Twierdzenie Plancherela
Helena Gawrońska
Alina MalÄ…g
1 Transformata Fouriera
Postawimy definicjÄ™ transformaty Fouriera dla funkcji o argumentach wektorowych. Dla danej
funkcji f " L1(Rn) )" L2(Rn), jej transformatÄ™ Fouriera definiujemy jako:

Ć
f(¾) := (2Ä„)-n/2 f(x)ei¾xdx.
Rn
Ć
Oznaczmy odwzorowanie f f jako F. Stosuje się również alternatywną definicję transformaty:
Transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej)
"

Ć
É : f(É) = f(t)e-iÉtdt
-"
gdzie
" f(t) - funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu
Ć
" f(É)- transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji
2Ä„
" É = = 2Ä„½ - pulsacjÄ… proporcjonalnÄ… do czÄ™stotliwoÅ›ci oscylacji ½
T
Zdefiniujemy także unitarną transformację z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości
kołowej)
"

1
Ć
"
É : f(É) = f(t)e-iÉtdt
2Ä„
-"
i transformacjÄ™ odwrotnÄ…:
"

1
Ć
"
f(t) = f(É)eiÉtdÉ
2Ä„
-"
"1
Czynnik przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast ta-
2Ä„
1
kiej postaci może występować czynnik przed transformacją prostą, albo (częściej) przed
2Ä„
"1
transformacją odwrotną Jeżeli jednak czynnik wynosi , wtedy transformacja i transfor-
2Ä„
macja odwrotna są izometriami przestrzeni L2(R). Pierwsza z dwu powyższych definicji jest
popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.
1
2 Twierdzenie Plancherela
Ponieważ miara Lebesgue a zbioru R jest nieskończona, zatem L2 nie jest podprzestrzenią
przestrzeni L1, a więc nie można zastosować definicji transformaty Fouriera do każdej funkcji f
Ć
" L2 (definicję tę można stosować, gdy f " L2 )" L1). Okazuje się, że wówczas f " L2. Co więcej
Ć
||f||2 = ||f||2. Transformacja Fouriera jest więc izometrią przestrzeni L1 )"L2 w L2. Izometrię tę
rozszerza się do izometrii przestrzeni L2 na siebie. Rozszerzenie to określa transformatę Fouriera
(zwaną czasem transformatą Plancherela) dowolnej funkcji f " L2. Otrzymana w ten sposób
teoria w przestrzeni L2 ma o wiele wyższy stopień symetrii niż teoria transformacji Fouriera w
Ć
przestrzeni L1. W przestrzeni L2 funkcje f i f odgrywają dokładnie tę samą rolę.
Twierdzenie Plancherela:
Ć
Każdej funkcji f"L2 można przyporządkować funkcję f w taki sposób, że spełnione będą na-
stępujące warunki:
Ć
1. Jeżeli f " L2 )" L1 to f jest transformatą Fouriera w sensie definicji alternatywnej.
Ć
2. Dla każdego f"L2 zachodzi równość ||f||2 = ||f||2.
3. Przekształcenie F jest izomorfizmem przestrzeni Hilberta na siebie.
4. Niech f " L1(Rn) )" L2(Rn) Na podstawie alternatywnej definicji mamy, że:

" "
1 1
" "
f(x) = F (k)eikxdk Ô! F (k) = f(x)e-ikxdx,
2Ä„ -"
2Ä„ -"
gdzie F(k) jest transformatÄ… Fouriera z f(x) i f(x) jest odwrotnÄ… transformatÄ… z F(k).
Udowodnimy równoważność z czwartego punktu twierdzenia.
3 Dowód.
Dowód twierdzenia przeprowadzimy w kilku krokach, sprawdzając po kolei założenia twierdze-
nia.
3.1 Krok 1.
Na początku sprawdzimy, że funkcja f(x) na przedziale [-a, a] może być rozszerzona w szereg
Fouriera
"

nĄx nĄx
f(x) = [ansin( ) + bncos( )] (1)
a a
n=0
oraz, że f(x) może być zapisana równoważnie jako :
"

inĄx
a
f(x) = cne (2)
n=-"
Pokażemy teraz, jak cn zapisać w zależności od an i bn. Dla n=0 (1) przyjmuje postać: f(x) = bn
Stosując wzory Eulera, możemy zapisać (1) jako:
" "

an inĄx -inĄx bn inĄx -inĄx
a a a a
f(x) = b0 + [ (e - e )] + [ (e + e )]
2i 2
n=1 n=1
"

an inĄx -inĄx bn inĄx -inĄx
a a a a
f(x) = b0 + [ (e - e ) + (e + e )]
2i 2
n=1
2
"

an inĄx an -inĄx bn inĄx bn -inĄx
a a a a
f(x) = b0 + [ e - e ) + e + e )]
2i 2i 2 2
n=1
GrupujÄ…c:
" "

an bn inĄx -an bn -inĄx
a a
f(x) = b0 + (( + )e ) + (( + )e ) (3)
2i 2 2i 2
n=1 n=1
Dla n=1 powyższe równanie przyjmuje postać:
1 iĄx 1 -iĄx
a a
f(x) = (-ia1 + b1)e + (ia1 + b1)e (4)
2 2
Sprawdz
my, jak zachowa siÄ™ (2) dla n = -1 i n = 1:
dla n = -1:
iĄx
a
f(x) = c1e
dla n = -1:
-iĄx
a
f(x) = c-1e
1 1
Zauważmy podobieństwo powyższych wyrażeń do (4), gdy : c1 = (-ia1 +b1) i c-1 = (ia1 +b1)
2 2
Zatem, w ogólności:
"

nĄx nĄx
f(x) = [ansin( ) + bncos( )]
a a
n=0
może być zapisana jako:
"

inĄx
a
f(x) = cne ,
n=-"
1 1
gdzie c0 = b0, c1 = (-ia1 + b1) i c-1 = (ia1 + b1).
2 2
3.2 Krok 2.
Wykażemy teraz, że:

+a
1 -inĄx
a
cn = f(x)e dx (5)
2a -a
W tym celu pomnożymy obie strony równania (2) przez Ć" , a następnie scałkujemy, jednocze-
m
nĄix
a
śnie dokonując oznaczenia: Ćn = e . Wówczas:

" "
a a

Ć" (x)f(x)dx = cn Ć" (x)Ćn(x)dx = 2acn´mn = 2acm
m m
-a -a
-" -"
Ortonormalność Ćn i Ć" wybija wszystkie wyrażenia oprócz n = m (odpowiednich dla delty
m
Kroneckera). Zatem mamy:

a
Ć" (x)f(x)dx = 2acm
m
-a
ZamieniajÄ…c indeksy z m na n otrzymujemy:

a
Ć"(x)f(x)dx = 2acn
n
-a
Wyliczając cn i pamiętając, że
inĄx
a
Ćn = e
ostatecznie otrzymujemy, że:

+a
1 -inĄx
a
cn = f(x)e dx
2a -a
3
3.3 Krok 3.

nĄ 2
Teraz eliminując n i cn oraz stosując podstawienia k = oraz F (k) = acn pokażemy, że
a Ä„
(2) można zapisać w postaci:
"

1
"
f(x) = F (k)eikx"k
2Ä„
n=-"
oraz (5) (z kroku 2) można przedstawić jako:

a
1
"
F (k) = f(x)e-ikxdx
2Ä„ -a
WyliczajÄ…c cn z

2
F (k) = acn
Ä„
mamy:

1 Ä„
cn = F (k)
a 2
"nĄ "k 1
Dodatkowo wiemy, że "k = , "n = 1 oraz = .
a Ä„ a
Podstawiając powyższe do (2) otrzymujemy:

"

1 Ä„
f(x) = F (k)eikx
a 2
n=-"
"k 1
Ponieważ = , zatem mamy:
Ä„ a


"

"k 1 Ä„ 1
f(x) = F (k)eikx = F (k)eikx"k
Ä„ a 2 2Ä„
n=-"

1 Ä„
Z drugiej strony podstawiajÄ…c cn = F (k) do (5) otrzymujemy:
a 2


a
1 Ą 1 -inĄx
a
F (k) = f(x)e dx
a 2 2a -a
Po przekształceniu i podstawieniu
nĄ
"k =
a
otrzymujemy:

a
1
F (k) = f(x)e-iksdx
sqrt2Ä„ -a
3.4 Krok 4.
Aby zakończyć dowód należy rozważyć granicę przy a " dla dwóch rezultactów z kroku 3:
1.

"
"

1 1
" "
lim f(x) = lim F (k)eikx"k = F (k)eikxdk
"k0 "k0
2Ä„ 2Ä„ -"
n=-"
2.

a "
1 1
" "
lim F (k) = lim f(x)eikxdx = f(x)e-ikxdx
a" a"
2Ä„ -a
2Ä„ -"
StÄ…d otrzymujemy tezÄ™:

" "
1 1
" "
f(x) = F (k)eikxdk Ô! F (k) = f(x)e-ikxdx
2Ä„ -"
2Ä„ -"
4
4 Przykład
Niech f(x) = e-|x|. Wówczas
2
F (x) =
1 + É2
Zatem:

" " " " "
1 1 2Ä„ Ä„ Ä„
dÉ = |F (É)|2dÉ = |f(x)|2dx = e-2|x|dx = Ä„ e-2xdx =
-" (1 + É2)2 4 -" 4 -" 2 -" 0 2
5