PROBLEM POCZ ˛

ATKOWY

Wzory do wykorzystania na zaj˛eciach laboratoryjnych

Kwiecie ´n 2004

1

Metody jednokrokowe

– klasyczna Eulera:




   






– polepszona Eulera:




   

"!#

  %$

&

'($

&


)

 *
+

,-"!

– Runge-Kutty – II rz˛edu:


+

.  /

/!0

.  '
)

*
+

 

$

&

1
2"!3

– Runge-Kutty typu 1 – III rz˛edu:


+

.  /

/!0

.  

$

&

'4

$

&


)

/50

.  '768
'

&

"!3

*
+

 ,

$

9

1
';: "!-"5<

– Runge-Kutty typu 2 – III rz˛edu:




   

"!#

  

$

=

'

$

=


)

"5#

  

&

=

'

&

=

"!3

 *
+

,%$

:

>
'

=

"53

1

– klasyczna Runge-Kutty – IV rz˛edu:




.   

"!?

.  ,

$

&

' 

$

&


@

"5?

.  ,%$

&

' %$

&

/!A

CB



.  ,-'4-"5<




 ,($

9

1
'

&

"!

&

/5"B

– Runge-Kutty – formuła 3/8:




.    

"!#

.  ,%$

=

' ,%$

=


@

"5#

.  ,

&

=

' D6E$

=


'-"!3

CB?

.  ,-',-
6;/!/5A




 %$

F

1
G

=

"!

=

"5-CB<

– England I:


+

H  /

"!0

H  %$

&

G,($

&


)

"50

H  

$

&

G,

$

:


'

$

:

"!3

CB#

H  -' 76I"!

&

"53

 *
+

($

9

>
G;://5"B3

– Runge-Kutty-Gilla:




J K 

"!#

J L%$

&

' %$

&


@

"5#

J L

$

&

' EM

&

6

$

&


'

$

6

M

&

&

"!3

CB?

J L-' 76NM

&

&

/!

&



M

&

&

"5<


+

($

9

1
'O

&

6

M

&

P/!Q

&



M

&

R"5-CB

– Runge-Kutty-Fehlberga – IV rz˛edu:




   

/!#

  

$

:

',

$

:


)

/5#

  

=

F

',

=

=/&


G

S

="&

"!3

"B?

  

$

&

$

=

' 

$*S

=/&

&

$S/T


6

T

&CU"U

&

$*S/T

"!

T

&

S

9

&

$*S/T

"53

/V#

  G,

:

=

S

&

$

9


6

F

"!

=C9"F"U

W

$

=

"5X6

F

:

W

:

$

U

:

CB<

 *
+

 

$

&CU"W"&CU

&C=

T

W


Y

$"$

&C9

: "5

$

U

S

F"W

CBX6Z:

$

U

://VA

– England II:




H   /

"!#

H  

$

&

' ,

$

&


)

"5#

H  

$

&

' ,

$

:


G

$

:

"!3

CB?

H  -' 76I"!

&

"53

"V#

H  

&

=

' ,

T

&

T


'

$

U

&

T

"!

$

&

T

CB

"[#

H  

$

W

' ,

&CF

9/&"W


6

$

&"W

9/&"W

/!

W

:

9

9/&"W

"5

W

:

9/&CW

CB\6

=

T

F

9/&"W

"V3






$

="="9

$

: 
'

=/W

"B

$

9/&

"V

$

&"W

"[3

– Kutty-Nysrtöma:




.   

"!?

.  

$

=

' 

$

=


)

"5?

.  

&

W

' 

:

&"W


2

9

&"W

"!3

CB



.  '4

$

:


6

$

&

:

"!

$

W

:

"53

"V?

.  

&

=

' 

9

F

$


2

S

U

F

$

"!\6

WCU

F

$

"5

F

F

$

CB

"[?

.  

:

W

' 

9

T

W


2

="9

T

W

"!%$

U

T

W

/5

F

T

W

CB<

*
+

 ,

$

$S

&

&C=


'

$

&"W

/5X6

F

$

/V]

$

&"W

"[3

2

Metody wielokrokowe

2.1

Metody Adamsa

– jednokrokowa Adamsa-Bashfortha jest równowa˙zna klasycznej metodzie Eulera

 



 ^
'-H  ^
_ ^
@

– jednokrokowa Adamsa-Moultona jest równowa˙zna wstecznej metodzie Eulera

 



 ^
'-H  /

– predyktor-korektor dla

.

$

:

– predyktor: metoda jednokrokowa Adamsa-Bashfortha

a`

b1c





 ^
'-H  ^
_ ^
)

– korektor: metoda jednokrokowa Adamsa-Moultona



`

d



c





^
'H  

`

d c





gdzie

e



U



$

fff

– predyktor-korektor dla

.

&

:

– predyktor: metoda dwukrokowa Adamsa-Bashfortha



`

b1c





 ^
G



&



=

  ^
g ^
@]6; ^!< ^!3@

– korektor: metoda jednokrokowa Adamsa-Moultona trapezów

h`

d



c





 ^
G



&

hiP a`

d c



Y- ^
_ ^
@Rj

gdzie

e



U



$

fff

– predyktor-korektor dla

.

=

:

– predyktor: metoda trzykrokowa Adamsa-Bashfortha

h`

b1c





 ^
'



$

&



&C=

 ^
_ ^
)]6

$

9

 ^!3 ^!3Y

W

  ^5 ^5Ak

– korektor: metoda dwukrokowa Adamsa-Moultona

h`

d



c





 ^
G



$

&

hi

W

 h`

dc



Y

F

  ^
g ^
)]6I ^!* ^!3Rj

gdzie

e



U



$

fff

– predyktor-korektor dla

.l:

:

– predyktor: metoda czterokrokowa Adamsa-Bashfortha



`

b1c



l ^
R



&

:

m

W"W

  ^
g ^
@]6

W

S

  ^! ^!3Y

=

T

 ^5 ^5g]6

S

  ^ B* ^ B3k

– korektor: metoda trzykrokowa Adamsa-Moultona



`

d



c



n ^
k



&

:



i

S

 

`

dc



Y

$*S

 ^
g^
k]6

W

 ^! ^!gY- ^5* ^53

j

gdzie

e



U



$

fff

2.2

Metody wstecznego ró˙zniczkowania

– jawna jest równowa˙zna klasycznej metodzie Eulera

– niejawna jest równowa˙zna wstecznej metodzie Eulera

– predyktor-korektor dla

H

$

jest równowa˙zna metodzie Adamsa typu predyktor-korektor

dla

.

$

– predyktor-korektor dla

.

&

– predyktor: dwukrokowa metoda jawna

a`

b1c





 ^!

&

.   ^
g ^
)

– korektor: dwukrokowa metoda niejawna

a`

d



c





$

=

hio:" ^
]68 ^!

&

H  a`

d c



Rj

gdzie

e



U



$

fff

– predyktor-korektor dla

.

=

– predyktor: trzykrokowa metoda jawna

h`

b1c





$

&

 P6

=

 ^
G

9

 ^!p68 ^5A'

=

HJ ^
A ^
)

– korektor: trzykrokowa metoda niejawna



`

d



c





$

$"$



i

$

F

^
6

S

^!

&

 ^5

9

H  

`

d c





j

gdzie

e



U



$

fff

– predyktor-korektor dla

.l:

– predyktor: czterokrokowa metoda jawna



`

b1c





$

=

 P6

$

U

^
'

$

F

 ^!p6

9

 ^5]; ^ B<Y

=

H  ^
g^
@

– korektor: czterokrokowa metoda niejawna



`

d



c





$

&"W



i

:

F

^
]6

=C9

 ^!]

$

9

 ^5p6

=

 ^ B

$

&

HJ 

`

dc





j

gdzie

e



U



$

fff

(Oprac. A.Wosatko)