Kolokwium będzie się składało z zadań podobnych do poniższych. Więcej podobnych

zadań można znaleźć w materiałach Prof. Szurka.

1. Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Rozpatrzmy zdanie

Równanie x

2

+ ax + b = 0 ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste.

Które z poniższych warunków są konieczne a które są wystarczające dla tego zdania

(1) a = 0 i b < 0,

(2) b < 0 ,

(3) a

2

− 4b = 0,

(4) a

2

­ 4b, (5) b = 0.

Konieczne ..............................

Dostateczne .............................

2. (a) Ciąg (a

n

) spełnia warunki: a

1

= 3 i a

n+1

= a

n

+ +2

n

+ 1. Udowodnić, że a

n

= 2

n

+ n

2

.

(b) Dla jakich n ∈ N zachodzi nierowność 2

n

> n

2

+ 3n. Sformułować hipoteę i udowodnić

ją.

3. Przy pomocy funkcji charakterystycznych wykazać, że (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ B = A ∪ B
dla dowolnych zbiorów A, B.

4. Czy zdanie : (a) (∀

n∈N

a

n

< a

n+1

∧ ∃

A∈R

∀

n∈N

a

n

¬ A) ⇒ ∃

g∈R

g = lim a

n

.

oznacza, że

(a) ciąg rosnący ma granicę. (b) ciąg malejący ma granicę, (c) ciąg rosnący i ograniczony

ma granicę, (d) ciąg malejący i ograniczony ma granicę, (e) każdy ciąg ma granicę.

5. Dla jakich x ∈ R są prawdziwe zdania?

(a) ∀

y∈R

x − 1 + y = xy

(b) ∃

y∈R

4(x + y)

2

− (x − y)

2

= 0.

Napisać zaprzeczenia tych zdań nie używając znaku negacji.

(a)

1

(b)

6. Czy zdanie ((2 + 3 = 4 ∨ 2 · 3 = 6) ∧ (2 + 3 = 4 ⇒ 3 · 4 = 11)) ⇒ (∃

x∈R

x

2

+ x + 1 = 0)

jest (a) prawdziwe, (b) fałszywe.

7. X = {1, 2, . . . , 8}, A = {2, 3, 5}. Ile jest zbiorów Y takich, że

(a) #Y = 3 i Y ∩ A = ∅.

(b) #Y ¬ 4 i Y ∩ A 6= ∅.

(c) Y ∩ A ma nie więcej niż 2 elementy.

2