Dodawanie liczb naturalnych.

Aby wyjaśnić genezę pojęcia sumy, odwołać się musimy do pojęcia liczby. Powstaje ono w umyśle dziecka jako wspólny abstrakcyjny schemat wielu różnych sytuacji. Na przykład liczba 5 służy do opisu zarówno pięciu litrowych butelek, jak i bańki zawierającej pięć litrów mleka, zarówno pięciometrowego kuponu flaneli, jak i pięciu pieluch powstałych przez jego przecięcie. W przykładach tych wyróżnić łatwo dwa najważniejsze typy sytuacji dających się opisać za pomocą liczby i operacji prowadzących do tej liczby:

1. Zbiór i liczenie jego elementów.

2. Wielkość i jej mierzenie.

Każdy z tych dwu rodzajów sytuacji dostarcza innych intuicji, które nazywać będziemy odpowiednio aspektem mnogościowym i aspektem miarowym liczby. Te same dwa typy sytuacji konkretnych posłużą nam za poglądową podstawę przy wprowadzeniu dodawania liczb. Będziemy więc dążyć do powiązania przez dzieci dodawania liczb:

1. z dodawaniem zbiorów (aspekt mnogościowy),

2. z dodawaniem wielkości (aspekt miarowy).

Mówiąc o mnogościowym aspekcie dodawania, bardzo ważne będzie uświadomienie dzieciom, że nie zawsze tam, gdzie mamy dwa zbiory, zadanie znalezienia liczby elementów ich złączenia polega na dodaniu liczby elementów tych zbiorów. W rym celu można się posłużyć następującym zadaniem.

„Janek ma w swojej bibliotece 4 książki o zwierzętach i 5 z kolorowymi ilustracjami. Wszystkich książek w bibliotece Janka jest 7. Czy to możliwe?” Rozwiązując to zadanie, dzieci zauważą, że co najmniej dwie książki o zwierzętach zawierają jednocześnie kolorowe ilustracje. Tę sytuację mogą dzieci przedstawić na odpowiednim schemacie.

Oczywiście badając to, dzieci przekonują się, że opisana sytuacja jest możliwa. Wprawdzie 4 + 5 = 9, ale w tym przypadku liczba elementów złączenia danych zbiorów nie jest równa sumie liczb elementów tych zbiorów, gdyż zbiory nie są rozłączne. Zadanie to ma jeszcze jedną zaletę dydaktyczną. Pokazuje, że aby rozwiązać zadanie rachunkowe, nie zawsze wystarczy wykonać nasuwające się w naturalny - zdawałoby się - sposób działanie arytmetyczne; przedtem trzeba dobrze zrozumieć opisaną w zadaniu sytuację.

Przy operacji dodawania trzeba wcześnie uwzględnić liczbę 0. Łatwo związać dodawanie 0 z dołączaniem zbioru pustego. Lepiej, żeby z pomocą konkretnych przykładów odkryły, że dodawanie zera nie zmienia liczby (tj. np. dodając 0 do 5 otrzymujemy tę samą liczbę 5).

Przejdźmy teraz do drugiego, miarowego aspektu dodawania. Materiał „Kolorowe liczby” pozwala na poglądowe powiązanie aspektu miarowego z aspektem mnogościowym liczby oraz sumy liczb. Układając obok danego klocka klocki jednostkowe wymierzamy ten klocek, a jednocześnie przyporządkowujemy mu zbiór kostek, którego liczebność jest równa długości klocka. Układając klocki obok „pociągu” tworzymy zarazem rozłączne zbiory kostek, których można użyć dla mnogościowego określania sumy danych liczb; liczebność złączenia tych zbiorów jest równa długości „pociągu”.

Aby dodać liczby a i b, będziemy teraz postępować według następującego schematu. Znajdziemy dwa słupki o długościach a, b łączymy je końcami, mierzymy otrzymany słupek.

Miarowy aspekt liczby i dodawania nie jest mniej ważny od mnogościowego, gdyż pozwala na łatwe uogólnianie tych pojęć na liczby wymierne i rzeczywiste dodatnie. Ujęcie mnogościowe pojęć arytmetycznych na takie uogólnienie nie pozwala. Nie bez powodu do wprowadzenia miarowego aspektu dodawania liczb używa się długości. Wielkość tę łatwiej niż inne oceniać „na oko”, co sprawia, że wszystkie wykonywane operacje są poglądowo bardziej oczywiste, a wnioski dają się łatwo kontrolować. Mierzenie żadnej innej wielkości nie jest tak łatwe technicznie jak mierzenie długości.

W ujęciu geometrycznym dodawanie liczb jako długości odcinków odpowiada dodawaniu odcinków „koniec do końca”. Operację tę dogodnie jest przedstawić na rysunku osi liczbowej, będącej pomostem między arytmetyką,
a geometrią.

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

Przedstawienie tej operacji na osi liczbowej umożliwia odczytanie sumy od razu, gdyż to liczba przyporządkowana końcowi ostatniego odcinka.

Prócz wymienionych już aspektów mnogościowego i miarowego, liczby naturalne mają jeszcze trzeci aspekt - porządkowy, o dużym znaczeniu praktycznym. Spotykamy się z nim, gdy kolejnymi numerami zbioru oznaczamy elementy zbioru: pierwszy, drugi, trzeci itd. Podczas tej czynności oznaczmy każdy element zbioru liczebnikiem porządkowym w formie słownej bądź symbolicznej.

Jeżeli elementom pewnego zbioru przyporządkujemy kolejne liczebniki naturalne „pierwszy”, „drugi” itd. (każdemu inny), to ostatni przyporządkowany liczebnik określa zarazem liczbę elementów tego zbioru. Fakt ten wiąże porządkowy aspekt liczby naturalnej z jej aspektem mnogościowym.

Zauważymy też, że „odliczanie”, a więc kolejne numerowanie elementów zbioru, jest najczęściej stosowanym sposobem znajdowania liczebności zbiorów niezbyt licznych.

Dodawanie, jak zresztą każde działanie arytmetyczne, ma jeszcze czwarty niebagatelny aspekt, który tu nazwiemy aspektem symbolicznym. Niezależnie od tego, jakie dodawanie zostało wykonane, dziecko musi jeszcze wykonać dodatkową czynność: symbolicznie odnotować wykonaną operację i jej wynik. Dotychczas w nauczaniu stosowano niemal wyłącznie zapis w formie 3 + 4 = 7, co uczeń odczytywał głośno „trzy dodać cztery równa się siedem”. Posługiwanie się zawsze tym samym schematem zapisu dodawania, a zwłaszcza takie schematyczne odczytywanie go, powoduje szkodliwe, trudne do wykorzenienia przyzwyczajenia dzieci:

1. utrwala błędne poczucie asymetrii równości,

2. przyzwyczaja do posługiwania się zawsze znakiem = jako symbolem wskazującym wynik wykonanej operacji, co uczniowie stosują potem w innych sytuacjach w sposób zupełnie błędny,

3. powoduje u dzieci niewolnicze związanie z zapisem a + b nakazu wykonania dodawania i duże trudności, gdy dodawanie „nie da się wykonać” (tj. np. gdy składniki są zmiennymi, jak wyżej lub
   w przypadku 1 + ).

Znak = jest tu symbolem identyczności. Wyrażenie

A + B

znaczy, że przedmiot o nazwie A jest tym samym przedmiotem co przedmiot o nazwie B. Wyrażenie

3 + 4 = 7

mówi, że liczba oznaczona 3 + 4 jest tą samą liczbą, co liczba oznaczona 7. Podstawową własnością identyczności jest symetria:

A = B wtedy i tylko wtedy, gdy B = A

Zatem

3 + 4 = 7

Znaczy dokładnie to samo, co

7 = 3 + 4

Świadomość równoważności tych wyrażeń jest bardzo ważna i powinna być kształtowana od początku. Dlatego trzeba by nauczyciel posługiwał się w zapisach na tablicy obiema formami zapisu. Dzieci powinny uświadomić sobie, że kolejność stron równości nie ma żadnego znaczenia.
Nie należy zadań rachunkowych formułować stale w tradycyjnej postaci

8 + 9 =

ale jak najczęściej zmieniać formę ich zapisu np. wykonaj dodawanie 8 + 9, dodaj liczby 8 i 9, a także przedstawiać je przy użyciu strzałek, tabelek i innych środków graficznych.

Nauczyciel powinien:

1. zadania rachunkowe formułować zawsze tak, aby polecenie było wyraźnie wypowiedziane słownie,

2. dodawać także zadania dotyczące liczb zapisanych w postaci sumy, ale nie wymagające wykonania dodawania np.

• o ile liczba 6 + 4 jest większa od 4?

W dotychczasowym nauczaniu dość dużą wagę przywiązywało się do opanowania przez dzieci poprawnego użycia słów „składnik” i „suma”

5 + 8 = 13

składnik składnik suma

Na tę terminologię zwracamy obecnie mniejszą uwagę, między innymi dlatego, że wcześniej wprowadza się litery w roli zmiennych. Niekiedy jednak wypadnie użyć słów składnik, suma i trzeba by uczniowie rozumieli je poprawnie. Skoro 5 + 8 jest symbolem liczby, zaś 13 jest symbolem tej samej liczby to wszystko co można powiedzieć o liczbie 13, można też powiedzieć o liczbie 5 + 8. Liczba 13 jest sumą składników 10 i 3, więc także 5 + 8 jest sumą składników 10 i 3, a nie tylko 5 i 8.

Ważnym sposobem uniknięcia wielu trudności jest zastosowanie innej formy symbolicznego zapisu operacji dodawania i jej wyniku np.: strzałki i drzewa.

+8

5 8

5 13 +

13

Znak = nie został tu wcale użyty, zaś znak + (wraz ze strzałką bądź „gałązkami” drzewa) jest prawidłowo odczytywany przez uczniów jako znak operacji lub polecenia jej wykonania. Jest bardzo ważne, aby niemal od samego początku nauki dodawania ćwiczyć z dziećmi nie tylko znajdowanie sumy danych liczb, ale także operację odwrotną: rozkład danej liczby na składniki. W ćwiczeniach tych bardzo pomocne są klocki „Kolorowe liczby”. Układanie dywaników i pamięciowe ich odtwarzanie ma na celu właśnie opanowanie rozkładów na składniki licz w zakresie 10.

Prawo przemienności dodawania mówi, że dodawanie liczb możemy wykonać w dowolnej kolejności, wynik dodawania nie zależy od kolejności składników albo jeszcze inaczej --wartość sumy nie zależy od dodawanych składników. Każde z tych sformułowań słownych zastąpić można krótkim zapisem literowym:

a + b = b + a

Zapoznawania dzieci nie możemy oddzielać od kształtowania pojęcia sumy. Pojęcie to ma w/w trzy aspekty. Aspekty mnogościowy i miarowy dodawania pokazują w sposób naturalny, bezpośredni i oczywisty przemienność tego działania.

Sytuacja wyraźnie się zmienia, gdy rozpatrujemy dodawanie w aspekcie porządkowym. Bardzo korzystne jest stosowanie prawa przemienności dodawania gdy dziecko wykonuje to działanie za pomocą osi liczbowej przez tzw. doliczanie po jeden. Na przykład dla wykonania dodawania 4 + 7 może liczyć rozpoczynając od 4 na osi liczbowej: jeden, dwa ..... siedem. Znajdzie się wtedy w punkcie oznaczonym liczbą 11. Może też postąpić inaczej. Obiera na osi punkt 7 i liczy: jeden , dwa, trzy, cztery. Wynik jest ten sam, a rachunek znacznie prostszy.

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

Łączność dodawania to własność, która daje rozmaite możliwości ułatwiania rachunków, a także pozwala szerzej rozumieć samo dodawanie, dlatego stopniowe uświadomienie jej dzieciom powinno być ważnym elementem nauki arytmetyki.

Własność ta mówi, że dowolną grupę składników zapisanych obok siebie możemy zastąpić ich sumą, a wynik dodawania nie ulegnie zmianie.

W zapisie literowym własność ta ma postać:

(a + b) + c = a + (b + c)

Można też napisać:

a + b + c =(a + b) + c = a + (b + c)

Nie musimy oczywiście podawać tej własności dzieciom w takiej formie, będziemy jednak stwarzali takie sytuacje, w których w sposób naturalny będą one postępowały tak, jakby ją znały. Pomoże nam w tym nawiązanie do wprowadzenia samego dodawania w trzech jego aspektach. Wykorzystamy tu działania na zbiorach, klocki - tworząc układanki oraz różnego rodzaju ćwiczenia i zabawy dydaktyczne.

Dziecko powinno wiedzieć, że dzięki własnościom dodawania może sobie uprościć skomplikowane rachunki sprowadzając je do łatwiejszych przypadków. Na przykład dodawanie 7 + 8 + 3 może wykonać tak:

7 + 8 + 3 = 7 + 3 + 8 = 10 + 8 = 18

lub

7 + 8 + 3 = 8 + (7 + 3) = 8 + 10 = 18

W przykładzie tym stosujemy jednocześnie przemienność i łączność dodawania. Polega to na zastąpieniu dowolnych dwóch składników (niekoniecznie zapisanych obok siebie) ich sumą. Krótko możemy powiedzieć, że w sumie dowolny składnik można dodać do dowolnego składnika, a wartość sumy nie ulegnie zmianie. Tak w praktyce powinny dzieci rozumieć własności łączności i przemienności dodawania.

Literatura

1. e. Gruszczyk - Kolczyńska „Przyczyny niepowodzeń w uczeniu się matematyki”.

2. Z. Semadeni „Nauczanie matematyki w klasach początkowych”

3. A. Pczołko „Metodyka nauczania arytmetyki w szkole początkowej”

4. H. Moroz „Nasza matematyka”, „Zabawy i gry dydaktyczne”

5. R. Więckowski: Edukacja matematyczna - jej istota, problemy podstawowe. „Życie szkoły” nr 5, 1992, s. 259

Jędrzejów 2004-06-07

Opracowała:

mgr Krystyna Łysek

1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

---