WYT
ŻENIE
Podstawowe pojęcia
Podstawowym warunkiem jaki musi spełnić każda konstrukcja jest warunek wytrzymałości.
Najpewniejszym sprawdzeniem jest doświadczenie:
naprężenie niebezpieczne/współczynnik bezpieczeństwa = naprężenie dopuszczalne.
Jest to możliwe w przypadku prostych przypadków wytrzymałości. Dla złożonych stanów
naprężenia jest to niemożliwe.
W przypadku gdy element (konstrukcja) obciążony jest złożonym stanem naprężenia
istotnym jest określenie dla jakich ich wartości wejdzie on w stan niebezpieczny czyli
należy ustalić jakie wielkości są miarą wytężenia materiału.
Wytężenie  miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego.
Stan niebezpieczny - takie odkształcenie trwałe które uniemożliwia prawidłową pracę elementu,
- lub zniszczenie (złom) elementu.
Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem sa
składowe stanu naprężenia i parametry materiału:
W=W(s�1, s�2, s�3, C, .......) - nie można jej określić doświadczalnie
Postępuje się następująco: w prostym rozciąganiu określa się wytężenie (Rm, Re) i próbuje się
wytężenie złożonego stanu (s�1, s�2, s�3,) wyrazić przez zastępcze
naprężenie rozciągające, twierdząc, że w obu przypadkach
wytężenie jest jednakowe.
s�red = W (s�1, s�2, s�3,)
gdzie funkcja W jest pewną hipotezą wytrzymałościową (wytężeniową).
Warunek wytrzymałościowy dla złożonego stanu naprężenia:
s�red d" kr
HIPOTEZY WYTRZYMAA
OŚCIOWE
Hipoteza największego naprężenia normalnego.
s�zc d" s�1 d" s�zr Powierzchnia graniczna wg tej hipotezy w płaskim
s�zc d" s�2 d" s�zr stanie naprężenia (s�3=0) jest kwadratem.
s�2
s�zc d" s�3 d" s�zr
s�zc s�zr
Żadne z naprężeń głównych
nie może być większe od granicy
s�zr s�1
wytrzymałości przy jednoosiowym
rozciąganiu s�zr i mniejsze od s�zc.
s�zc
Dopuszcza się stosowanie tej hipotezy
w zakresie złomu rozdzielczego
Hipoteza największego wydłużenia (de Saint-Venanta) - miarą wytężenia jest największe
wydłużenia właściwe.
Warunek zachowania wytrzymałości
wyraża się w postaci:
e�1 Ł� e�zr e�zr  wydłużenie przy Rm dla
e�2 Ł� e�zr jednoosiowego rozciągania
e�3 Ł� e�zr e�1 = 1/E [s�1-(s�2+s�3)] itp.
Ponieważ określenie s�red wymaga uwzględnienia prawa Hooke a, ogranicza to stosowanie tej
hipotezy do materiałów sprężysto-kruchych.
Hipoteza największych naprężeń stycznych (Culomb, Tresca, Guest)  zakłada, że miarą
wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.
W dowolnym stanie: w prostym rozciąganiu:
s� -�s� s�
max min 0
t� =� t� =�
max max
2 2
przyrównując s� =� s� -�s�
0 max min
Naprężenie zredukowane:
s� =� s� -�s� Ł� kr
red max min
równanie to rozpiszemy na -s�zr d" s�1-s�2 d" s�zr
6 równań, niezbędnych do -s�zr d" s�2-s�3 d" s�zr
wyznaczenia powierzchni -s�zr d" s�3-s�1 d" s�zr
granicznych.
s�2 Rm
Dla płaskiego stanu s�3=0
i kontur graniczny wygląda: Rm
s�1
Wyrażając naprężenia główne przez składowe dowolne s�x, s�y, t�xy:
1 1
2
2
s�1,2 =� (�s� +� s� )�ą� (�s� -�s� )� +� 4t�
to
x y x y xy
2 2
2 2 2
2
s� =� s� +� 4t�
i s� =� (�s� -�s� )� +� 4t� a gdy s�y=0
red
red x y xy
dla prostego ścinania: s�x=0, s�y=0, t�xy=t�
s�red= 2t�
Hipoteza opiera się na założeniu, że s�zr =-s�zc, można stosować ją tylko dla materiałów
spełniających ten warunek(czyli dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym).
Hipoteza Mohra
s�2
s�
zc
Wprowadzając współczynnik k� =�
s�
zr
s�1
1
s� =� s� -� s�
red max min
k�
s�zc
Mohr umożliwił zastosowanie hipotezy t�max
do materiałów o różnej wytrzymałości
na rozciąganie i ściskanie.
s�zr
Kontur graniczny w tej hipotezie:
Hipoteza energii właściwej odkształcenia czysto postaciowego (Hipoteza H-M-H)
Energia odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia:
1+�
2 2 2
2 2 2
F� =� [�(�s� -�s� )� +�(�s� -�s� )� +� (�s� -�s� )� +� 6(�t� +�t� +�t� )�]�
x y y z z x xy yz zx
6E
i w stanie jednoosiowym  (s�x = s�0, pozostałe składowe są równe zeru):
1+�
2
F� =� 2s�
0
6E
porównując otrzymamy:
1
2 2 2
2 2 2
s� =� (�s� -�s� )� +�(�s� -�s� )� +� (�s� -�s� )� +� 6(�t� +�t� +�t� )�
red x y y z z x xy yz zx
2
2 2 2 2 2 2
lub s� =� s� +�s� +�s� -�s� s� -�s� s� -�s� s� +� 3(�t� +�t� +�t� )�
red x y z x y y z z x xy yz zx
2
2 2 2
lub s� =� (�s�1 -�s� )� +� (�s� -�s� )� +� (�s� -�s�1)� Ł� kr
red 2 2 3 3
2
dla płaskiego stanu naprężenia:
2 2 2
s�red =� s� +�s� -�s�xs� +� 3t�xy
x y y
lub gdy s� =� s� , s� =� 0, t� =� t�
x y xy
2 2
s� =� s� +� 3t� Ł� kr a dla ścinania s� =� 3t�
red red
wg hipotezy Hubera
Dla płaskiego stanu naprężenia
s�2
konturem granicznym wg tej hipotezy
wg hipotezy t�max
jest elipsa opisana na konturze
ścinanie
granicznym hipotezy t�max.
s�1
s�nr
s�nr (Re lub Rm)
UWAGI O STOSOWANIU HIPOTEZ WYT
ŻENIOWYCH
Głównym kryterium stosowalności hipotez jest stan materiału.
Z hipotez dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym najlepszą zgodność z
doświadczeniem wykazują hipoteza t�max i hipoteza Hubera, natomiast dla materiałów w
stanie sprężysto-kruchym trudniej jest jednoznacznie wskazać hipotezę dającą najlepsze
wyniki, bowiem wytężenie łączy się tu bezpośrednio z mechanizmem dekohezji. Próbuje się
dla tych materiałów wykorzystywać hipotezę największego naprężenia normalnego czy też
hipotezę największego wydłużenia, oraz zastosować elementy mechaniki pękania w której
mechanizm dekohezji oparty jest na modelu Griffitha.
Stany elastoplastyczny i elastokruchy
są funkcję wielu parametrów
fizycznych, w tym również i stanu
naprężenia. Przedstawia ten problem
wykres Friedmana (1940)
Linie:
a  granica plastyczności
war.plast. wg hip. t�max
b  warunek złomu wg
hip. max. wydłużenia
c  warunek złomu w stanie
sprężysto-plastycznym
R  wytrzymałość na 3-osiowe równomierne rozciąganie
dla 1) płaskie rozciąganie
s�1 -�s�
3
2) proste rozciąganie tga�=s�/2s�=1/2 tga� =�
2[�s� -�(�s� +� s� )�]�
1 2 3
3) skręcanie tga�=1/(1+)
Przykłady stosowania hipotez
�� rozciąganie ze skręcaniem
2
2
ć� ��
N M
ć� ��
2 2
�� ��
wg hipotezy Hubera s� =� s� +� 3t� =� +� 3�� s ��
�� ��
red
A W0
Ł� ł�
Ł� ł�
�� zginanie ze skręcaniem
3 3
p�d p�d
dla koła W0 =� , W =� , W0 =� 2W
16 32
2 2
2 2
M +� 0,75M
M
ć� �� ć� �� M
M
g s
g
2 2 red
�� �� �� ��
s� =� s� +� 3t� =� +� 3�� s �� =� =�
red
�� ��
W W0 W W
Ł� ł� Ł� ł�
2 2
gdzie M =� M +� 0,75M
red g s
KRUCHE P
KANIE
Praktyka techniczna wskazuje na niedostatki kryteriów wytrzymałości opartych na hipotezach
wytężenia  spektakularne katastrofy mostów, okrętów, rurociągów.
Wspólne cechy:
1. Pęknięcia powstałe przy naprężeniach < Re występowały nagle i prowadziły do całkowitego
2. Obiekty miały duże rozmiary. zniszczenia
3. Wykorzystywana była w nich technologia spawania.
4. Katastrofy zachodziły w temperaturach obniżonych.
Stwierdzono, że warunkiem powstania złomu jest obecność szczeliny działającej jako
koncentrator stanu naprężenia. W pewnych warunkach stanu materiału (temperatura) i energii
sprężystej całego obiektu, równowaga w sąsiedztwie szczeliny staje się niestateczna, następuje
gwałtowne rozszerzanie się szczeliny, prowadzące do całkowitej utraty spójności i zniszczenia.
A. Griffith jako pierwszy podał w 1921 r. model opisujący mechanizm dekohezji badając
mechanizm pękania szkła. W nieograniczonej tarczy, o grubości jednostkowej, obciążonej
naprężeniem jednoosiowym s� występuje pęknięcie o długości 2l.
Powstanie szczeliny powoduje spadek energii
odkształcenia sprężystego w tarczy:
s�
2 2
p� �� l ��s�
D�VS =�
E
Do powstania szczeliny konieczna jest energia
powierzchniowa:
D�S =� 4�� l ��g�
g� - jednostkowa energia powierzchniowa
l l
Różnica energii:
2
s�
2
D�V =� D�S -� D�VS =� 4 l g� -� p� l
E
długość szczeliny lkr przy której następuje jej
rozprzestrzenianie wyznacza się z warunku:
D�V
gdy wzrostowi
2
ś�(�D�V )� s�
długości szczeliny
=� 4 g� -� 2p� l
ś� l E
odpowiada spadek
2lkrg�
D�V, następuje
2 E g�
s� =� - wzór Griffitha na naprężenie
kr
pęknięcie
l
p� lkr
krytyczne wyprowadzone dla
lkr
ciał o strukturze amorficznej
2
p� ls�
Irwin (1958) wprowadził wielkość G - jednostkową energię propagacji szczeliny G=
E
2
��N ł� K
wprowadzając K =� s� p� l - intensywność naprężeń, wówczas G=
3
ę� ś�
2
E
�� m ��
K  osiąga w chwili nieustalonego, samoistnego wzrostu pęknięcia wartość krytyczną KC
zwaną wytrzymałością na pękanie. KC jest stałą materiałową podobną do Re, Rm.
W zależności od sposobu obciążenia rozróżnia się trzy schematy zniszczenia:
I II III
P
T
T
T
T
KIC
KIIIC
P KIIC
WYTRZYMAA
OŚĆ ZA
OŻONA - PRZYKA
ADY
Skręcanie z rozciąganiem
Przykład Wał śruby okrętowej o długości l=12 [m] i średnicy d=0,1 [m], przenosi moc N=1000
[kM], przy n=1790 [obr.min]. Ciąg śruby okrętowej wynosi P=200 [kN]. Określić s�red
wg hipotez mających zastosowanie do stali jako materiału wału.
Naprężenia wywołane siłą osiową P:
2
d
p�d p� 0,12
F =� =� =� 7,85��10-�3 [m2 ]
4 4
P 200 ��103
s� =� =� =� 25,5 [MPa]
N
F 7,85��10-�3
l
d
Moment skręcający:
N 1000
M =� 716,2 =� 716,2 9,81 =� 3925 [Nm]
s
n 1790
Naprężenie wywołane momentem skręcającym:
3
p�d p� 0,13 M 3925
s
=� 20 [MPa]
W0 =� =� =� 0,196 ��10-�3 [m3] t� =� =�
16 16 W0 0,196 ��10-�3
Naprężenia zredukowane:
2 2
wg Hubera s� =� s� +� 3t� =� 25,22 +� 3�� 202 =� 43[MPa]
red N
2 2
wg t�max s� =� s� +� 4t� =� 25,22 +� 4�� 202 =� 47,4 [MPa]
red N
Przykład Określić maksymalne naprężenia w punktach B i C pręta stalowego ABC o przekroju
kwadratowym, wykorzystując hipotezę t�max.
Dane: P = 1 [kN], R = 20 [cm], a = 3 [cm]
P
W dowolnym przekroju m-n pręta:
Mg = P�HA = PR sinj�
Ms = P�HK = P(R-Rcosj�)=PR(1- cosj�)
w przekroju B j�=90��
Mg = P�R; Ms = P�R
M
6P �� R 6 ��1000 �� 0,2
g
s� =� =� =� =� 44,4 [�MPa]�
g max
W a3 0,033
A
j�
M P �� R 1000 �� 0,2
C R
s
t� =� =� =� =� 35,6 [�MPa]�
max
Wk a� a3 0,208�� 0,033
z tablic znajdujemy a�=0,208
2 2
B
s� =� s� +� 4t� =� 44,42 +� 4 ��35,62 =� 83,9 [�MPa]�
red g
w przekroju C j�=180��
Mg = 0; Ms = 2 P�R
s�g = 0; t�max = 2�35,6=71,2 [MPa]
2
s� =� 4t� =� 2t� =� 2 �� 71,2 =� 142,4 [�MPa]�
red
Skręcanie ze zginaniem
Przykład Wyznaczyć wg hipotezy Hubera średnicę wału, obciążonego jak na rysunku
n=200 obr/min
D2
N=100 kM
D1 45�
z
Q1=0,8 kN
B C A x 30�
Q2=1,2 kN
2t1
D1=80 cm
y 2t2
0,75m 0,75m 0,5m
D2=100 cm
t1
k=80 MPa
y
P2 P1
t2
x-y
N 100
B A
M =� 71620 =� 71620 9,81 =� 358 [kNcm]
s
n 200
D1t1 2M 2 ��358
s
M1 =� t1 =� =� =� 8,95 kN
2 D1 80
259
2M 2 ��358
s
t2 =� =� =� 7,16 kN
D2 100
W miejscach osadzenia kół na wał działają siły:
711
P2 P1
R1=3t1=3�8,95=26,85 kN
x-z
R2=3t2=3�7,16=21,48 kN
A
B 1150
Rozpatrujemy zginanie w płaszczyznach xy i xz:
1163
x-y I P 1=Q1+R1sin30=0,8+26,85 0,5=14,22 kN
II P 2=Q2+R2sin45=1,2+21,48 "2/2=16,39 kN
1363
1178
x-z I P 1=R1cos30=26,85 "3/2=23,25 kN
II P 2= -R2cos45= -21,48 "2/2= -15,19 kN
Mg wyp
znajdujemy reakcje i budujemy wykresy Mg
A =27,16 kN; B =3,45; M A= -711 kNcm; M C=259
A =23,4 kN; B =15,34; M A= -1163 kNcm; M C=1150
358
Moment gnący wypadkowy w punktach A I C:
Ms
M =� M '2 +�M"2 =� 7112 +�11632 =� 1363kNcm
A A A
2 2
MC =� M 'C +�M"C =� 2592 +�11502 =� 1178kNcm
1398
2 2
1218 Mred(max) =� M +� 0,75M =� 13632 +� 0,75��3582
g s
=� 1398kNcm
M 32M
Mred
red red
s� =� =� Ł� k
red
3
W p�d
32 M 32 13980
red
3 3
d =� =� =� 0,12 [�m]�
p� k p� 80 ��106
Zginanie ze ścinaniem
Przykład Belka o przekroju dwuteowym obciążona jest siłą poprzeczną T=30kN i momentem
Mg=15 kNm. Przeanalizować wytężenie w poszczególnych punktach przekroju.
t�(y) s�(y)
8
z
200 176
3
44
94
2
1
y
100
t�max s�max
Moment bezwładności całego przekroju względem osi obojętnej:
1
JZ =� (�10 �� 203 -� 9,2 ��17,63)�=� 2490 [�cm4]�=� 2490 ��10-�8 [�m4]�
12
Naprężenie normalne w punktach przekroju odległych o y1 i y2 od osi obojętnej:
M y1 15��103 �� 0,1
g
s�1 =� s� =� =� =� 60,3[�MPa]�
max
JZ 2490 ��10-�8
M y2 15��103 �� 0,088
g
s� =� =� =� 53,7 [�MPa]�
2
JZ 2490 ��10-�8
s� =� 0
3
Momenty statyczne
S1 =� 0
S2 =� 10��1,2��9,4 =� 113[�cm3]�=� 113��10-�6 [�m3]�
S3 =� S2 +� 0,8��8,8�� 4,4 =� 144[�cm3]�=� 144 ��10-�6 [�m3]�
Naprężenia styczne
t�1 =� 0
T �� SZ 30 ��103113��10-�6
'
t� =� =� =� 1,36 [�MPa]�
2
JZ d 2490 ��10-�80,1
T �� SZ 30 ��103113��10-�6
"
t� =� =� =� 17 [�MPa]�
2
JZ d 2490 ��10-�80,008
T �� SZ 30 ��103144 ��10-�6
t�3 =� =� =� 21,7 [�MPa]�
JZ d 2490 ��10-�80,008
Naprężenie zredukowane  materiał sprężysto-plastyczny  stosujemy hipotezę Hubera
2 2
s� =� s� +� 3t�
red
s� =� s�1 =� 60,3[�MPa]�
red1
2 '2
s� =� s� +� 3t� =� 53,72 +� 3��1,362 =� 53,75 [�MPa]�
red 2' 2 2
2 "2
s� =� s� +� 3t� =� 53,72 +� 3��172 =� 61,2 [�MPa]�
red 2" 2 2
s� =� 3 ��t�3 =� 3 �� 21,7 =� 37,6 [�MPa]�
red3