Pomy∏ka z nagrodà

Spoêniono si´ z rozwiàzaniem

problemu n-cia∏

W

1885 roku trzej s∏ynni mate-
matycy – Karl Weierstrass,
Charles Hermite i Gösta Mit-

tag-Lefler – sporzàdzili list´ nie rozstrzy-
gni´tych istotnych problemów mate-
matycznych. Ka˝dy, kto rozwiàza∏by
jeden z nich, mia∏ otrzymaç 2500 koron
szwedzkich w z∏ocie oraz specjalny me-
dal z okazji szeÊçdziesiàtych urodzin
króla szwedzkiego Oskara II. Najbar-
dziej wa˝kie z wymienionych by∏o kla-
syczne zagadnienie n-cia∏: ze znajomo-
Êci poczàtkowych po∏o˝eƒ i pr´dkoÊci
pewnej liczby, nazwijmy jà n, obiektów
oddzia∏ujàcych na siebie si∏a-
mi grawitacji – na przyk∏ad
s∏oƒca z jego planetami – na-
le˝a∏o wyznaczyç ich po∏o˝e-
nia i pr´dkoÊci w dowolnej
póêniejszej chwili.

Up∏yn´∏o ponad 100 lat od

sformu∏owania przez Weier-
strassa problemu, gdy wresz-
cie w 1991 roku jego rozwià-
zanie poda∏ Wang Qiu-Dong,
student University of Cincin-
nati. Pozosta∏o ono jednak nie
zauwa˝one a˝ do ubieg∏ego
roku, gdy Florin N. Diacu z
University of Victoria w Ko-
lumbii Brytyjskiej opisa∏ je
w czasopiÊmie Mathematical
Intelligencer.

Weierstrass nada∏ proble-

mowi n-cia∏ szczególnà postaç,
by∏o ju˝ bowiem wiadomo, ˝e
dla wi´cej ni˝ dwóch obiek-
tów nie istniejà proste rozwià-
zania w zamkni´tej postaci.
(Zamkni´tà postaç ma na
przyk∏ad rozwiàzanie zagad-
nienia dwóch cia∏ opisujàce
elips´ – po której porusza si´
planeta – ze s∏oƒcem w jednym z jej
ognisk.) W przypadku n wi´kszego
od 2 zamiast takiego rozwiàzania Weier-
strass proponowa∏ znalezienie szeregu,
który pozwoli∏by wyznaczyç konfigu-
racj´ uk∏adu w dowolnym momencie.
Szereg mia∏ byç zbie˝ny, tzn. kolejne
jego wyrazy, poprawiajàce dok∏adnoÊç
przybli˝onych sum, musia∏y dostatecz-
nie szybko maleç. Na przyk∏ad szerego-
wi 1– a

2

+ a

4

– a

6

+... mo˝na przypisaç su-

m´ tylko wtedy, gdy a przyjmuje
wartoÊci mi´dzy –1 a 1.

G∏ównà trudnoÊç stanowi∏y zderze-

nia. Jedynie matematycy potrafià si´

martwiç, ˝e czàstki punktowe, jak w wy-
idealizowany sposób zwyk∏o si´ przed-
stawiaç realne cia∏a, mogà si´ zderzyç,
co sprawi, ˝e ich trajektorie przestanà
istnieç. Takie osobliwe zdarzenia zmie-
niajà kszta∏t szeregu, uniemo˝liwiajàc
mu zbie˝noÊç. Wang wprowadzi∏ miar´
czasu, który biegnie szybciej, gdy dwa
obiekty lub wi´cej zbli˝ajà si´ do siebie.
Zgodnie z takim zegarem zderzenia
nast´pujà w nieskoƒczenie odleg∏ych
momentach. Odsunàwszy konflikty do
wiecznoÊci, Wang potrafi∏ wykazaç
zbie˝noÊç omawianego szeregu.

Niestety, rozwiàzanie okaza∏o si´ ca∏-

kowicie bezu˝yteczne. Po pierwsze, jak
twierdzi sam Wang, nale˝a∏o zsumowaç
„niewiarygodnie wiele wyrazów” tyl-
ko po to, by otrzymaç przybli˝one roz-
wiàzanie. Po drugie, nie przynios∏o mu
ono nagrody, t´ bowiem w 1889 roku
otrzyma∏ francuski matematyk Henri

Poincaré za prac´ sugerujàcà, ˝e rozwià-
zanie nie istnieje. Ciekawe, ˝e oryginal-
na praca Poincarégo by∏a tak pe∏na b∏´-
dów, i˝ publikujàce jà czasopismo Acta
Mathematica musia∏o jà wycofaç z dru-
ku. Jednak˝e poprawiona i ponownie
wydrukowana wersja dokona∏a prze-
∏omu w podejÊciu do tego klasycznego
zagadnienia, zapoczàtkowujàc dzisiej-
szà teori´ chaosu. W szczególnoÊci wy-
jaÊnia ona, dlaczego ruchy planet sà do
koƒca nieprzewidywalne. To osiàgni´cie
usprawiedliwia przyznanie Poincarému
„niezas∏u˝onej” nagrody.

Ch. Pöppe i M. Mukerjee

10 Â

WIAT

N

AUKI

Kwiecieƒ 1997

MATEMATYKA

RUCHY PLANET, przedstawione

przez XVIII-wiecznego artyst´ francuskiego,

sà przyk∏adem zagadnienia n-cia∏.

LAUROS-GIRAUDON/ART RESOURCE

W SKRÓCIE

Genetyczne hokus-pokus

Wiele owadów, ryb, gadów i ptaków
dostosowuje swój wyglàd do zmian
zachodzàcych w otoczeniu i do pór roku:
kiedy na przyk∏ad afrykaƒski motyl Bicyclus
anynana przychodzi na Êwiat w porze
deszczowej, ma na skrzyd∏ach pawie oczka,
które odstraszajà drapie˝niki. Pokolenia
wyl´gajàce si´ w okresach suszy nie noszà
takich ornamentów. Co ró˝ni te owady?
Naukowcy z University of Wisconsin
w Madison, Rijks Universiteit te Leiden
i University of Edinburgh odkryli,
˝e to obecnoÊç kilku zaledwie genów
tak radykalnie odmienia wyglàd motyla.
¸atwiej teraz zrozumieç,
skàd bierze si´ w przyrodzie
ta zdumiewajàca ró˝norodnoÊç.

Na co chorowa∏ cz∏owiek-s∏oƒ

Joseph Cary Merrick, który w wiktoriaƒskiej
Anglii zas∏ynà∏ pod przydomkiem cz∏owieka-
-s∏onia, najprawdopodobniej nie cierpia∏ na
nerwiakow∏ókniakowatoÊç (neurofibromatosis,

czyli chorob´
Recklinghausena)
– schorzenie
potocznie
okreÊlane jako
„choroba
cz∏owieka-s∏onia”.
Radiolodzy
z Royal London
Hospital, gdzie
˝y∏ Merrick
i gdzie
przechowywane
sà jego doczesne
szczàtki,
zdobyli dane
przemawiajàce
za poglàdem,

˝e pad∏ on ofiarà rzadszej przypad∏oÊci
nazywanej zespo∏em proteuszowym.
Wykonane niedawno przeÊwietlenia
i tomogramy czaszki Merricka wykaza∏y
cechy charakterystyczne dla tej w∏aÊnie
niedziedzicznej choroby wywo∏anej
zaburzeniami wzrostu komórek.

Dziurawe uk∏ady scalone

Porowaty krzem sta∏ si´ przebojem,
kiedy w roku 1990 odkryto,
˝e emituje Êwiat∏o. Jednak marzenia
o wmontowaniu go w uk∏ady scalone
przekreÊli∏a jego kruchoÊç – nie
wytrzymywa∏ w zwyk∏ych warunkach
procesu produkcji uk∏adów scalonych.
W listopadowym numerze Nature z ub. r.
badacze z University of Rochester
i Rochester Institute of Technology
donieÊli, ˝e uda∏o im si´ wzmocniç
porowaty materia∏ podwójnà warstwà
tlenku krzemu. Wbudowali nast´pnie
ten tzw. bogaty w krzem tlenek krzemu
w normalny uk∏ad scalony, tworzàc
po raz pierwszy ca∏kowicie krzemowy
uk∏ad, który potrafi w zasadzie
przetwarzaç zarówno sygna∏y
Êwietlne, jak i elektryczne.

Ciàg dalszy na stronie 12

RADIOLOGICAL SOCIETY OF NORTH AMERICA