Uwaga. Odpowiedzi pozytywnych nie trzeba uzasadniać natomiast do każdej odpowiedzi
negatywnej należy podać odpowiedni przykład.

1. W zbiorze liczb rzeczywistych R definiujemy następujące relacje

(a) xRy ⇔ xy ­ 0, (b) xSy ⇔ x = 0 ∨ x = y, (c) xT y ⇔ (|x| − |y|)

2

= 0, (d) xP y ⇔

x

2

+ y

2

­ 0.

(i) Które z nich są relacjami przechodnimi a które nie są ? Odp...............................................................

...................................................................

(ii) Które z nich są relacjami porządku? Odp.................

(iii) Które z nich są relacjami równoważności? Odp.....................

(iv) Dla tych , które są relacjami równoważności wyznaczyć klasę abstrakcji

elementu 1.Odp.......................

2. W zbiorze liczb naturalnych 1,2,3,...,99,100 definiujemy relację wzorem xRy ⇔ 3x|y∨x =
y .

(a) Wyznaczyć elementy : najmniejszy, największy, minimalne , maksymalne

(b) Wyznaczyć kresy zbioru {2, 3, 5}.

3. W zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych R

+

rozpatrujemy relację xSy ⇔ x − y ¬

−2 ∨ x = y.

(a) Czy ta relacja jest liniowym porządkiem?

(b) Czy ta relacja jest gęstym porządkiem?

Uwaga. Relacja R jest liniowym porządkiem jeśli: dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi xRy
lub yRx lub x = y.

Relacja R jest gęstym porządkiem jeśli dla dowolnych x, y ∈ X takich, że x 6= y istnieje
z ∈ X , z 6= x i z 6= y taki, że xRz i zRy.

(c) Wyznaczyć elementy minimalne i maksymalne.

(d) Wyznaczyć zbiór ograniczeń dolnych przedziału (5, 10)

4. Dany jest graf relacji porządku w zbiorze {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K}

(a) Wyznaczyć elementy : najmniejszy ,największy ’ minimalne, maksymalne.

(b) Wyznaczyć kresy zbioru {B, D}.

5. .Funkcja f : R → R jest zdefiniowana następująco:

f (x) =

(

x

2

− x dla x ∈ (−∞, 3]

2

dla

x ∈ (3, ∞)

1

(a) f

−1

([−4, 3)) = .........................................................

(b) f ([−1, 6)) = ...............................................................
(c) Zbiór wartości=............................................

6. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. W iloczynie kartezjańskim X × X określamy dwie relacje R
oraz S

• (a, b)R(c, d) ⇔ ab = cd

• (a.b)S(c.d) ⇔ ac = bd

(a) Która z nich jest relacją równoważności (może obie?)

(b) Dla tej, która jest relacją równoważności wyznaczyć klasę elementu (1,6).

(c) Wyznaczyć klasę abstrakcji, która ma najmniej elementów. Jeśli jest kilka takich to
podać jedną.

(d) Ile elementów ma zbiór ilorazowy?

7. Wyznaczyć wszystkie liczby a ∈ R, dla których następujące zdania są prawdziwe

(a) ∀

x∈R

a + 1 ¬ |x + 2| ∧ ∃

y∈R

a = cos y

(b) |a| ­ 2 ∧ ∀

x∈R

ax

2

­ 0

8. Rozpatrzmy zdanie: Polska reprezentacja w piłce nożnej jest najlepsza w świecie.

Które z następujących zdań są warunkami koniecznymi a które są warunkami dostatecz-
nymi dla tego zdania?

(1) 2=3, (2) 2

2

= 4, (3) 3|7, (4) we wtorek wygramy z Rosją, (5) ∃

x∈R

x

2

+ x + 1 = 0, (6)

zajęcia z PM są bardzo interesujące.

2