96 Â

WIAT

N

AUKI

Maj 1997

M

niej wi´cej rok temu Ian Por-
teous, matematyk z Univer-
sity of Liverpool, opowie-

dzia∏ mi o pewnej eleganckiej grze.
WymyÊli∏ jà jego syn, Richard Porteous,
by uczyç dzieci mno˝enia i dzielenia.
Gra nazywa si´ Juniper Green, tak jak
szko∏a, w której pracowa∏. Jest zabaw-
na, a znalezienie strategii zwyci´stwa
wcale nie jest proste.

Do gry w Juniper Green potrzeba 100

kart ponumerowanych od 1 do 100. K∏a-
dziemy je licem do góry, rosnàco, po-
wiedzmy, w dziesi´ciu rz´dach po dzie-
si´ç, tak by gracz móg∏ ∏atwo odnaleêç
poszukiwanà kart´. Zasady sà nast´pu-
jàce:

1. Dwóch graczy kolejno bierze po jed-

nej karcie ze sto∏u. Wzi´tej karty nie mo˝-
na wymieniç ani te˝ u˝yç ponownie.

2. Z wyjàtkiem pierwszego ruchu ka˝-

da wybrana liczba musi byç albo dziel-
nikiem, albo wielokrotnoÊcià poprzed-
nio wybranej.

3. Pierwszy z graczy, który nie mo˝e

dobraç karty, przegrywa.

Jest jeszcze jedna zasada, która czyni

gr´ ciekawà. Jak wiemy, liczba pierwsza
nie ma innych dzielników poza sobà sa-
mà i 1. Tak wi´c, gdy pierwszy gracz wy-
bierze liczb´ pierwszà wi´kszà od 50, to
drugi przegrywa. Przyjmijmy, ˝e Alice
w grze z Bobem zaczyna. Wybiera 97;

Bob musi wziàç 1. Nast´pnie Alice po-
nownie wybiera du˝à liczb´ pierwszà,
powiedzmy 89. Ale Bob ju˝ podjà∏ kar-
t´ 1 i nie ma ruchu. By uniknàç tej przy-
krej sytuacji, przyjmujemy, ˝e:

4. Pierwszà wybranà liczbà w grze

musi byç liczba parzysta.

Lecz chocia˝ gra zaczyna si´ od licz-

by parzystej, du˝e liczby pierwsze w
dalszym ciàgu majà wp∏yw na przebieg
gry. W szczególnoÊci gdy jeden z gra-
czy wybierze 1, to musi przegraç, jeÊli
oczywiÊcie przeciwnik nie Êpi. Przyjmij-
my, ˝e Bob wybiera 1, a Alice odpo-
wiada, wybierajàc du˝à liczb´ pierw-
szà – 97. (Zauwa˝, ˝e liczba 97 musi byç
dost´pna, poniewa˝ kart´ mo˝na pod-
jàç, jedynie gdy poprzedni gracz wybra∏
1). Wtedy Bob nie ma ˝adnego ruchu.
Tak wi´c gra si´ koƒczy, gdy jeden
z graczy jest zmuszony do wybrania
karty z numerem 1.

Ramka poni˝ej przedstawia przyk∏ad

rozgrywki nie uwzgl´dniajàcej dobrej
taktyki. Proponuj´, by czytelnicy w tym
momencie przerwali lektur´, przygoto-
wali tali´ kart i troch´ pograli. Chocia˝
tym razem nie zamierzam ujawniç me-
tody zwyci´stwa – przedstawi´ jà w jed-
nym ze sprz´˝eƒ zwrotnych w najbli˝-
szych miesiàcach, by nie psuç zabawy
– to jednak przeanalizuj´ t´ gr´ dla talii
sk∏adajàcej si´ z 40 kart ponumerowa-

nych od 1 do 40. Analiza ta da pewne
wskazówki dla gry w 100 kart. Ma∏e
dzieci mogà u˝ywaç talii ponumerowa-
nych od 1 do 20. Dla wygody gr´ Juni-
per Green talià sk∏adajàcà si´ z n kart
b´d´ oznacza∏ „JG-n” i przedstawi´
wam zwyci´skà strategi´ dla JG-40.

OczywiÊcie przy pewnych ruchach

poczàtkowych przegrywa si´ szybko.
Na przyk∏ad:

RUCH ALICE BOB

1

38

2

19

3

1

4

37

5

przegrana

Gra koƒczy si´ podobnie, gdy pierw-

szy ruch to 34. Trzeba tak˝e unikaç
pewnych innych liczb. Za∏ó˝my na przy-
k∏ad, ˝e Alice niefortunnie zagra∏a 5. Wte-
dy Bob szybko podnosi kart´ 25. Alice
nie ma wyboru, musi zagraç 1. Ten ostat-
ni ruch oznacza przegranà. (Zauwa˝, ˝e
25 musi byç wcià˝ dost´pne, poniewa˝
mo˝e byç wybrane jedynie wtedy, gdy
poprzedni gracz zagra 1 lub 5).

Oczywistà taktykà, którà powinna

zastosowaç Alice, jest zmuszenie Boba
do wybrania 5. Czy jest to mo˝liwe? Zo-
baczmy. Je˝eli Bob wybiera 7, to ona
mo˝e zagraç 35, a wtedy on musi wy-
braç 5 lub 1 i w obu przypadkach prze-
grywa. Dobrze, ale czy Alice mo˝e
zmusiç Boba do zagrania kartà 7? Tak:
jeÊli on wybierze 3, to ona gra 21, zmu-
szajàc go do odpowiedzi 7. Zgoda, ale

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Juniper Green

RUCH ALICE BOB KOMENTARZ

1

48

Liczba parzysta wymagana przez zasad´ 4

2

96

Podwojona liczba wybrana przez Alice

3

32

Jedna trzecia liczby wybranej przez Boba

4

64

Bob jest zmuszony wybraç pot´g´ 2

5

16

Tak samo Alice

6

80

7

10

8

70

9

35 Po∏owa

10

5

Jedyne mo˝liwoÊci to 5, 7
(1 prowadzi do pora˝ki)

11

25

12

75

Jedyne mo˝liwoÊci to 50 i 75

13

3

14

81

15

9

Jedynie 9 i 27 do wyboru

16

27 Z∏y

ruch!

17

54

Wymuszony wybór, bo 1 prowadzi do pora˝ki

18

2 Wymuszone

19

62

Wariant zwyci´skiej taktyki

20

31 Wymuszone

21

93

Jedyny, ale dobry wybór

22

1

Wymuszone i przegrana, poniewa˝...

23

97

Taktyka du˝ych pierwszych

ALICE I BOB grajà

w Juniper Green,

edukacyjnà gr´ liczbowà.

JENNIFER C. CHRISTIANSEN

Â

WIAT

N

AUKI

Maj 1997 97

jak zmusiç Roberta do wyboru 3? Na
przyk∏ad je˝eli Bob zagra 13, to Alice
powinna wybraç 39. Alice mo˝e dalej
w ten sposób post´powaç, budujàc hi-
potetyczne ciàgi i wymuszajàc odpo-
wiednià odpowiedê Boba, co za ka˝-
dym razem doprowadzi go do nie-
uniknionej pora˝ki.

Czy Alice mo˝e jednak wmanewro-

waç Boba w taki ciàg? Na poczàtku gra-
cze muszà braç pod uwag´ liczby pa-
rzyste, tak wi´c karta 2 jest bardzo
istotna. RzeczywiÊcie, gdy Bob gra 2, to
wtedy Alice mo˝e wybraç 26, zmusza-
jàc Boba do wyboru 13. I w tym momen-
cie doszliÊmy do sedna sprawy. Jak Ali-
ce mo˝e zmusiç Boba do zagrania 2?

Gdy Alice zaczyna kartà 22, to Bob

albo wybiera 2 i wpada w d∏ugi ciàg wy-
muszonych ruchów przedstawionych
powy˝ej, albo gra 11. W tym momencie
Alice mo˝e albo zagraç 1 i przegraç, al-
bo si´gnàç po 33. Gdy wybierze 33 (a 11
ju˝ by∏o), Bob jest zmuszony do zagra-
nia 3 i jego partnerka wygrywa. Ruchy
poni˝ej podsumowujà strategi´ Alice:
dwa zestawy kolumn odpowiadajà
dwóm wyborom Boba. (Zak∏adamy, ˝e
gracze unikajà 1.)

RUCH ALICE BOB ALICE BOB

1

22

2

11

2

3

33

26

4

3

13

5

21

39

6

7

3

7

35

21

8

5

7

9

25

35

10

przegrywa

5

11

25

12

przegrywa

Jest jeszcze jeden inny dobry otwie-

rajàcy ruch zapewniajàcy zwyci´stwo
Alice: 26. Przebieg rozgrywki jest po-
dobny, z niewielkimi zmianami ukaza-
nymi na poni˝szej tabeli.

RUCH ALICE BOB ALICE BOB

1

26

2

13

2

3

39

22

4

3

11

5

21

33

6

7

3

7

35

21

8

5

7

9

25

35

10

przegrywa

5

11

25

12

przegrywa

Zasadnicze znaczenie majà liczby

pierwsze 11 i 13. Je˝eli ruchem otwie-

rajàcym jest podwojona taka liczba
pierwsza (22 lub 26), to Robert musi
odpowiedzieç albo wybierajàc 2, albo
t´ liczb´ pierwszà. W tym momencie
Alice albo jest na drodze do zwyci´-
stwa, albo musi sobie poradziç z liczbà
pierwszà. Odpowiada, wybierajàc po-
trojonà liczb´ pierwszà i zmuszajàc Bo-
ba do wyboru 3, co w konsekwencji
daje jej zwyci´stwo. Alice wygrywa,
poniewa˝ z wyjàtkiem podwojonej licz-
by pierwszej jedynà wielokrotnoÊcià
tych liczb pierwszych mniejszà od 40
jest ich potrojenie, a mianowicie 33 lub
39. Te „Êrednie liczby pierwsze” znaj-
dujàce si´ pomi´dzy jednà trzecià a jed-
nà czwartà liczby kart pozwalajà Ali-
ce wygraç. Czy jakiÊ inny wybór
pierwszego ruchu (ni˝ 22 lub 26) pro-
wadzi do zwyci´stwa? To zadanie
pozostawiam czytelnikowi. Co wi´cej,
ma on ju˝ wystarczajàco dobre roze-
znanie, by samodzielnie przeanalizo-
waç JG-100 lub jeszcze bardziej ambit-

nie JG-1000. Czy mo˝na w tej grze zna-
leêç strategi´ zwyci´stwa pierwszego
gracza?

Nadszed∏ czas, by problem uogólniç.

Rozwa˝my gr´ JG-n dla dowolnej licz-
by ca∏kowitej n. Poniewa˝ gra nie do-
puszcza remisów, teoria mówi, ˝e albo
Alice, która zaczyna, przyjmuje zwy-
ci´skà strategi´, albo pozostawia jà Bo-
bowi, ale nigdy nie zremisujà. Za∏ó˝-
my, ˝e n jest „pierwotne”, gdy Alice
dysponuje strategià zwyci´stwa dla JG-
n, a „wtórne”, gdy ma jà Bob. Czy mo˝-
na scharakteryzowaç te n, które sà pier-
wotne, i te n, które sà wtórne?

Szybkie wyliczenia dla bardzo ma-

∏ych n, wskazujà, ˝e 1, 3, 8 oraz 9 sà pier-
wotne, podczas gdy 2, 4, 5, 6 i 7 wtór-
ne. A jakie jest n = 100? A zupe∏nie
ogólne n? Czy mo˝na znaleêç jakàÊ obo-
wiàzujàcà regu∏´? Mo˝e ktoÊ potrafi roz-
wiàzaç ca∏y problem?

T∏umaczyli

Zdzis∏aw Pogoda i Robert Wolak

W

i´kszoÊç listów, które nadesz∏y w sprawie „Kardynalnego b∏´du Êledczego” [Âwiat
Nauki, listopad 1996], pokazuje, jak ∏atwo mo˝na si´ pomyliç w sprawach doty-

czàcych prawdopodobieƒstwa warunkowego. Pozwol´ sobie wyjaÊniç te punkty, któ-
re spowodowa∏y najwi´cej zamieszania. Wielu czytelników nie poradzi∏o sobie z sa-
mym przyk∏adem. Powiedziano nam, ˝e rodzina Smith mia∏a dwoje dzieci i ˝e jedno z nich
by∏o dziewczynkà. Jakie jest prawdopodobieƒstwo, ˝e dwoje dzieci jest dziewczynka-
mi? (Zak∏adamy, ˝e ch∏opcy i dziewczynki sà równie prawdopodobni, co mo˝e nie
odpowiadaç rzeczywistoÊci. Tak˝e gdy mówi´: „jedno jest dziewczynkà”, nie mam na
myÊli, ˝e tylko jedno z nich; mam na myÊli, ˝e co najmniej jedno nià jest.)

Wiele k∏opotów sprawi∏o uporzàdkowanie przeze mnie dzieci w kolejnoÊci urodzin. Wte-

dy mamy cztery typy rodzin z dwojgiem dzieci: CC, CD, DC, DD. Ka˝da z nich jest
równie prawdopodobna. Je˝eli jedno z dzieci jest dziewczynkà, pozostajà nam trzy ty-
py rodziny: CD, DC oraz DD. Z tych wariantów tylko jeden daje nam dwie dziewczyn-
ki. Tak wi´c prawdopodobieƒstwo warunkowe zdarzenia, ˝e gdy jedno z dzieci jest
dziewczynkà, to i drugie jest dziewczynkà, jest równe

1

/

3

. Z drugiej jednak strony, gdy

wiemy, ˝e starsze dziecko jest dziewczynkà, to prawdopodobieƒstwo warunkowe, ˝e
dwoje dzieci to dziewczynki, wynosi

1

/

2

.

Niektórzy z czytelników twierdzili, ˝e nie powinienem rozró˝niaç DC i CD. Dlacze-

go nie sprawdziç tego, rzucajàc dwiema monetami? Rewers i awers monety reprezen-
tujà p∏eç z odpowiednim prawdopodobieƒstwem (

1

/

2

). JeÊli, Czytelniku, jesteÊ tak sa-

mo leniwy jak ja, to mo˝esz symulowaç rzuty monetà na komputerze za pomocà
generatora liczb losowych. W przypadku miliona symulowanych rzutów otrzyma∏em:

dwa or∏y

250 025

dwie reszki

250 719

orze∏ i reszka

499 256

Spróbuj to te˝ zrobiç. JeÊli DC i CD sà tym samym, to w trzecim przypadku powi-

nieneÊ otrzymaç 333 333.

Bardzo istotne by∏o rozstrzygni´cie, czy prawdà jest, ˝e – gdy wiemy, i˝ jedno z dzie-

ci jest D – mo˝emy stwierdziç, i˝ drugie jest z równym prawdopodobieƒstwem D lub C.
Pouczajàce jest rozumowanie, które prowadzi do wniosku, ˝e to nieprawda. Gdy dwo-
je dzieci to dziewczynki, wówczas drugie dziecko nie jest jednoznacznie okreÊlone,
chyba ˝e sprecyzujemy, o której dziewczynce mówimy (na przyk∏ad o tej starszej). Ta
specyfikacja niszczy przyj´tà symetri´ pomi´dzy D i C i zmienia prawdopodobieƒstwo
warunkowe. W rzeczywistoÊci stwierdzenie, ˝e „starsze dziecko jest dziewczynkà”,
niesie wi´cej informacji ni˝ „przynajmniej jedno dziecko jest dziewczynkà”. (Pierwsze
stwierdzenie pociàga drugie, ale drugie nie musi implikowaç pierwszego.) Tak wi´c
nie powinno byç zaskoczeniem, ˝e prawdopodobieƒstwa warunkowe sà ró˝ne.

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE