Plik pobrany ze strony
www.zadania.pl
Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy
Miejsce na nalepkÄ™
z kodem szkoły
PESEL ZDAJ
CEGO
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
Arkusz II
Czas pracy 150 minut
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron. Ewentualny brak należy zgłosić
przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym
zadaniu.
3. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem.
4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
5. Nie wolno używać korektora.
6. Błędne zapisy trzeba wyraz
nie przekreślić.
7. Brudnopis nie będzie oceniany.
8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego
poprawne rozwiÄ…zanie.`
9. Podczas egzaminu można korzystać z udostępnionego zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego.
Życzymy powodzenia!
Wpisuje egzaminator / nauczyciel sprawdzajÄ…cy pracÄ™
Nr. zadania 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
SUMA
Maksymalna
4 6 3 4 5 5 6 5 7 5 50
liczba punktów
Uzyskana
liczba punktów
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl
Zadanie 12. (4 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja:
f (x) = (x - a)(x - b)+ (x - b)(x - c)+ (x - c)(x - a)
ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
Zadanie 13. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których każda liczba spełniająca równanie:
log2 (x -1) + logm (x -1) - 2 = 0
m
jest mniejsza od 3.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 2 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 3 z 16
Zadanie 14. (3 pkt)
a Å" b
Wykaż, że jeśli a `" b , to równanie: x2 + y2 + ax + by + = 0 jest równaniem okręgu.
2
Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.
Strona 4 z 16
Zadanie 15. (4 pkt)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem:
f(x)=sin 2x + cos( - 2x) .
6
Odpowiedz
uzasadnij.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 5 z 16
Zadanie 16. (5 pkt)
W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie:
F = {(x; y): x " R '" y " R '" 3 x + y d" 2}.
Oblicz pole figury F.
Strona 6 z 16
Zadanie 17. (5 pkt)
Odcinki o długościach: 2 3 , 3 - 3 , 3 2 są bokami trójkąta.
a) Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 7 z 16
Zadanie 18. (6 pkt)
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm2 . Dwie ściany boczne ostrosłupa są
prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do
płaszczyzny podstawy pod kątami i .
3 6
a) SporzÄ…dz
rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.
b) Oblicz objętość ostrosłupa.
Zadanie 19. (5 pkt)
W pierwszej loterii jest n (n > 2) losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii 2n
losów, w tym dwa wygrywające. W której z loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą
szansÄ™ wygranej ? Odpowiedz
uzasadnij.
Strona 8 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 9 z 16
Zadanie 20. (7 pkt)
Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość
a1 Å" a49
wyrażenia wiedząc, że a51 = 1.
a50
Strona 10 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 11 z 16
Zadanie 21. (5 pkt)
x3 -4 x2 +x+6
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie: (5 - x) = 1.
Strona 12 z 16
 Brudnopis
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 13 z 16
Strona 14 z 16
Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Strona 15 z 16
Strona 16 z 16
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Liczba
Nr zadania Etapy rozwiÄ…zania zadania: Modelowy wynik etapu
punktów
Przekształcenie wzoru funkcji do
12.1 f (x) =3x2 -2(a+b+c)x+(ab+bc+ac) 1
postaci ogólnej funkcji kwadratowej.
Wyznaczenie wyróżnika funkcji
2 2 2
12.2 kwadratowej ( w tym 1 p. za metodÄ™ " = 2[(a - b) + (b - c) + (c - a) ] 2
12
oraz 1 p. za przekształcenia).
" e" 0 dla dowolnych rzeczywistych a,b,c
Uzasadnienie, że wyróżnik jest nie-
12.3 stÄ…d funkcja f ma co najmniej jedno miejsce 1
ujemny.
zerowe
Zapisanie warunków jakie muszą być
spełnione, aby wyrażenie logm(x -1)
13.1 x " (1;+") i m " (0;1)*"(1;+") 1
miało sens.
Zapisanie alternatywy równań loga-
logm(x -1) = 1lub logm(x - 2) = -2
13.2 rytmicznych równoważnej danemu 1
równaniu.
Rozwiązanie alternatywy równań
1
13.3 logarytmicznych w zależności od x = m +1 lub x = 1 + 1
13
m2
parametru m.
Zapisanie warunków, dla których
1
13.4 każda liczba spełniająca równanie 1)# m +1)#3 i 1)#1+ )# 3 1
m2
jest mniejsza od 3.
Wyznaczenie wszystkich wartości
parametru m spełniających warunki 2
13.5 2
m" ( ;1) *" (1;2)
zadania ( w tym 1 p. za metodÄ™ oraz
2
1 p. za obliczenia).
a b a - b
14.1 Przekształcenie podanego równania. (x + )2 + ( y + )2 = ( )2 1
2 2 2
a - b
Uzasadnienie, że otrzymane równanie Ponieważ a `" b , to ( )2*# 0 .
14 14.2 1
2
jest równaniem okręgu.
Otrzymane równanie przedstawia okrąg.
a - b
Wyznaczenie współrzędnych środka a b
14.3 1
S = (- ;- ) , r =
i długości promienia okręgu.
2 2 2
îÅ‚
f (x) = sin 2x + sin - ( - 2x)Å‚Å‚ lub
ïÅ‚ śł
Przekształcenie wzoru funkcji po 2 6
ðÅ‚ ûÅ‚
15.1 1
zastosowaniu wzorów redukcyjnych.
f (x) = cos( - 2x) + cos( - 2x)
2 6
f (x) = 3 sin( + 2x) lub
Przekształcenie wzoru funkcji po
6
15
15.2 zastosowaniu wzoru na sumę sinusów 1
lub kosinusów.
f (x) = 3 cos( - 2x)
3
Wyznaczenie największej
Najmniejsza wartość: m = - 3
i najmniejszej wartości funkcji
15.3 2
( w tym 1 p. za podanie wartości oraz
Największa wartość: M = 3
1 p. za uzasadnienie).
1
x e" 0 x e" 0
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚y e" 0
ÇôÅ‚y < 0
òÅ‚ òÅ‚
Ułożenie alternatywy układów nie-
ôÅ‚3x + y d" 2 ôÅ‚3x - y d" 2
ół ół
równości opisującej figurę F
16.1 2
( w tym 1 p. za metodÄ™ oraz 1 p. za
x < 0 x < 0
Å„Å‚ Å„Å‚
obliczenia).
ÇôÅ‚y e" 0 ÇôÅ‚y < 0
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚- 3x + y d" 2 ôÅ‚- 3x - y d" 2
ół ół
2 2
Wyznaczenie współrzędnych wierz-
16.2 (- ;0);( ;0);(0;2);(0;-2) 1
chołków figury F.
3 3
16
SporzÄ…dzenie rysunku i zaznaczenie
16.3 1
figury F.
8
16.4 Obliczenie pola figury F. , PF = 1
PF = 2P"ABC = AB Å" OC
3
AB = 3 2
SporzÄ…dzenie rysunku z oznaczenia-
17.1 AC = 3 - 3 1
mi lub opis oznaczeń.
BC = 2 3
2 2 2
AC + BC - AB
1
cos "C = = -
Wyznaczenie miary największego
17.2 2 AC Å" BC 2 1
kÄ…ta.
17
"C = 1200
1 3
17.3 Obliczenie pola trójkÄ…ta. PABC = AC Å" BC sin "C = (3 - 3) 1
2 2
Obliczanie długości wysokości po-
2P"ABC 3 2 - 6
CD = =
17.4 prowadzonej z wierzchołka kąta roz- 1
AB 2
wartego.
AB
Obliczanie długości promienia okrę-
17.5 1
R = = 6
gu opisanego na trójkącie.
2sin "C
SporzÄ…dzenie rysunku wraz
18
18.1 1
z zaznaczeniem danych kątów.
Wyznaczenie długości boków prosto-
18.2 a = hctg ,b = hctg 1
kąta w zależności od h.
3 6
2
Wykazanie, że a Å" b = h2 ( w tym 1 p.
18.3 a Å" b = h2ctg ctg = h2tg ctg = h2 2
za metodÄ™ oraz 1 p. za obliczenia).
3 6 6 6
18.4 Obliczenie wysokości ostrosłupa. h = 3 dm 1
18.5 Obliczenie objętości ostrosłupa. V = 9 dm3 1
Np.: A  zdarzenie polegajÄ…ce na otrzyma-
niu wygranej na pierwszej loterii,
19.1 Opis zdarzeń losowych. 1
B - zdarzenie polegajÄ…ce na otrzymaniu
wygranej na drugiej loterii.
2
Obliczenie prawdopodobieństwa wy-
19.2 P(A) = 1
granej w pierwszej loterii.
n
(2n - 3)(n -1)
Obliczenie prawdopodobieństwa
19
P(B') =
19.3 1
przegranej w drugiej loterii.
(2n -1)n
4n - 3
Obliczenie prawdopodobieństwa wy-
P(B) =
19.4 1
granej w drugiej loterii.
(2n -1)n
Rozwiązanie jednej z nierówności:
Porównanie otrzymanych prawdopo-
P(A)*# P(B) albo P(A))# P(B)
19.5 1
dobieństw.
i wywnioskowanie, że P(A)*# P(B)
Np. x  różnica ciągu arytmetycznego
Analiza zadania i wprowadzenie
20.1 1
oznaczeń. a1 = 1- 50x
Wyznaczenie a49,a50
a49 = 1- 2x,a50 = 1- x
20.2 1
w zależności od x.
a1 Å" a49
Zapisanie wyrażenia
(1- 50x)(1- 2x)
a50
20.3 f(x)= , x"(-";1) 1
1- x
jako funkcji jednej zmiennej
i podanie jej dziedziny.
-100x2 + 200x - 51
'
f (x) = , x " (- ";1)
20.4 Obliczenie pochodnej funkcji f. 1
2
(1- x)
20
3
'
20.5 Rozwiązanie równania f (x) = 0 . x = 1
10
Funkcja f:
ëÅ‚- 3
öÅ‚
Uzasadnienie istnienia najmniejszej
maleje dla x " "; , rośnie dla
ìÅ‚ ÷Å‚
wartości funkcji f (zbadanie monoto- 10
íÅ‚ Å‚Å‚
20.6 1
niczności funkcji f w przedziale
3 3
ëÅ‚
x " ;1öÅ‚ , dla x = przyjmuje najmniej-
ìÅ‚ ÷Å‚
(- ";1)).
10
íÅ‚10 Å‚Å‚
szą wartość
3
ëÅ‚ öÅ‚
Wyznaczenie najmniejszej wartości
f = -8
20.7 ìÅ‚ ÷Å‚ 1
funkcji f.
íÅ‚10 Å‚Å‚
Wykorzystanie definicji potęgi o wy-
21.1 x3 - 4x2 + x + 6 = 0 dla x `" 5 (*) 1
kładniku równym zero.
Rozwiązanie równania (*)
x1 = -1, x2 = 2, x3 = 3
21.2 ( w tym 1 p. za metodÄ™ oraz 1 p. 2
21
za obliczenia).
Liczba spełniająca równanie: x4 = 4
21.3 Analiza równania dla x = 4 . 1
Liczba spełniająca równanie: x5 = 6
21.4 Analiza równania dla x = 6 . 1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznaje-
my maksymalną liczbę punktów.
3