1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?
Jeżeli f:AB, g:BC to (g ć% f):AC zdefiniowane wzorem "a�A (g ć% f)(a)=g(f(a)) nazywamy złożeniem
odwzorowań
2. Podać i uzasadnić wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.
Niech f:AB , g:BC - bijekcje wtedy (g ć% f)-1=f-1 ć% g-1
Dowód:
(g ć% f)-1(c)=a�!(g ć% f)(a)=c ś'f(a)=b Ś g(b)=c
(f-1 ć% g-1)(c)=a1 ś' f-1(g-1(c))= a1ś' g-1(c)=f(a1)ś'c=g(f(a1))=(gć%f)(a1) ł' a=a1 ł' f-1 ć% g-1 =(gć%f)-1
3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?
Niech f:AB  bijekcja (warunek istnienia)
Odwzorowanie g:BA takie, że "b�B g(b)=a, f(a)=b �! g=f-1 nazywamy odwrotnym do danego
4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?
| |
Niech z = x + y i, z = x + y i, |z = |z = m
|z " z | = |x + y i " x + y i|=|(x " x - y " y ) + (x " y + x " y )i| =
( ) ( )
x " x - y " y + x " y + x " y = x " x + y " y + x " y + x " y =

( )( )
x + y x + y = m " m = m
5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnić użyte symbole. Podać wzór na iloczyn
dwóch liczb w tej postaci.
|z|*ei� - postać wykładnicza funkcji zespolonej, gdzie:
|z|- moduł liczby z
e- liczba Eulera
i- jednostka urojona
�-argument
| | | | | |
z " e " z " e = z " |z | " e ( )
6. Podać i uzasadnić wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej .

cosĆ = , sinĆ =

e = cosĆ + sinĆ " i e = cosĆ + sinĆ " i e - cosĆ = sinĆ " i
ś' ś'
(-Ć
) (-Ć
) ( ) ( ) ( )
e = cos + sin " i e = cos Ć - sin Ć " i e = cos Ć - e + cosĆ
ż#e - e + e ż#sinĆ = e - e
= sinĆ " i
2 2i
ś' ś'
e + e e + e
�# �#
cosĆ =
�# �#cosĆ =
2 2
7. Kiedy wektory e1,...en nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory (1,2),(4,-1),(-2,3) są liniowo niezależne?
"
liniowo niezależne gdy "ą1,...,ąn �K ą e =0�!ą1=...=ąn=0


Niezależność wektorów opiera się na fakcie, że wyznacznik macierzy stworzonej z każdej pary wektorów jest
`"0. W tym wypadku:
1 4 `"0, 1 -2 `"0, -2 4 `"0 ł' liniowo niezależne
2 -1 2 3 3 -1
8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?
Baza przestrzeni wektorowej jest to zbiór wektorów (
1,...,
n) liniowo niezależnych, które generują daną
przestrzeń.
Dwie bazy tej samej przestrzeni łączy liczba wektorów bazowych
9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?
Niech X,Y - przestrzenie wektorowe, (
1,...,
n) - baza w X, (
1,...,
m) - baza w Y
T: XY - odwzorowanie liniowe.

= a . Reprezentacja macierzowa odwzorowania T w danych bazach:

a & a
a
a
a & a
=A
�"
�" �"
�"
a
a & a
10. Podać i uzasadnić wzór na iloczyn macierzy.

X,Y,Z - przestrzenie wektorowe, , (
1,...,
n) - baza w X, (
1,...,
m) - baza w Y, (�
,..., �
) - baza w Z
T:XY, S:YZ, (Sć%T):XZ -odwzorowania liniowe, A- repr. odwz. T, B - repr. odwz. S
(Sć%T)( )=S(T( )), Niech C repr. macierz. odwz. (Sć%T)


"j�{1,...,n} T(
j)= a E

"
"i�{1,...,m} S(
i)= b
�




"
(Sć%T)(
j)=S(T(
j))=S( a E )= a S(E )= a b
�
=




( b a )�
= c
�




ckj= b a C=B*A

11. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję iloczynu macierzy.
Niech A  macierz nxm, B- macierz mxk
(A*B)T=BT*AT
Dowód:

C=A*B, cij= a b

CT=(cji)

cij = a b ł'c = a b = b a


12. Podać wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.
Niech A, B  macierze nxn
det(A*B) = detA*detB
13. Podać rozwinięcie Laplace a wyznacznika macierzy
Niech A  macierz nxn

" gdzie i=1,2,& ,n

Aij =(-1) "  dopełnienie algebraiczne elementu aij
Mij- minor macierzy A
14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić, czy macierz jest nieosobliwa?
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera
15. Podać wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnić użyte symbole.
xk= k=1,2,& ,n

n  liczba niewiadomych
xk  k-ta niewiadoma
W- wyznacznik główny macierzy A kwadratowej, nieosobliwej
Wxk  Wyznacznik otrzymany z wyznacznika głównego przez zastąpienie w nim k-tej kolumny kolumną
wyrazów wolnych
16. Podać wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnić użyte symbole.
Macierz A nxn nieosobliwa, B-1=A

= i,j=1,..., n gdzie =element macierzy A
| |
17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?
Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A. Rząd macierzy
Am x n d" min{m, n}
18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?
A  macierz mxn (niezerowa, jeśli zerowa to r(A)=0). Liczymy podwyznaczniki macierzy A stopnia k dla
k=min{m,n},& ,1 do momentu otrzymania wartości niezerowej. Za rząd przyjmujemy stopień tego wyznacznika
19. Podać twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.
r(A*B) d" min{r(A), r(B)}
20. Podać i uzasadnić twierdzenie Kroneckera  Capelliego.
" + �" + " =
�"
=A  =

" + �" + " =
Powyższy układ ma conajmniej jedno rozwiązanie �! r(A) = r(Au)
Dowód:
"
r(A) = r(Au) �! kolumna � jest liniowo zależna od pozostałych �!"ą1 ,& , ąn = j = 1,& , m


= j=1 ,& , m  układ równań


r(A)`"r(Au) �! kolumna � jest liniowo niezależna od pozostałych �!� nie jest kombinacą linową =

�! zadany układ równań nie ma rozwiązania
21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej kolumny
wyrazów wolnych? Odpowiedz
uzasadnić.
" + �" + " =
�"
=A  =

" + �" + " =
Powyższy układ posiada rozwiązania " T ś'r(A)=m

Dowód:
r(A)=mł'r(Au)=m
r(A) dla którego r(Au)>r(A)ł' nie ma rozwiązania
22. Podać i uzasadnić związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy odwrotnej.
detA*detA-1=1

det A-1= wynika to z definicja macierzy odwrotnej

A*A-1=
23. Podać i uzasadnić wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

(A-1)T=( | |* DT)T = | |* D
24. Jak określamy macierz przejścia z bazy (ej) do bazy (ei )?
X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(
1,& , 
n)   stara baza X
(
1 ,& , 
n )   nowa baza X

Niech 
j= , wtedy macierz A jest macierzą przejścia


�"
�" ń" �"
A=
�"
25. Podać związki miedzy współrzędnymi wektora w  starej i  nowej bazie.
X- przestrzeń wektorowa , dim X=n
(
1,& , 
n)   stara baza X
(
1 ,& , 
n )   nowa baza X
T- odwzorowanie liniowe


T( ) = T( ) =  = ( ) 




xi'=

26. Podać związki miedzy reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w  starej i  nowej bazie.
" "
 = = 2
2

"
= 


�"
�" ń" �"
=
�"
27. Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego?
T, T  macierze nxn
Jeżeli istnieją macierze nieosobliwe A i B takie, że T =BTA-1, to macierze Ti T
nazywamy równoważnymi
Ich rzędzy są sobie równe r(T) = r(T )
28. Kiedy macierz nazywamy ortogonalną?
Macierz A kwadratową nieosobliwą nazywamy ortogonalną jeśli A-1 = AT
29. Podać i uzasadnić własności macierzy ortogonalnej.
a) AT=A-1 (wynika z definicji)
b) det AT{-1, 1}
det(AAT) =detA*det(AT)
detA*det(AT)=det =1
det(AT)=detAł'(detA)2=1
c) Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną
(AB)*(AB)T=A*B*BT*AT=A*AT=
30. Napisać równanie charakterystyczne dla macierzy 3x3. Dlaczego jego współczynniki nazywamy
niezmiennikami?

-

- = - + " - " +
-
Współczynniki , , nazywamy Niezmiennikami ponieważ są one stałe w trakcie przekształceń
31. Co to są wartości i wektory własne macierzy?
Niech A  macierz nxn, wektor w`"0 i liczbę  takie, że A* w = * w nazywamy odpowiednio wektorem

własnym i wartością własną
32. Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej.
a) Macierz nxn ma n wartości własnych rzeczywistych
b)Niech i, j  wartości własne A, wi, wj  odpowiadające im wektory własne A. Wtedy:

- jeżeli i`" j to wi �'wj

- jeżeli i= j to "ą,� w=ąwi + �wj, jeżeli w`"0 to w jest wektorem własnym

c)W układzie własnym ortonormalnym macierz A ma postać diagonalną a na przekątnej głownej są wartości
własne
d) Jeżeli 1 d" 2 d" & d" n - wartości własne A to w dowolnym układzi ortonormalnym "i 1 d" aii d" n
33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?
X- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
Odwzorowanie liniowe f:XK nazywamy formą liniową �! odwzorowanie a:XxXK nazywamy formą
dwuliniową jeśli:
a) "x , �)):XK jest formą liniową
�X a(x
b) "x ):XK jest formą liniową
�X a (�),x
Reprezentacja macierzowa formy dwuliniowej:
Niech (
1,& , 
n)- baza przestrzeni X; a: XxX R  forma dwulionowa

a(x ) = (aij) i,j = 1,..,n
, y
,
34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną a kiedy antysymetryczną?
Formę dwuliniową a:XxXK nazywamy formą symetryczną jeśli " x , y)=a(y, x
, y�X a(x )
antysymetryczną jeśli " x , y)= - a(y, x
, y�X a(x )
35. Podać i uzasadnić twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną.
A= As + Aa gdzie As  macierz symetryczna, Aa - macierz antysymetryczna
Dowód:
As = (A+AT), Aa = (A-AT)ł'A= A+ AT+ A- AT=A

36. Co to jest forma kwadratowa?
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Formą kwadratową nazywamy odwzorowanie
�:X"�K dane wzorem q(x , x
)=a(x )
37. Podać definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej.
W układzie własnym reprezentacja macierzowa ma postać ortogonalną czyli forma kwadratowa przyjmuje
"
postac: g( )= . Każda forma kwadratowa ma symetryczna reprezentację macierzową

38. Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, nieokreślona?

Formę kwadratową �:X"�R nazywamy określoną dodatnio, jeśli"x `"0 q(x
TX x )>0

Formę kwadratową �:X"�R nazywamy określoną ujemnie, jeśli "x `"0 q(x
TX x )<0
Formę kwadratową �:X"�R nazywamy nieokreśloną, jeśli "x )<0 , yTX q(x
39. Jak można zbadać określoność formy kwadratowej?
Poprzez sprawdzenie znaków wartości własnych reprezentacji macierzowej formy kwadratowej
40. Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki w tej postaci?


W układzie własnym macierzy ( ) forma kwadratowa ma postać kanoniczną g(x)=

gdzie ąi  wartość własna macierzy ( )
41. Podać twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy.
Wszystkie wartości własne macierzy A nxn są dodatnie ś' "kT{1,..., n} |Ak|>0
Wszystkie wartości własne macierzy A nxn są ujemne ś' "kT{1,..., n} (-1)n|Ak|>0
42. Podać definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

a b =| a , b) dla a
�% ||b| cos ź) (a , b `" 0

a
�%b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Własności iloczynu skalarnego:

1) " a (a = a +b�%c
, b, c +b)�%c �%c

2) " a )�% b = ą(a �% b) = a
, b " ąTR (ąa �%(ąb)

3) " a = a
, b b�%a �%b
4) " a �%a | e" 0
a = |a

5) " a �%a
a = 0 ś' a = 0

6) " a �%b = 0 ś' a
, b a = 0 v b = 0 v a�'b
43. Podać definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów a
i b `"0

a
x b = c

1) c Ś c
�'a �'b

2) |c ||b| sin ź) (a
| = |a , b)

3) a jest zorientowana dodatnio
, b, c

4) axb = a2b3  a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2  a2b1


Jeżeli a x b = 0
=0 v b = 0 ł'a
Własności:

1) " a (a c c c
, b, c +b)x = ax + bx

2) " a ) x b = ą(a
, b " ąTR (ąa x b) = ax (ąb)

3) " a = -axb
, b bxa

4) " a = 0
axa

5) axb = 0 ś'a
= 0 v b = 0 v b||a
44. Podać definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.
a a a

(axb)�% c
= b b b

c c c
Własności:

1)(axb)�% c c )�% b = (bx )�% a )�% c
= - (ax )�% b = (cxa c = -(bxa = -(cxb)�% a

2)| (axb)�% c
| = V (objętość)
45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?
d=| | odl punktu P(p , p , p ) od płaszczyzny Ą danej równaniem
|
|
n1x1 + n2x2 + n3x3 + n0=0
46. Jak obliczamy kąt miedzy wektorami?

Niech wektor =[ax, ay, az] oraz b=[bx, by, bz]



cos (ź)(a
, b)) =


47. Jak obliczamy kąt miedzy płaszczyznami?
Niech Ą1: A1 x1 + B1 x2 + C1 x3 + D1 = 0, Ą2: A2 x1 + B2 x2 + C2 x3 + D2 = 0

cos � =


48. Podać równanie elipsoidy.

+ + = 1

49. Podać równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

+ - = 1

50. Podać równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

+ - = -1

51. Podać równanie paraboloidy eliptycznej.

+ = z

52. Podać równanie paraboloidy hiperbolicznej.

- = z

53. Podać równanie walca eliptycznego.

+ = 1

54. Podać równanie walca hiperbolicznego.

- = 1

55. Podać równanie walca parabolicznego.
x2 = 2py
56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę n nazywamy liczbą pierwszą?

" n�N "!(p1,...,pr), pi pierwsze "!(ą1,...,ąr) takie, że p1
Liczbę n nazywamy pierwszą jeżeli ma tylko dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie
57. Jakie są własności relacji podzielności?
1) a|b ł' " c�N a|bc
2) a|b Ś b|c ł' a|c

3) a|b Ś a|c ł' a|( c)
4) a|b Ś b|a ł' a=b
58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?
Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku NWD (a, b)
59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu NWD(a,b) za pomocą kombinacji a i b .
Niech a, b�N " u,v�Z
NWD (a, b) = au + bv
60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej p ?
Funkcja Eulera �:N"�N dla dowolnej liczby nTN jest określona wzorem:
�(n)={bT{0,..., n-1}:NWD(b, n)=1}

Dla liczby pierwszej p: �(p)=p-1, �(pą)=pą(1- )
61. Podaj własności relacji kongruencji.
a) "a, m aa" a(mod m)
b) "a, b, m aa" b(mod m)ś'ba" a(mod m)
c) "a, b, c, m aa" b(mod m), ba" c(mod m)ł' aa"c(mod m)

d) Jeżeli aa" b(mod m) i ca" d(mod m) ł' c a" d(mod m)
e) Jeżeli aa" b(mod m) i d|m ł' aa" b(mod d)
62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdz
pełny zbiór reszt modulo 4.
Zbiór zawierający m klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m i oznaczamy jako
[a]={bTZ:aa"b(mod m)}
Z/m = {[a], aTZ}
Pełny zbiór reszt modulo 4:
[a]={bTZ:aa"b(mod 4)}
Z/4 = {[a], aTZ}
63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?
Liczbę b nazywamy odwrotną do a modulo m i piszemy b=a-1 jeżeli a*b=1
Liczba a posiada odwrotną modulo m ś'NWD (a, m)=1
64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?
Niech p  liczba pierwsza:
a) "aTZ ap a" a(mod p)
b) "aTZ: pła ap-1a"1(mod p)
65. Podaj twierdzenie o równości potęg an �� am (mod p) .
66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?
a) Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to �(p)=p-1

b) dla ą>1 �(pą)=pą(1- )
c) Jeżeli NWD(m, n)=1 to �(mn)=�(m)*�(n)
67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.
Dany jest układ kongruencji:
a" ( )
�"

a" ( )
Jeżeli liczby całkowite dodatnie m1,..., mp są parami względnie pierwsze, a liczby a1,..., ap są dowolnymi
liczbami całkowitymi to istnieją rozwiązania x0, x1, x-1, x2, x-2... tego układu kongruencji przy czym
xi=x0 +i*M, gdzie M=m1*...*mp
68. Czemu jest równe aj� (n) (modn) ?
Jeżeli NWD (a, n)=1 to aj� (n) (modn)