Zbieżność całek
"
dx ńł zbiezna dla p > 1
jest
�ł
+"x p
rozbiezna dla p d" 1
a ół
b
dx ńł zbiezna dla p < 1
jest
�ł
+"x p
rozbiezna dla p e" 1
0 ół
Kryterium d Alemberta
an+ 1
1. Jeżeli lim an < 1, to jest zbieżny.
n "
Kryterium Cauchy ego
n
lim a < 1
n
1. Jeżeli , to jest zbieżny.
n"
SZEREGI POT
GOWE
1 cn
R = lim
R = lim
n" lub
n
cn n "
cn+ 1
Wykresy ważniejszych funkcji dwóch zmiennych
z = Ax + By + C
- płaszczyzna przechodząca przez
(0,0,C).
2 2
z = a( x + y )
- paraboloida obrotowa powstała
z obrotu paraboli z=ax2 wokół osi Oz.
2 2
z = k x + y - stożek, powstały z obrotu
półprostej z=kx wokół osi Oz.
2 2 2
z = ą R - (x + y ) - górna (+) lub dolna (-)
półsfera o środku w początku układu
współrzędnych.
2 2
z = x - y - siodło.
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu
funkcji w punkcie (x , y , z )
0 0 0
" f " f
z - z0 = (x0 , y0 )(x - x0 ) + (x0 , y0 )( y - y0 )
" x " y
Różniczka funkcji
" f " f
df (x0 , y0 )(" x, " y) = (x0 , y0 )" x + (x0 , y0 )" y
" x " y
Gradient funkcji:
�ł "f "f �ł
gradf (x0 , y0 ) = �ł (x0 , y0 ), ( x0 , y0 )�ł
�ł �ł
"x "y
�ł łł
Wzór do obliczania pochodnej kierunkowej:
" f Śą
(x0 , y0 ) = gradf (x0 , y0 ) � v
Śą , v  wersor
" v
Wartość średnia funkcji na obszarze:
1
f = f ( y)dxdy
śr +"+"x,
D
D
x = � cos� , y = � sin �
Objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z=d(x,y) i z=g(x,y):
V = [ y) - d (x, y)]dxdy
+"+"g(x,
D
Pole płata który jest wykresem funkcji z=f(x,y)
2 2
" f �ł "f �ł
�ł �ł
Ł = + �ł �ł + �ł �ł dxdy
+"+"1 �ł "x łł �ł �ł
"y
D �ł łł
Zastosowania w fizyce:
1. Masa obszaru D o gęstości powierzchniowej
masy �:
M = � ( y)dxdy
+"+"x,
D
2. Momenty statyczne względem osi OX i OY
obszaru D o gęstości masy �:
MSX = (x, y)dxdy, MSY = (x, y)dxdy
+"+"y� +"+"x�
D D
3. Współrzędne środka masy obszaru D o gęstości
pow. masy �:
MSY MS
X
xC = , yC =
M M
4. Momenty bezwładności względem osi OX, OY i
punktu O:
2 2
I = � (x, y)dxdy, IY = � (x, y)dxdy
X
+"+"y +"+"x
D D
2 2
I = (x + y )� (x, y)dxdy
0 +"+"
D
Współrzędne walcowe w całce potrójnej
f f
+"+"+"(x, y, z)dxdydz = +"+"+"(� cos� , � sin� , h)� dhd� d�
D U
Współrzędne sferyczne w całce potrójnej
+"+"f+"(x, y, z)dxdydz =
D
2
= cos� cos� , � sin� cos� , � sin � )� cos� d� d� d�
+"+"f+"(�
U
Moment bezwładności względem początku
układu współrzędnych obszaru V:
2 2 2
I = ( + y + z )ł (x, y, z)dxdydz
0 +"+"x
+"
V
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji
elementarnych
"
1
n 2 3
= x = 1 + x + x + x + ... dla | x |< 1
"
1 - x
n= 0
" n 2 3
x x x x
x
e = = 1+ + + + ... dla x " R
"
n! 1 2! 3!
!
n= 0
"
(- 1)n x3 x5 x7
sin x = x2n+ 1 = x - + - + ... dla x" R
"
(2n + 1)! 3! 5! 7!
n= 0
"
(- 1)n x2 x4 x6
cos x = x2n = 1- + - + ... dla x " R
"
(2n)! 2! 4! 6!
n= 0
"
(- 1)n x3 x5 x7
ar ctg x = x2 n+ 1 = x - + - + ... dla - 1 < x d" 1
"
2n + 1 3 5 7
n = 0
" + 1
x2n x3 x5 x7
shx = = x + + + + ... dla x " R
"
(2n + 1)! 3! 5! 7!
n= 0
" 2n 2 4 6
x x x x
chx = = 1 + + + + ... dla x " R
"
(2n)! 2! 4! 6!
n= 0
Sumy ważniejszych szeregów potęgowych
" " "
1 xn nx n = x
n
x = = - ln(1 - x)
" " "
1
n n = 1 - x)2
n= 0 - x (1
n= 1
"
xn 1- x " "
1 + x x2n- 1 1 1+ x
= 1+ ln(1- x) 2 n- 1
" n x =
" = ln
"
n(n + 1) x
n= 1 (1
n= 1 - x)3
2n
n= 1 - 1 2 1- x
Sumy ważniejszych szeregów
"
"
1 (- 1)n 1
" 2
"
1 = e =
1 Ą
" "
= 1 = n! n! e
" " n=1 n= 1
2
n(n + 1) 6
n
n= 1 n= 1
"
"
(- 1)n+ 1 Ą
(- 1)n+ 1
= ln 2 =
" "
n
n= 1 2n
n= 1 - 1 4