Wyznacz punkt wspólny płaszczyzny 3x + y - z + 5 = 0 i prostej = = .
2 -4 -2
p28. Prostą będącą krawędzią przecięcia płaszczyzn 2x - 3y + z + 1 = 0, -x + 5y + 3z - 2 = 0 opisz parametrycznie.
p29. Wyznacz kąt pomiędzy wektorem = [3, 4, 5], a płaszczyzną rozpiętą na wektorach = [-1, 2, 1] i =
x u v
[3, -2, 11]. Wsk. Wyznacz najpierw kąt pomiędzy wektorem i wektorem prostopadłym do płaszczyzny.
x n
p32. Wyznacz rzut prostopadły punktu A(2, 3, -6) na płaszczyznę x + 2y + z + 4 = 0. Wsk. Napisz równanie
parametryczne prostej prostopadłej do płaszczyzny.
p33. Wyznacz punkt symetryczny do punktu A względem płaszczyzny z poprzedniego zadania.
p34. Wyznacz rzut prostopadły punktu A(-2, 9) na prostą 2x + 5y = 38, następnie wyznacz punkt symetryczny do
A względem prostej.
y+8
z-2
p35. Znajdz
rzut punktu A(1, -2, 1) na prostÄ… x + 1 = = .
-1 2
Wsk. Poprowadz
płaszczyznę przechodzącą przez punkt A i prostopadłą do prostej.
y-1
x z-2
p36. Wyznacz rzut prostopadły prostej = = na płaszczyznę x - y + 3z + 8 = 0.
4 3 2
p37. Wyznacz kąt pomiędzy prostymi x + y + 1 = 0, 2x - y = 0.
p38. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami x - y + 2z = 0, -2x + y + z = 0. Wsk. Jest to kąt pomiędzy wektorami
normalnymi.
y+1
x z-1
p39. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyzną -x + 2y - 3z = 0 i prostą = = .
2 1 3
p40. Wyznacz równania dwusiecznych kątów utworzonch przez proste y = x , y = 7x. Wsk. Zad. 9.
p41. Oblicz obwód i pole trójkąta ABC dla A(1, 2, -1), B(3, 0, 4), C(3, 5, 3).
p42. Oblicz odległość punktu A(5, 6) od prostej 2x + 3y - 1 = 0.
p43. Oblicz odległość punktu A(3, 4, 3) od płaszczyzny x + 2y - z + 2 = 0.
x+3 y-6 z-3 x-4 y+1 z+7
p44. Wyznacz odległość między prostymi skośnymi = = , = = . Wsk. Przez jedną z
4 -3 2 8 -3 3
prostych przeprowadz
płaszczyznę równoległą do drugiej prostej.
x-1 y+3 z-3
p45. Znajdz
równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2, 1) i przecinającej dwie proste: = = ,
1 -2 2
x-2 y-2 z
= = . Wsk. Przez jednÄ… z prostych i punkt A przeprowadz
płaszczyznę która przetnie drugą prostą w
2 1 3
punkcie B. AB jest szukanÄ… prostÄ….
Operatory

o50. Za pomocą operatora f : R2 R2, opisanego macierzą A, przekształć kwadrat dany na rysunku poniżej. Znajdz


obrazy punktów P, Q, R, S, O i zaznacz je jako punkty P , Q , R , S , O w układzie obok. Współrzędne punktów
odczytaj z rysunku wiedząc, że P = (1, 1). Porównaj iloraz

pole czworokÄ…ta P Q R S
pole czworokÄ…ta P QRS

3 1 -1 0
z wyznacznikiem macierzy A. Rozważ następujące warianty: a) A = , b) A = , c) A =
1 2 0 1

1 0 1 -2 2 4
, d) A = , e) A = .
0 1 2 1 1 2
y y





Q
P

· ·



O x x

·
· ·
R S


o54. Wyznacz macierz A operatora f : R2 R2 w bazie naturalnej, który przekształca figurę F na F zgodnie z
podanym rysunkiem.
y y

Q
P
· ·

·P ·S



F F
x x





· ·
Q
R


· ·
S R
o55. Znajdz
wartości i wektory własne operatora określonego daną macierzą. W przykładach (g) i (h) wyznacz
dodatkowo płaszczyzny niezmiennicze.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

0 3 1 2 5 -1 4 -2 2
-2 -4 -3 4
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚,
(a) , (b) , (c) 3 0 -1 (d) 5 -2 -5 (e) -2 3 0
1 3 2 -1
2 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚1 -1 îÅ‚-4 Å‚Å‚-1 -5 2
4 -2 2 1 2 -1 2 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚, ðÅ‚ ûÅ‚.
(f) -2 3 0 (g) -5 -3 -3 (h) 5 1 5
2 0 0 -2 -1 -2 2 -3 -2