I Liceum Ogólnokształcące

im. Kazimierza Brodzińskiego

w Tarnowie

©2018 mgr Jerzy Wałaszek

Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych

.

Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek, wersja 4.1

©2008 mgr Jerzy Wałaszek

I LO w Tarnowie

Naturalny system dwójkowy

Podrozdziały

Tematy pokrewne

Wartość liczby w naturalnym kodzie dwójkowym

Zakres liczby dwójkowej

Schemat Hornera dla liczb dwójkowych

Przeliczanie liczb dziesiętnych na dwójkowe

Programy

Borland Delphi
Borland C++ Builder
Microsoft Visual Basic
JavaScript

Zadania

Kody binarne

Dwójkowy system stałoprzecinkowy

Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym

Operacje logiczne na bitach

Konwersje dwójkowo ósemkowe i szesnastkowe

Wartość liczby w naturalnym kodzie dwójkowym

Naturalny system dwójkowy

(ang. NBS - Natural Binary System)

jest najprostszym systemem pozycyjnym, w którym podstawa

p = 2. System posiada dwie cyfry 0 i 1, zatem można je kodować bezpośrednio jednym bitem informacji. Wartość liczby obliczamy
zgodnie ze wzorem podanym w rozdziale o

systemach pozycyjnych

.

Zapamiętaj:

Wartość dziesiętna liczby zapisanej w naturalnym kodzie binarnym

b

n-1

b

n-2

...b

2

b

1

b

0

= b

n-1

2

n-1

+ b

n-2

2

n-2

+ ... + b

2

2

2

+ b

1

2

1

+ b

0

2

0

gdzie

b - bit, cyfra dwójkowa 0 lub 1

n - liczba bitów w zapisie liczby

Przykład:

Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101

(2)

.

11100101

(2)

= 1 × 2

7

+ 1 × 2

6

+ 1 × 2

5

+ 0 × 2

4

+ 0 × 2

3

+ 1 × 2

2

+ 0 × 2

1

+ 1 × 2

0

11100101

(2)

= 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

11100101

(2)

= 128 + 64 + 32 + 4 + 1

11100101

(2)

= 229

(10)

Jeśli dokładnie przyjrzysz się powyższym obliczeniom, to na pewno zauważysz, iż w systemie binarnym w celu obliczenia wartości
liczby wystarczy po prostu zsumować wagi pozycji, na których cyfry przyjmują wartość 1.

Przykład:

101011

(2)

= 2

5

+ 2

3

+ 2

1

+ 2

0

= 32 + 8 + 2 + 1 = 43

(10)

Jest to znaczne uproszczenie w stosunku do innych systemów, gdzie musimy wykonywać mnożenia cyfr przez wagi pozycji. Tutaj
albo dana waga występuje w wartości liczby

(cyfra 1)

, albo nie występuje

(cyfra 0)

. Nie na darmo system binarny jest najprostszym

systemem pozycyjnym.

Bardzo ważne dla informatyka i programisty jest nauczenie się na pamięć pierwszych szesnastu liczb binarnych:

dziesiętnie

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

dwójkowo

0

1

10

11

100

101

110

111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Zakres liczby dwójkowej

Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów

(czyli cyfr binarnych)

. Największa liczba musi

posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem:

dla 1b mamy

1

(2)

= 1

(10)

dla 2b mamy 11

(2)

= 2 + 1 = 3

(10)

dla 3b mamy 111

(2)

= 4 + 2 + 1 = 7

(10)

dla 4b mamy 1111

(2)

= 8 + 4 + 2 + 1 = 15

(10)

...

Otrzymujemy kolejne liczby:

dla 1b mamy

dla 2b mamy

dla 3b mamy

dla 4b mamy

...

1

3

7

15

Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy:

dla 1b mamy 1 = 2

1

- 1

dla 2b mamy 3 = 2

2

- 1

dla 3b mamy 7 = 2

3

- 1

dla 4b mamy 15 = 2

4

- 1

...

Wykładnik potęgowy liczby 2 jest równy ilości bitów, zatem dla n bitów otrzymujemy wzór:

Zapamiętaj:

Zakres n bitowej liczby w naturalnym kodzie dwójkowym wynosi

Z

(2)

= 0 ... 2

n

- 1

Przykład:

Jaką największą liczbę dziesiętną można przedstawić przy pomocy 64 bitów?

Odp.

2

64

- 1 = 18446744073709551616 - 1 = 18446744073709551615

Schemat Hornera dla liczb dwójkowych

Schemat Hornera

pozwala obliczyć wartość liczby binarnej przy minimalnej ilości operacji arytmetycznych. W systemie binarnym

schemat ten jest bardzo prosty:

Schemat Hornera dla systemu binarnego

Wejście: ciąg cyfr binarnych

Wyjście: W - wartość liczby reprezentowanej przez ciąg cyfr binarnych

K01: W

pierwsza cyfra

K02: Dopóki są kolejne cyfry, wykonuj W ← 2 × W + kolejna cyfra

K03: Zakończ

Operację mnożenia 2 × W możemy zastąpić dodawaniem W + W. Dodawanie komputer wykonuje o wiele szybciej od mnożenia

(jeszcze szybszą operacją jest przesunięcie bitów o jedną pozycję w lewo - taką operację wykonuje pojedynczy rozkaz procesora i
jest ona szybsza od dodawania!)

..

Przykład:

Obliczyć schematem Hornera wartość liczby binarnej 111010111101

(2)

cyfra 1: W = 1

cyfra 1: W = (1 + 1) + 1 = 3

cyfra 1: W = (3 + 3) + 1 = 7

cyfra 0: W = (7 + 7) + 0 = 14

cyfra 1: W = (14 + 14) + 1 = 29

cyfra 0: W = (29 + 29) + 0 = 58

cyfra 1: W = (58 + 58) + 1 = 117

cyfra 1: W = (117 + 117) + 1 = 235

cyfra 1: W = (235 + 235) + 1 = 471

cyfra 1: W = (471 + 471) + 1 = 943

cyfra 0: W = (943 + 943) + 0 = 1886

cyfra 1: W = (1886 + 1886) + 1 =

3773

- koniec

Przeliczanie liczb dziesiętnych na dwójkowe

Kolejne od końca cyfry binarne zapisu liczby w systemie dwójkowym otrzymamy jako reszty z dzielenia tej liczby przez 2. Metoda
ta została dokładnie opisana w rozdziale poświęconym

przeliczaniu liczb dziesiętnych na zapis w innych systemach liczbowych

.

Algorytm wyznaczania cyfr zapisu dwójkowego liczby

Wejście: W - wartość liczby

Wyjście: ciąg cyfr binarnych reprezentujących w systemie dwójkowym wartość W

K01: kolejna cyfra ← W mod 2, W ← W div 2

K02: Jeśli W > 0, to idź do K01

K03: Wyprowadź otrzymane cyfry w kolejności odwrotnej do ich otrzymania

K04: Zakończ

Przykład:

Przeliczyć na system dwójkowy liczbę 582642

(10)

.

582642 div 2 = 291321 i reszta 0
291321 div 2 = 145660 i reszta 1
145660 div 2 = 72830 i reszta 0

72830 div 2 = 36415 i reszta 0
36415 div 2 = 18207 i reszta 1
18207 div 2 =

9103 i reszta 1

9103 div 2 =

4551 i reszta 1

4551 div 2 =

2275 i reszta 1

2275 div 2 =

1137 i reszta 1

1137 div 2 =

568 i reszta 1

568 div 2 =

284 i reszta 0

284 div 2 =

142 i reszta 0

142 div 2 =

71 i reszta 0

71 div 2 =

35 i reszta 1

35 div 2 =

17 i reszta 1

17 div 2 =

8 i reszta 1

8 div 2 =

4 i reszta 0

4 div 2 =

2 i reszta 0

2 div 2 =

1 i reszta 0

1 div 2 =

0 i reszta 1 - koniec, wynik odczytujemy w kierunku z dołu do góry

582642

(10)

= 10001110001111110010

(2)

Programy

Program oblicza wartość liczby binarnej podanej jako ciąg cyfr. Ciekawostką jest to, iż ciąg ten nie jest ograniczony i
może zawierać dowolną

(w rozsądnych granicach)

ilość cyfr binarnych. Wynik obliczany jest nie jako wartość

liczbowa, lecz jako ciąg cyfr dziesiętnych. Dzięki temu nie jesteśmy ograniczani zakresem zmiennych całkowitych.

Wartość liczby binarnej obliczamy podanym powyżej schematem Hornera.

Efekt uruchomienia programu

Obliczanie wartości dziesiętnej

dowolnej liczby binarnej

===============================

(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek

I LO w Tarnowie

Podaj liczbę binarną:

1110001011010101111101101010011111100010100010111110101010010111011111111010101

Wartość dziesiętna liczby binarnej:

535600877519892478934997

KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz...

Borland

Delphi 7.0

Personal

Edition

// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej

//----------------------------------------------

// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek

// I Liceum Ogólnokształcące

// im. K. Brodzińskiego

// w Tarnowie

//----------------------------------------------

program

bindec

;

{$APPTYPE CONSOLE}

var

bs

,

ds

:

string

;

i

,

j

,

c

,

p

,

s

:

cardinal

;

begin

writeln

(

'Obliczanie wartosci dziesietnej'

);

writeln

(

' dowolnej liczby binarnej'

);

writeln

(

'==============================='

);

writeln

(

'(C)2005 mgr Jerzy Walaszek'

);

writeln

(

' I LO w Tarnowie'

);

writeln

;

writeln

(

'Podaj liczbe binarna:'

);

writeln

;

readln

(

bs

);

writeln

;

ds

:=

'0'

;

i

:=

1

;

while

(

i

<=

length

(

bs

))

and

(

bs

[

i

]

in

[

'0'

..

'1'

])

do

begin

p

:=

0

;

// Przeniesienie

c

:=

ord

(

bs

[

i

]) -

48

;

// Cyfra binarna

for

j

:=

length

(

ds

)

downto

1

do

begin

// Schemat Hornera

s

:=

2

* (

ord

(

ds

[

j

]) -

48

) +

c

+

p

;

c

:=

0

;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

p

:=

s

div

10

;

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

ds

[

j

] :=

char

((

s

mod

10

) +

48

);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość

// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

if

(

j

=

1

)

and

(

p

>

0

)

then

ds

:=

char

(

p

+

48

) +

ds

;

end

;

// Następna cyfra binarna

inc

(

i

);

end

;

writeln

(

'Wartosc dziesietna liczby binarnej:'

);

writeln

;

writeln

(

ds

);

writeln

;

writeln

(

'Nacisnij klawisz Enter...'

);

readln

;

end

.

Borland

C++ Builder

6.0

Personal

Edition

// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej

//----------------------------------------------

// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek

// I Liceum Ogólnokształcące

// im. K. Brodzińskiego

// w Tarnowie

//----------------------------------------------

#include <iostream>

#include <string>

using

namespace

std

;

main

()

{

string

bs

,

ds

;

int

i

,

j

,

c

,

p

,

s

;

char

z

[

1

];

cout

<<

"Obliczanie wartosci dziesietnej\n"

" dowolnej liczby binarnej\n"

"===============================\n"

"(C)2005 mgr Jerzy Walaszek\n"

" I LO w Tarnowie\n\n"

"Podaj liczbe binarna:\n\n"

;

cin

>>

bs

;

cout

<<

endl

;

ds

=

"0"

;

i

=

0

;

while

((

i

<

bs

.

length

()) && ((

bs

[

i

] ==

'0'

) || (

bs

[

i

] ==

'1'

)))

{

p

=

0

;

// Przeniesienie

c

=

bs

[

i

] -

48

;

// Cyfra binarna

for

(

j

=

ds

.

length

() -

1

;

j

>=

0

;

j

--)

{

// Schemat Hornera

s

=

2

* (

ds

[

j

] -

48

) +

c

+

p

;

c

=

0

;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

p

=

s

/

10

;

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

ds

[

j

] = (

char

)((

s

%

10

) +

48

);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość

// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

if

(!

j

&&

p

)

ds

= (

char

)(

p

+

48

) +

ds

;

};

// Następna cyfra binarna

i

++;

};

cout

<<

"Wartosc dziesietna liczby binarnej:\n\n"

<<

ds

<<

"\n\nNacisnij ENTER...\n"

;

cin

.

getline

(

z

,

1

);

cin

.

getline

(

z

,

1

);

}

Microsoft

Visual

Basic 2005

Express

Edition

' Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej

'----------------------------------------------

' (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek

' I Liceum Ogólnokształcące

' im. K. Brodzińskiego

' w Tarnowie

'----------------------------------------------

Option

Explicit

On

Module

Module1

Sub

Main

()

Dim

bs

,

ds

As

String

Dim

i

,

j

,

c

,

p

,

s

As

Integer

Console

.

WriteLine

(

"Obliczanie wartości dziesiętnej"

)

Console

.

WriteLine

(

" dowolnej liczby binarnej"

)

Console

.

WriteLine

(

"==============================="

)

Console

.

WriteLine

(

"(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek"

)

Console

.

WriteLine

(

" I LO w Tarnowie"

)

Console

.

WriteLine

()

Console

.

WriteLine

(

"Podaj liczbę binarną:"

)

Console

.

WriteLine

()

bs

=

Console

.

ReadLine

()

Console

.

WriteLine

()

ds

=

"0"

:

i

=

0

While

(

i

<

bs

.

Length

())

If

(

bs

.

Chars

(

i

) <>

"0"

)

And

(

bs

.

Chars

(

i

) <>

"1"

)

Then

Exit

While

p

=

0

' Przeniesienie

c

=

Asc

(

bs

.

Chars

(

i

)) -

48

' Cyfra binarna

For

j

=

ds

.

Length

() -

1

To

0

Step

-

1

' Schemat Hornera

s

=

2

* (

Asc

(

ds

.

Chars

(

j

)) -

48

) +

c

+

p

c

=

0

' Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

p

=

s

\

10

' Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

Mid

(

ds

,

j

+

1

,

1

) =

Chr

((

s

Mod

10

) +

48

)

' Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość

' większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

If

(

j

=

0

)

And

(

p

>

0

)

Then

ds

=

Chr

(

p

+

48

) +

ds

Next

' Następna cyfra binarna

i

+=

1

End

While

Console

.

WriteLine

(

"Wartość dziesiętna liczby binarnej:"

)

Console

.

WriteLine

()

Console

.

WriteLine

(

ds

)

Console

.

WriteLine

()

Console

.

WriteLine

(

"KONIEC. Naciśnij dowolny klawisz..."

)

Console

.

ReadLine

()

End

Sub

End

Module

JavaScript

<

html

>

<

head

>

</

head

>

<

body

>

<

div

align

=

"center"

>

<

form

style

=

"BORDER-RIGHT: #ff9933 1px outset; PADDING-RIGHT: 4px;

BORDER-TOP: #ff9933 1px outset; PADDING-LEFT: 4px;
PADDING-BOTTOM: 1px; BORDER-LEFT: #ff9933 1px outset;
PADDING-TOP: 1px; BORDER-BOTTOM: #ff9933 1px outset;
BACKGROUND-COLOR: #ffcc66"

name

=

"frmbindec"

>

<

h3

id

=

"data_out"

style

=

"text-align: center"

>

Obliczanie

warto

ś

ci

dziesi

ę

tnej

<

br

>

dowolnej

liczby

binarnej

</

h3

>

<

p

style

=

"TEXT-ALIGN: center"

>

(

C

)

2005

mgr

Jerzy

Wa

ł

aszek

&

nbsp

;&

nbsp

;

I

LO

w

Tarnowie

</

p

>

<

hr

>

<

div

align

=

"center"

>

<

table

border

=

"0"

cellpadding

=

"4"

style

=

"border-collapse: collapse"

>

<

tr

>

<

td

align

=

"center"

>

Wprowad

ź

poni

ż

ej

liczb

ę

binarn

ą</

td

>

</

tr

>

<

tr

>

<

td

align

=

"center"

>

<

input

value

=

"111000111000111000111000111000111000111000111000"

name

=

"inp_bs"

size

=

"80"

style

=

"text-align: right"

>

</

td

>

</

tr

>

<

tr

>

<

td

align

=

"center"

>

<

input

onclick

=

"main();"

type

=

"button"

value

=

"Oblicz wartość dziesiętną"

name

=

"B1"

>

</

td

>

</

tr

>

</

table

>

</

div

>

<

p

id

=

"out_t"

style

=

"TEXT-ALIGN: center"

>...</

p

>

</

form

>

<

script

language

=

javascript

>

// Obliczanie wartości dowolnej liczby dwójkowej

//----------------------------------------------

// (C)2005 mgr Jerzy Wałaszek

// I Liceum Ogólnokształcące

// im. K. Brodzińskiego

// w Tarnowie

//----------------------------------------------

function

main

()

{

var

bs

,

ds

,

i

,

j

,

c

,

p

,

s

;

bs

=

document

.

frmbindec

.

inp_bs

.

value

;

ds

=

"0"

;

i

=

0

;

while

((

i

<

bs

.

length

) && ((

bs

.

charAt

(

i

) ==

'0'

) || (

bs

.

charAt

(

i

) ==

'1'

)))

{

p

=

0

;

// Przeniesienie

c

=

bs

.

charCodeAt

(

i

) -

48

;

// Cyfra binarna

for

(

j

=

ds

.

length

-

1

;

j

>=

0

;

j

--)

{

// Schemat Hornera

s

=

2

* (

ds

.

charCodeAt

(

j

) -

48

) +

c

+

p

;

c

=

0

;

// Wyznaczamy przeniesienie do następnej kolumny

p

=

Math

.

floor

(

s

/

10

);

// Cyfrę wynikową zapisujemy w miejscu docelowym

ds

=

ds

.

substr

(

0

,

j

) +

String

.

fromCharCode

((

s

%

10

) +

48

) +

ds

.

substring

(

j

+

1

,

ds

.

length

);

// Jeśli po wyczerpaniu cyfr ds przeniesienie p ma wartość

// większą od zera, to jest ono równe pierwszej cyfrze

if

(!

j

&&

p

)

ds

=

String

.

fromCharCode

(

p

+

48

) +

ds

;

};

// Następna cyfra binarna

i

++;

};

document

.

getElementById

(

"out_t"

).

innerHTML

=

ds

;

}

</

script

>

</

div

>

</

body

>

</

html

>

Tutaj możesz przetestować działanie prezentowanego skryptu:

Obliczanie wartości dziesiętnej

dowolnej liczby binarnej

(C)2005 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie

Wprowadź poniżej liczbę binarną

Oblicz wartość dziesiętną

...

Zadania

Zadanie 1 (łatwe)

Oblicz wartość następujących liczb binarnych:

1100000011

(2)

=

Testuj

.

Czyść

111000111

(2)

=

Testuj

.

10101010101

(2)

=

Testuj

.

11110000

(2)

=

Testuj

.

11001100110011

(2)

=

Testuj

.

Zadanie 2 (łatwe)

Przelicz na system dwójkowy podane poniżej liczby dziesiętne:

10

(10)

=

(2)

Testuj

.

Czyść

100

(10)

=

(2)

Testuj

.

1000

(10)

=

(2)

Testuj

.

10000

(10)

=

(2)

Testuj

.

93673

(10)

=

(2)

Testuj

.

Zadanie 3 (dosyć łatwe)

Ile razy wzrośnie zakres n-bitowych liczb binarnych, gdy liczbę bitów zwiększymy o 1, 2, 3, 4, m bitów? Odpowiedź
uzasadnij.

Zobacz dalej...

Kody binarne

|

Dwójkowy system stałoprzecinkowy

|

Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym

|

Operacje logiczne na bitach

|

Konwersje dwójkowo ósemkowe i szesnastkowe

Dokument ten rozpowszechniany jest zgodnie z zasadami licencji

GNU Free Documentation License.

Pytania proszę przesyłać na adres email:

[e-mail]

W artykułach serwisu są używane cookies. Jeśli nie chcesz ich otrzymywać,

zablokuj je w swojej przeglądarce.

Informacje dodatkowe

111000111000111000111000111000111000111000111000

Dlaczego Jezus?

Sprawdź Teraz nasz Darmowy Kurs OnLine!

kursy.szukajacboga.pl

ZOBACZ WIĘCEJ

Reklama zamknięta przez

Zgłoś tę reklamę

Dlaczego ta reklama?

Reklama zamknięta przez

Zgłoś tę reklamę

Dlaczego ta reklama?

Reklama zamknięta przez

Zgłoś tę reklamę

Dlaczego ta reklama?

Dlaczego Jezus?

Sprawdź Teraz nasz Darmowy Kurs OnLine!

kursy.szukajacboga.pl

ZOBACZ WIĘCEJ

Reklama zamknięta przez

Zgłoś tę reklamę

Dlaczego ta reklama?

Reklama zamknięta przez

Zgłoś tę reklamę

Dlaczego ta reklama?