Prof. Edmund Wittbrodt

Środek ciężkości i środek geometryczny

Siła ciężkości

(ciężar, siła grawitacyjna Ziemi)

m

g

R

m

M

G

Q

⋅

=

⋅

=

2

,

gdzie: G – stała grawitacyjna, M – masa Ziemi,

R – promień Ziemi,

2

R

M

G

g

=

– przyspieszenie ziemskie

∑

∆

=

i

i

Q

Q

∫

∫

∫

=

=

=

)

(

)

(

)

(

V

V

Q

gdV

dV

dQ

Q

ρ

γ

, dla: g=const

m

g

dV

g

Q

V

⋅

=

=

∫

)

(

ρ

γ

=const

V

dV

Q

V

⋅

=

=

∫

γ

γ

)

(

ρ

,

g

=const

V

dV

g

Q

V

⋅

=

=

∫

γ

ρ

)

(

gdzie:

γ

– ciężar właściwy [N/m

3

]

ρ

– gęstość materiału (masa właściwa) [kg/ m

3

]

C

∆

Q

1

Q

∆

Q

2

∆

n

Q

Prof. Edmund Wittbrodt

Dla układu sił równoległych istnieje punkt leżący na wypadkowej tego układu, mający taką własność, że nie ulega zmianie,
gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów zaczepienia o dowolny, stały dla wszystkich sił kąt. Punkt ten
nazywamy

ś

rodkiem sił równoległych

.

Ś

rodek sił równoległych

Jeżeli weźmiemy pod uwagę elementarne siły ciężkości ciała, które są także układem sił równoległych, to ich środek
nazywamy

ś

rodkiem ciężkości

i oznaczamy najczęściej literą C.

Elementarne siły ciężkości i siła ciężkości

W

P

2

o S – środek sił równoległych

P

1

ϕ

ϕ

ϕ

C

∆

Q

1

Q

∆

Q

2

∆

n

Q

Prof. Edmund Wittbrodt

Współrzędne środka ciężkości określamy wychodząc z założenia, że skutek działania całkowitego ciężaru ciała musi być
taki sam jak elementarnych sił ciężkości tego ciała razem wziętych. Dla bryły przedstawionej na rysunku zapisujemy więc:

Q

dQ

=

∫

,

O

C

M

r

Q

r

dQ

= × =

×

∫

,

(2.43)

Współrzędne środka ciężkości równoważnych układów sił

przy czym równania (2.43) są spełnione, gdy:

Q

dQ

=

∫

,

C

x Q

xdQ

=

∫

,

C

y Q

ydQ

=

∫

.

(2.43a)

Natomiast zależność na współrzędną z

C

środka ciężkości otrzymamy z równania momentów bryły, które napiszemy dla

bryły obróconej, najprościej o kąt 90°

C

z Q

zdQ

=

∫

.

(2.43b)

z

x

y

z

x

y

y

C

x

C

z

C

C

Q

C

r

y

x

z

r

dQ

dV

≡

O

O

Prof. Edmund Wittbrodt

Z zależności (2.43) otrzymamy wzory służące do wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości bryły. Mają one postać:

C

xdQ

x

Q

=

∫

,

C

ydQ

y

Q

=

∫

,

C

zdQ

z

Q

=

∫

.

(2.44)

Jeżeli mamy do czynienia z bryłą, która daje się podzielić na n elementów o skończonych wymiarach i o znanych
współrzędnych środków ciężkości, to całki w (2.44) możemy zastąpić sumami:

1

n

i

i

i

C

x Q

x

Q

=

=

∑

,

1

n

i

i

i

C

y Q

y

Q

=

=

∑

,

1

n

i

i

i

C

z Q

z

Q

=

=

∑

.

(2.45)

Bryła złożona z n elementów

Ze względu na rozkład masy w objętości, ciała dzielimy na ciała jednorodne, gdy

γ

= const, i ciała niejednorodne, gdy

γ

= varia, przy czym

0

lim

V

Q

dQ

V

dV

∆

∆

γ

∆

→

=

=

.

z

y

C

i

z

i

x

i

y

i

i–ty element

x

Prof. Edmund Wittbrodt

Ze względu na kształt i wymiary ciała dzielimy na:

1) linie materialne

(druty, pręty) – ciała, w których dwa wymiary są pomijalne w stosunku do trzeciego

γ

=

dQ

Sdl

,

(2.46)

a zatem

γ

=

=

∫

Q

dQ

SL

– dla linii jednorodnej i o stałym przekroju S.

Linia materialna

2) powierzchnie

(blachy, płyty, skorupy) – ciała, w których jeden wymiar jest pomijalny w stosunku do dwóch pozostałych

γ

=

dQ

hdS

,

(2.47)

a zatem

γ

=

=

∫

Q

dQ

hS

– dla powierzchni jednorodnej i o stałej grubości h.

Powierzchnia materialna

dl

dQ

L

S=const

Q

l

S, Q

dS, dQ

h=const

Prof. Edmund Wittbrodt

3) bryły

– ciała, w których trzy wymiary są znaczące

γ

=

dQ

dV

,

(2.48)

a zatem

γ

=

=

∫

Q

dQ

V

– dla bryły jednorodnej.

Bryła materialna

W praktyce najczęściej mamy do czynienia z liniami materialnymi jednorodnymi (o stałym ciężarze właściwym) i o stałym
przekroju, powierzchniami jednorodnymi i o stałej grubości oraz z bryłami jednorodnymi. Wówczas

ś

rodek ciężkości

pokrywa się ze środkiem

geometrycznym bryły

. Podstawiając zatem zależności (2.46), (2.47) i (2.48) do równań (2.44)

otrzymujemy wzory na obliczanie współrzędnych środków geometrycznych brył w postaci:

1) dla linii materialnej (

γ

, S = const)

C

xdl

x

l

=

∫

,

C

ydl

y

l

=

∫

,

C

zdl

z

l

=

∫

,

(2.49)

2) dla powierzchni (

γ

, h = const)

C

xdS

x

S

=

∫

,

C

ydS

y

S

=

∫

,

C

zdS

z

S

=

∫

,

(2.50)

3) dla bryły (

γ

= const)

C

xdV

x

V

=

∫

,

C

ydV

y

V

=

∫

,

C

zdV

z

V

=

∫

.

(2.51)

W tabeli zestawiono wzory na współrzędne środków geometrycznych (ciężkości) podstawowych figur i brył .

V, Q

dV, dQ

Prof. Edmund Wittbrodt

Tabl. 2.4 Współrzędne środków ciężkości (środków geometrycznych) podstawowych figur i brył

Figura

x

C

y

C

z

C

Odcinek

2

l

0

0

Odcinek łuku

α

α

sin

R

0

0

Prostokąt

2

a

2

b

0

Trójkąt

3

h

0

0

x

l

C

O

C

a

b

x

y

x

y

C

h

C

R

x

y

2

α

Prof. Edmund Wittbrodt

Wycinek koła

α

α

sin

3

2 R

0

0

Prostopadłościan

2

a

2

b

2

c

Stożek

0

0

4

H

Półkula

0

0

R

8

3

C

y

x

H

z

c

b

a

C

x

y

z

O

x

C

R

2

α

y

x

C

R

y

z