Kolokwium będzie się składało z zadań podobnych do poniższych. Więcej podobnych
zadań można znaleźć w materiałach Prof. Szurka.
1. Niech a, b będą liczbami rzeczywistymi. Rozpatrzmy zdanie
Równanie x
2
+ ax + b = 0 ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste.
Które z poniższych warunków są konieczne a które są wystarczające dla tego zdania
(1) a = 0 i b < 0,
(2) b < 0 ,
(3) a
2
− 4b = 0,
(4) a
2
4b, (5) b = 0.
Konieczne ..............................
Dostateczne .............................
2. (a) Ciąg (a
n
) spełnia warunki: a
1
= 3 i a
n+1
= a
n
+ +2
n
+ 1. Udowodnić, że a
n
= 2
n
+ n
2
.
(b) Dla jakich n ∈ N zachodzi nierowność 2
n
> n
2
+ 3n. Sformułować hipoteę i udowodnić
ją.
3. Przy pomocy funkcji charakterystycznych wykazać, że (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ B = A ∪ B
dla dowolnych zbiorów A, B.
4. Czy zdanie : (a) (∀
n∈N
a
n
< a
n+1
∧ ∃
A∈R
∀
n∈N
a
n
¬ A) ⇒ ∃
g∈R
g = lim a
n
.
oznacza, że
(a) ciąg rosnący ma granicę. (b) ciąg malejący ma granicę, (c) ciąg rosnący i ograniczony
ma granicę, (d) ciąg malejący i ograniczony ma granicę, (e) każdy ciąg ma granicę.
5. Dla jakich x ∈ R są prawdziwe zdania?
(a) ∀
y∈R
x − 1 + y = xy
(b) ∃
y∈R
4(x + y)
2
− (x − y)
2
= 0.
Napisać zaprzeczenia tych zdań nie używając znaku negacji.
(a)
1
(b)
6. Czy zdanie ((2 + 3 = 4 ∨ 2 · 3 = 6) ∧ (2 + 3 = 4 ⇒ 3 · 4 = 11)) ⇒ (∃
x∈R
x
2
+ x + 1 = 0)
jest (a) prawdziwe, (b) fałszywe.
7. X = {1, 2, . . . , 8}, A = {2, 3, 5}. Ile jest zbiorów Y takich, że
(a) #Y = 3 i Y ∩ A = ∅.
(b) #Y ¬ 4 i Y ∩ A 6= ∅.
(c) Y ∩ A ma nie więcej niż 2 elementy.
2