Prof. Edmund Wittbrodt
Siła ciężkości
Siła ciężkości (ciężar, siła grawitacyjna Ziemi)
m
g
R
m
M
k
Q
⋅
=
⋅
=
2
,
gdzie: k – stała grawitacyjna, M – masa Ziemi,
R – promień Ziemi,
2
R
M
k
g
=
– przyspieszenie ziemskie
∑
∆
=
i
i
Q
Q
∫
∫
∫
=
=
=
)
(
)
(
)
(
V
V
Q
gdV
dV
dQ
Q
ρ
γ
, dla: g=const
m
g
dV
g
Q
V
⋅
=
=
∫
)
(
ρ
γ
=const
V
dV
Q
V
⋅
=
=
∫
γ
γ
)
(
ρ
,
g
=const
V
dV
g
Q
V
⋅
=
=
∫
γ
ρ
)
(
gdzie:
γ
– ciężar właściwy [N/m
3
]
ρ
– gęstość materiału (masa właściwa) [kg/ m
3
]
C
∆Q
1
Q
∆Q
2
∆
n
Q
Prof. Edmund Wittbrodt
Środki ciężkości
Dla układu sił równoległych istnieje punkt leżący na wypadkowej tego układu, mający taką własność, że nie ulega zmianie,
gdy wszystkie siły obrócimy dookoła ich punktów zaczepienia o dowolny, stały dla wszystkich sił kąt. Punkt ten
nazywamy środkiem sił równoległych.
Ś
rodek sił równoległych
Jeżeli weźmiemy pod uwagę elementarne siły ciężkości ciała, które są także układem sił równoległych, to ich środek
nazywamy środkiem ciężkości i oznaczamy najczęściej literą C.
Elementarne siły ciężkości i siła ciężkości
W
P
2
o S – środek sił równoległych
P
1
ϕ
ϕ
ϕ
C
∆Q
1
Q
∆Q
2
∆
n
Q
Prof. Edmund Wittbrodt
Współrzędne środka ciężkości określamy wychodząc z założenia, że skutek działania całkowitego ciężaru ciała musi być
taki sam jak elementarnych sił ciężkości tego ciała razem wziętych. Dla bryły przedstawionej na rysunku zapisujemy więc:
Q
dQ
=
∫
,
O
C
M
r
Q
r
dQ
=
×
=
×
∫
,
(2.43)
Współrzędne środka ciężkości równoważnych układów sił
przy czym równania (2.43) są spełnione, gdy:
Q
dQ
=
∫
,
C
x Q
xdQ
=
∫
,
C
y Q
ydQ
=
∫
.
(2.43a)
Natomiast zależność na współrzędną z
C
środka ciężkości otrzymamy z równania momentów bryły, które napiszemy dla
bryły obróconej, najprościej o kąt 90°
C
z Q
zdQ
=
∫
.
(2.43b)
z
x
y
z
x
y
y
C
x
C
z
C
C
Q
C
r
y
x
z
r
d
Q
dV
≡
O
O
Prof. Edmund Wittbrodt
Z zależności (2.43) otrzymamy wzory służące do wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości bryły. Mają one postać:
C
xdQ
x
Q
=
∫
,
C
ydQ
y
Q
=
∫
,
C
zdQ
z
Q
=
∫
.
(2.44)
Jeżeli mamy do czynienia z bryłą, która daje się podzielić na n elementów o skończonych wymiarach i o znanych
współrzędnych środków ciężkości, to całki w (2.44) możemy zastąpić sumami:
1
n
i
i
i
C
x Q
x
Q
=
=
∑
,
1
n
i
i
i
C
y Q
y
Q
=
=
∑
,
1
n
i
i
i
C
z Q
z
Q
=
=
∑
.
(2.45)
Bryła złożona z n elementów
Ze względu na rozkład masy w objętości, ciała dzielimy na ciała jednorodne, gdy
γ
= const, i ciała niejednorodne, gdy
γ
= varia, przy czym
0
lim
V
Q
dQ
V
dV
∆
∆
γ
∆
→
=
=
.
z
y
C
i
z
i
x
i
y
i
i–ty element
x
Prof. Edmund Wittbrodt
Ze względu na kształt i wymiary ciała dzielimy na:
1) linie materialne (druty, pręty) – ciała, w których dwa wymiary są pomijalne w stosunku do trzeciego
γ
=
dQ
Sdl
,
(2.46)
a zatem
γ
=
=
∫
Q
dQ
SL
– dla linii jednorodnej i o stałym przekroju S.
Linia materialna
2) powierzchnie (blachy, płyty, skorupy) – ciała, w których jeden wymiar jest pomijalny w stosunku do dwóch pozostałych
γ
=
dQ
hdS
,
(2.47)
a zatem
γ
=
=
∫
Q
dQ
hS
– dla powierzchni jednorodnej i o stałej grubości h.
Powierzchnia materialna
dl
dQ
L
S=const
Q
l
S, Q
dS, dQ
h=const
Prof. Edmund Wittbrodt
3) bryły – ciała, w których trzy wymiary są znaczące
γ
=
dQ
dV
,
(2.48)
a zatem
γ
=
=
∫
Q
dQ
V
– dla bryły jednorodnej.
Bryła materialna
W praktyce najczęściej mamy do czynienia z liniami materialnymi jednorodnymi i o stałym przekroju, powierzchniami
jednorodnymi i o stałej grubości oraz z bryłami jednorodnymi. Podstawiając zatem zależności (2.46), (2.47) i (2.48) do
równań (2.44) otrzymujemy:
1) dla linii materialnej (
γ
, S = const)
C
xdl
x
l
=
∫
,
C
ydl
y
l
=
∫
,
C
zdl
z
l
=
∫
,
(2.49)
2) dla powierzchni (
γ
, h = const)
C
xdS
x
S
=
∫
,
C
ydS
y
S
=
∫
,
C
zdS
z
S
=
∫
,
(2.50)
3) dla bryły (
γ
= const)
C
xdV
x
V
=
∫
,
C
ydV
y
V
=
∫
,
C
zdV
z
V
=
∫
.
(2.51)
W tabeli zestawiono wzory na współrzędne środków ciężkości podstawowych figur i brył geometrycznych.
V, Q
dV, dQ
Prof. Edmund Wittbrodt
Tabl. 2.4 Współrzędne środków ciężkości (środków geometrycznych) podstawowych figur i brył
Figura
x
C
y
C
z
C
Odcinek
2
l
0
0
Odcinek łuku
α
α
sin
R
0
0
Prostokąt
2
a
2
b
0
Trójkąt
3
h
0
0
x
l
C
O
C
a
b
x
y
x
y
C
h
C
R
x
y
2
α
Prof. Edmund Wittbrodt
Wycinek koła
α
α
sin
3
2 R
0
0
Prostopadłościan
2
a
2
b
2
c
Stożek
0
0
4
H
Półkula
0
0
R
8
3
C
y
x
H
z
c
b
a
C
x
y
z
O
x
C
R
2
α
y
x
C
R
y
z