Prof. Edmund Wittbrodt

Tarcie cięgien

Rozważmy sytuację, w której cięgno przerzucone jest przez bęben. Dane są: R – promień bębna,

ϕ

– kąt opasania,

µ

–

współczynnik tarcia pomiędzy cięgnem a bębnem.

Siły działające na cięgno

Określić chcemy zależność pomiędzy siłami przyłożonymi do końców cięgna tak, aby nie nastąpił poślizg cięgna
względem bębna. W tym celu rozważamy wycinek bębna z zaznaczeniem sił działających na cięgno. Z warunków
równowagi sił na kierunek styczny i normalny mamy:

(

) cos

cos

0

2

2

t

d

d

W

S

dS

dT

S

α

α

= − +

+

+

=

,

(2.32a)

sin

(

) sin

0

2

2

n

d

d

W

dN

S

S

dS

α

α

= −

+

+

+

=

.

(2.32b)

Rozkład sił działających na elementarny fragment cięgna

α

d

2

α

d

2

S

t

α

d

dT

dN

n

+

S

dS

bęben

(cięgno czynne)

α

d

ϕ

α

cięgno

R

O

S

S

(cięgno bierne)

Prof. Edmund Wittbrodt

Przy założeniu małych kątów

d

α

możemy przyjąć uproszczenia:

sin

2

2

d

d

α

α

≈

,

cos

1

2

d

α

≈

,

0

2

d

dS

α

≈

, co po podstawieniu do

(2.32) daje układ równań:

0

dT

dS

−

=

,

0

α

−

=

dN

Sd

(2.33)

Aby rozwiązać ten układ, który zawiera trzy niewiadome, przyjmujemy graniczny stan równowagi, a zatem

dT

dN

µ

=

.

(2.34)

Z układu trzech równań (2.33a, 2.33b) i (2.34) otrzymujemy

µ α

=

dS

d

S

,

(2.35)

co po scałkowaniu daje

µα

=

S

Ae

,

(2.36)

gdzie A jest stałą całkowania.


Stałą całkowania A określimy z następujących warunków brzegowych (rys.): gdy:

α

= 0, S = S

0

;

α

=

ϕ

, S = S, które po

podstawieniu do (2.36) dają:

A = S

0

,

α

=

ϕ

.

Prof. Edmund Wittbrodt

Zatem wzór (2.36) przyjmuje ostateczną postać (dla

tarcia granicznego

)

0

µϕ

=

S

S e

,

(2.37)

gdzie:

S

– siła przyłożona do cięgna czynnego (ciągnącego),

S = S

0

– siła przyłożona do cięgna biernego (ciągnionego),

µ

– współczynnik tarcia,

ϕ

– kąt opasania bębna.

Moment przenoszony przez przekładnię pasową obliczamy (dla tarcia granicznego,

maksymalny

):

)

1

(

−

=

µϕ

e

R

S

M

o

Prof. Edmund Wittbrodt

Opory toczenia

Podczas toczenia walca po płaszczyźnie mamy do czynienia z innym rodzajem oporów. Tłumaczymy je odkształcalnością
podłoża i samego walca. W związku z powyższym reakcja normalna podłoża jest przesunięta o wielkość f.

Siły działające na toczący się walec

Z sumy momentów względem punktu O mamy

0

− +

=

Pr

Nf

,

skąd

f

P

N

r

=

.

(2.38)

Jeżeli toczenie odbywa się bez poślizgu, to suma rzutów sił na kierunek osi x równa jest

0

x

W

P T

= − =

,

a zatem

T

P

=

.

(2.39)

Toczenie odbywa się bez poślizgu dopóki siła tarcia spełnia warunek

µ

≤

T

N

.

(2.40)

Z sumy rzutów na kierunek osi y mamy

N

Q

=

.

(2.41)

f

T

N

Q

P

r

y

x

O

Prof. Edmund Wittbrodt

Po podstawieniu (2.41), (2.39), (2.38) do (2.40), otrzymujemy warunek toczenia się walca bez poślizgu w postaci

µ

≤

f

r

.

(2.42)

W tabeli podano wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów.

Wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów

rodzaje materiałów

f [mm]

koło żeliwne po żeliwie

0,05

koło stalowe po stali

0,05

koło drewniane po drewnie

0,5–1,5

koło drewniane po kamieniu

1,3

koło ze stali hartowanej po
stali hartowanej

0,005–0,01

koło samochodowe po asfalcie

2,4

koło samochodowe po gruncie
trawy

10–15