CLF I







4. NIEPEWNOŚCI
PRZYPADKOWE - DUŻE W PORÓWNANIU Z SYSTEMATYCZNYMI.
4.l. Niepewności
przypadkowe pomiarów bezpośrednich. Rozkład Gaussa.

Jak wiemy, przewaga niepewności
przypadkowych nad systematycznymi ujawnia się poprzez otrzymanie
w serii pomiarów pewnej wielkości fizycznej, wyników
różniących się między sobą. Ten rozrzut wyników posiada
pewne określone cechy, których zaobserwowanie będzie
łatwiejsze, gdy wyniki pomiarów przedstawimy na wykresie
noszącym nazwę histogramu. Aby narysować histogram, należy
podzielić cały zakres
mierzonych wartości na równe przedziały i znaleźć liczbę
wyników mieszczących się w danym przedziale. Na osi X
odkładamy więc kolejne przedziały, a na osi Y częstość
występowania p = ni/n, czyli
stosunek liczby pomiarów ni występujących w danym przedziale do
liczby wszystkich pomiarów n. Taki iloraz, dla bardzo dużej
liczby pomiarów (), stanowi statystyczną definicję
prawdopodobieństwa.

Wykonano 40 pomiarów grubości
płytki ołowianej za pomocą śruby mikrometrycznej.
Niepewność systematyczna związana z użytym przyrządem
pomiarowym wynosi zatem Dx = 0,01 mm. Wyniki pomiarów
przedstawiono w postaci histogramu na rys.5, wybierając
szerokość przedziału Dx =
0,05 mm.



Rys.5.
Histogram 40 pomiarów grubości płytki ołowianej.

Gdybyśmy mieli możliwość
wykonania pomiarów grubości płytki ołowianej z jeszcze
większą dokładnością (niepewność systematyczna pomiaru Dx0) i bardzo wiele razy () wówczas wykres przedstawiony na rys.5
dążyłby do funkcji ciągłej



Funkcja ta nosi nazwę
różniczkowego rozkładu prawdopodobieństwa lub gęstości
prawdopodobieństwa. Znajomość gęstości prawdopodobieństwa
pozwala obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia wartości x w
przedziale Dx: p(x) = f (x)Dx.

Na rysunku 6 można łatwo
zaobserwować podstawowe cechy rozkładu pomiarów obarczonych
niepewnościami przypadkowymi: rozkład ma jedno maksimum, jest
symetryczny i szybko maleje w miarę oddalania się od maksimum.



Rys.6.
Przejście od histogramu doświadczalnego do ciągłego rozkładu
gęstości prawdopodobieństwa.

Jeżeli założymy, że
niepewność przypadkowa pojedynczego pomiaru składa się z
szeregu niepewności elementarnych, których nakładanie się na
siebie ze znakiem plus lub minus określone jest z identycznym
prawdopodobieństwem p = 0.5, to możemy oczekiwać, że rozkład
niepewności przypadkowej dużej liczby pomiarów opisany będzie
krzywą Gaussa



(15)

Dowód tego twierdzenia znajduje
się w książce A.Wróblewskiego i J.Zakrzewskiego pt.
"Wstęp do fizyki" na stronie 54 (wyd.I).

Funkcja f(x) opisywana wzorem (15) nosi nazwę
rozkładu Gaussa lub rozkładu normalnego. Zależy ona od dwu
parametrów a i s oraz spełnia warunek normalizacyjny



(16)

Warunek ten wynika z faktu, że
prawdopodobieństwo znalezienia wyniku pomiaru w przedziale od x
do x+dx jest równej (x)dx, a
prawdopodobieństwo znalezienia dowolnej wartości w przedziale
od -Y do +Y musi być równe 1.

Parametry a i s mają łatwą interpretację analityczną.
Dla wartości x = a funkcja j (x) osiąga maksimum. Parametr s ma natomiast
tę cechę, że wartości a+s i a-s określają punkty przegięcia krzywej
Gaussa. A wiec wartość s możemy traktować jako miarę
szerokości rozkładu.

Statystyczna interpretację
parametrów a i s znajdzie czytelnik w Przypisie 1.
Wykazano tam, że wartość a, przy której funkcja Gaussa
przyjmuje maksimum, Jest wartością oczekiwaną E(x) rozkładu,
parametr s natomiast jest pierwiastkiem
kwadratowym z wariancji D2(x),
inaczej - odchyleniem standardowym.



Rys.7.
Wykresy funkcji Gaussa dla różnych wartości parametru s i dla x0= 0.

Z przedstawionych na rys.7 wykresów funkcji Gaussa dla różnych wartości parametru s widać, że
ze wzrostem wartości s rozkłady stają się coraz bardziej
spłaszczone, co można interpretować jako wzrost liczby
pomiarów różniących się od wartości rzeczywistej x0. Wydaje
się oczywiste, że niepewność przypadkowa pojedynczego pomiaru
powinna być określona za pomocy wielkości będącej miarą
rozrzutu wyników wokół wartości rzeczywistej. Taką właśnie
wielkością jest parametr s (rys.8).

Ważne znaczenie mają wartości
następujących całek oznaczonych:



(17)



(18)



(19)

gdzie: j (x) - funkcja Gaussa.

Można z nich wyciągnąć
następujące wnioski: w przedziale x0+/-s powinno
znajdować się 68% pomiarów, w przedziale x0+/-2s -
95,4% pomiarów, a w przedziale x0+/-3s - ponad 99%.



Rys.8. Interpretacja
odchylenia standardowego.

Rozkład Gaussa jest rozkładem
ciągłym, dobrze przybliżającym nam doświadczalny rozkład
pomiarów, w których dominują niepewności (błędy)
przypadkowe. Stoimy teraz przed problemem oszacowania parametrów
tego rozkładu na podstawie skończonej liczby n pomiarów.

Wartość rzeczywistą x0,
którą zinterpretowaliśmy jako wartość oczekiwaną rozkładu,
najlepiej przybliży nam średnia arytmetyczna:



(20)

Parametr s określający rozrzut wyników wokół
wartości rzeczywistej x0
przybliżamy wielkością sx
liczoną na podstawie wzoru



(21)

Ponieważ nie znamy jednak
wartości rzeczywistej x0,
a jedynie jej oszacowanie przez
średnią arytmetyczną , posługujemy się wzorem w
postaci



(22)

Tak zdefiniowana niepewność
pomiarowa nosi nazwę odchylenia standardowego pojedynczego
pomiaru; stosuje się również nazwę średniego błędu
kwadratowego. Różnica między wzorami (21) i (22) polega
nie tylko na zastąpieniu wartości rzeczywistej x0 przez średnią
arytmetyczną , ale również na zamianie mianownika z n
na n-1. Wynika to z faktu, że w liczniku, który jest sumą
kwadratów odchyleń pomiaru xi od średniej arytmetycznej , mamy już tylko n-1 niezależnych
składników; n-ty składnik sumy można zawsze wyliczyć z
definicji średniej arytmetycznej. Dokładne wyprowadzenie tej
zależności można znaleźć w Przypisie 2.

Wielkość sx określa nam niepewność przypadkowa
pojedynczego pomiaru i jej wartość nie zależy od liczby
pomiarów, a tylko od własności obiektu mierzonego i warunków,
w jakich jest wykonywany pomiar, ponieważ tylko te czynniki
decydują o szerokości rozkładu prawdopodobieństwa.

Dla eksperymentatora
wykonującego n pomiarów danej wielkości najistotniejsza jest
ocena, o ile i z jakim prawdopodobieństwem wyznaczona
wartość średnia różni się od wartości rzeczywistej x0.
Wielkością pozwalającą na taką ocenę jest odchylenie
standardowe średniej, noszące również nazwę średniego
błędu kwadratowego średniej, zdefiniowane wzorem



(23)

Wzór ten wyprowadzimy w
następnym rozdziale. Z powyższego wzoru wynika, że odchylenie
standardowe średniej maleje ze wzrostem liczby pomiarów n.

Fakt, że odchylenie standardowe
średniej jest razy mniejsze od odchylenia standardowego
pojedynczego pomiaru, można wytłumaczyć następująco:
wyobraźmy sobie, że wykonujemy kilka serii pomiarowych jakiejś
wielkości x. Z każdej serii otrzymujemy rozkład, który
będzie znacznie węższy od rozkładów pomiarów
bezpośrednich, gdyż w wartościach średnich otrzymujemy
mniejszy rozrzut. Odchylenie standardowe rozkładu średnich
będzie właśnie równe .

Wartość określa nam wielkość
przedziału wokół wartości średniej: +/-, w którym z prawdopodobieństwem 68%
można oczekiwać wartości rzeczywistej. Wzięcie przedziału
równego 2 i 3 powoduje wzrost tego prawdopodobieństwa
do odpowiednio 95,47% i 99,7%. A więc podając przedział
niepewności przypadkowej należy równolegle podać wartość
prawdopodobieństwa.

W praktyce wynik pomiaru podajemy zwykle na poziomie jednego
standardowego odchylenia i tylko w
innych przypadkach musimy obok końcowego wyniku podać wartość
prawdopodobieństwa.

Należy tu zaznaczyć, że innymi
gaussowskimi (tzn. opartymi o założenie, że po miary danej
wielkości posiadają rozkład Gaussa) miarami niepewności
przypadkowej mogą być tzw. błąd przeciętny lub błąd
prawdopodobny, wyznaczające granice znalezienia prawdziwej
wartości z prawdopodobieństwem odpowiednio 57%i i 50%.

Na zakończenie wróćmy do
pomiarów grubości płytki ołowianej, których wyniki zostały
przedstawione w postaci histogramu na rys.5. Średnia
arytmetyczna obliczona dla 40 pomiarów wynosi = S xi/n = 11,017 mm, a odchylenie standardowe
średniej obliczone za pomocą wzoru (23) wynosi = 0,012 mm. Wynik pomiaru grubości tej
płytki powinien być zatem przedstawiony w sposób następujący

+/- = (11,017 +/- 0,012) mm.

4.2. Niepewności
przypadkowe pomiarów pośrednich.

Załóżmy, że wielkość
fizyczna Z jest funkcją dwu innych wielkości fizycznych X i Y,
których pomiar możemy wykonać bezpośrednio: Z = f(X,Y).
Próbki pomiarów wielkości X i Y mają rozkłady normalne o
znanych parametrach , sx i , sy. Warunki pomiarów pozwalają na
zaniedbanie niepewności systematycznych. Jak na podstawie tych
informacji ocenić wartość średnią i odchylenie standardowe
wielkości Z?

Ustalmy, ze wykonaliśmy n
pomiarów wielkości X i m pomiarów wielkości Y. Na podstawie
dowolnego pomiaru xi i dowolnego pomiaru yk możemy otrzymać
jakąś wartość wielkości złożonej Zik=f(xi,yk). Zauważmy, że liczba możliwych do
otrzymania wielkości Zik równa
jest iloczynowi n m.

Można wykazać, że średnią
wartość Z, równą z definicji



(24)

dobrze przybliża zależność

Z = f(,)

(25)

Poniżej wprowadzimy wzór na
odchylenie standardowe wielkości złożonej Z = f(X,Y).

Wprowadźmy oznaczenia

di = xi
- x0 ; i = 1,2,...,n

(26)

gk = yk
- y0 ; j = 1,2,...,m.

(27)

wik = zik
- z0

(28)

gdzie: x0, y0,
z0
- wartości rzeczywiste zmiennych X, Y, Z.

Rozwijając funkcje Z w szereg
Taylora i pomijając wielkości małe drugiego i wyższych
rzędów otrzymamy



(29)

Ponieważ oczywiste jest, że z0 = f(x0,y0), wzór
(28) przyjmuje postać



(30)

A zatem odchylenie standardowe s z wielkości
złoconej Z, które zgodnie ze wzorem (21) jest równe



(31)

po uwzględnieniu zależności
(30) można zapisać w postaci



(32)

Jeżeli wielkości X i Y są
wyznaczone niezależnie, wówczas



(33)

oraz, zgodnie ze wzorem (21),
spełnione są zależności



(34)

Po uwzględnieniu (33) i (34),
wzór (32) upraszcza się do postaci



(35)

Przechodząc od wartości
rzeczywistych do wielkości średnich, tzn. stosując
przybliżenie



(36)

oraz sx = s x, sy = s
y,

ostatecznie otrzymujemy



(37)

Uogólniając to na funkcję
wielu zmiennych mamy



(38)

Powyższy wzór nosi nazwę prawa
przenoszenia odchyleń standardowych.

W tym momencie możemy udowodnić
wzór (23) na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej . Otóż wartość średnią można traktować jako wielkość mierzona
pośrednio obliczoną na podstawie wzoru



Odchylenie standardowe wartości
średniej liczymy w oparciu o wzór (38) przyjmując, że
odchylenia standardowe pomiarów x1,x2,...,xn są sobie równe



(39)

i



(40)



(41)

a więc



Warto zastanowić się nad
statystyczną interpretacją odchylenia standardowego wielkości
średniej. Gdybyśmy zrobili kilka serii pomiarów i w każdej
takiej serii policzyli wartość
średnią, wówczas rozkład średnich byłby również
rozkładem normalnym o odchyleniu standardowym mniejszym niż
odchylenie standardowe dowolnej serii. W przedziale +/- powinno się mieścić 68% wartości
średnich ze wszystkich serii pomiarowych.

Odchylenie standardowe wartości
średniej otrzymujemy
wstawiając do wzoru (38) odchylenia standardowe średnich
zamiast odchyleń standardowych pojedynczego pomiaru



(42)

Odchylenie standardowe wielkości
mierzonej pośrednio ma analogiczną Interpretację statystyczną
jak odchylenie standardowe wielkości mierzonej bezpośrednio.

Przykład.

W poprzednim rozdziale
wyznaczaliśmy grubość płytki ołowianej, która wynosi:

+/- = (11,017 +/-
0,012)mm. Wyznaczmy objętość tej okrągłej płytki, jeśli
pomiary średnicy wykonane za pomocą suwmiarki są
następujące:




Liczba wyników pomiarów ni
1

6

11

6

3

3



Wynik pomiaru li (cm)
4,87

4,88

4,89

4,90

4,91

4,92





Korzystając ze wzorów (20) i
(23) obliczamy średnią wartość średnicy płytki oraz
odchylenie standardowe średniej



Następnie obliczamy objętość
płytki i odchylenie standardowe - wzór (42):





Ostateczny wynik zapisujemy w postaci



4-3.3. Niepewności
przypadkowe małej liczby pomiarów. Przedział ufności.
Rozkład t Studenta.

Niepewność przypadkowa wielkości średniej (wzór 23) oznacza,
że wartość rzeczywista x0 znajduje się z prawdopodobieństwem 68%
w przedziale . Informację tę możemy zapisać w
postaci

,

a ogólnie w postaci



(43)

Przy czym prawdopodobieństwo a nosi nazwę poziomu
ufności, a przedział (-Dx, +Dx)
- przedziału ufności.

Wyrażenie (43) oznacza, że z
prawdopodobieństwem a wartość rzeczywista znajduje się w
granicach podanego przedziału. Im większego prawdopodobieństwa
żądamy, tym dłuższy otrzymujemy przedział ufności, i
odwrotnie. Przypomnijmy raz jeszcze, że dla przedziału ufności
() poziom ufności a wynosi 0,95, a
dla przedziału (), a = 0,997.

Podane po wyżej wartości
przedziałów i poziomów ufności są jednak słuszne tylko w
przypadku dostatecznie dużej liczby pomiarów, gdy wartość
średnią i odchylenie standardowe pojedynczego
pomiaru sx
możemy uznać za bardzo dobre przybliżenie wartości
rzeczywistej x0 i
parametru s . Dzieje się tak dlatego, że wartości
prawdopodobieństwa a wyznaczane są jako wartości całek z
funkcji Gaussa o parametrach s i x0, obliczanych w granicach określonych
przedziałem ufności. Dla małej liczby pomiarów wartości sx i mogą bardzo
odbiegać od wartości s i x0. Gdybyśmy na przykład z 40 pomiarów
grubości płytki ołowianej losowali po 5 pomiarów, to za
każdym razem moglibyśmy otrzymać różne wartości średnie i
różne odchylenia standardowe.

Dlatego chcąc zachować poziomy
ufności takie, jak dla nieskończenie dużej liczby pomiarów,
musimy w przypadku niewielkiej ilości pomiarów n zwiększyć
przedziały ufności, mnożąc wielkość
przez odpowiednie współczynniki ta ,n noszące nazwę
współczynników t - Studenta. A więc



(44)



Współczynniki ta ,n podlegają tzw.
rozkładowi t - Studenta



gdzie Cn-1
jest funkcją zależną tylko od n.

Rozkład ten dla bardzo dużych n
(n 30) przechodzi w rozkład Gaussa. Współczynniki
t - Studenta podane są w tablicy rozkładu t - Studenta (tab.
1).

Przykład.

Wyniki dziesięciu pomiarów
grubości płytki ołowianej wyrażone w milimetrach wynoszą
odpowiednio: 10,95; 10,92; 10,97; 10,94; 10,92; 10,96; 10,97;
10,96; 10,93; 10,98. Znaleźć przedziały ufności przy
poziomach ufności a = 0,683 i a
= 0,997 dla odpowiednio pierwszych 3 i 10 pomiarów.

Dla 3 pierwszych pomiarów
obliczamy wartość średnią i wielkość
odpowiednio ze wzorów (20) i (23). Otrzymujemy =
10,947 mm i = 0,014 mm. Dla poziomu
ufności a = 0,68 znajdujemy w tablicy rozkładu
t - Studenta wartość współczynnika ta ,3=1,321. Odchylenie
standardowe wartości średniej wyniesie mm. Przedział ufności, w którym z
prawdopodobieństwem 68% winna znajdować się wartość
rzeczywista wynosi (10,947+/- 0,019) mm.

Wyniki obliczeń uzyskane w
wyżej podany sposób zamieszczone zostały w tablicach 1 i 2.

Tablica I

Poziom ufności a =
0,683




L. pom.





ta ,n

Przedział ufności



n

(mm)

(mm)

 
(mm)



3

10 947

0,014

1,321

10.,947+/-0,019



10

10,950

0,007

1,059

10,950+/-0,007





Tablica 2

Poziom ufności a =
0.997




L.pom.



3

ta ,n*

Przedział ufności



n

(mm)

(mm)


(mm)



3

10,949

0,042

19,581

10,95+/- 0,27



10

10950

0,021

4,094

10,950+/-0,028





*Współczynnik
t0,997,n otrzymano w wyniku
interpolacji

liniowej
między wartościami t0,995,n i
t0,998,n.

Zamieszczona w powyższej tablicy
wartość 3 podana
została w celu zorientowania się na ile istotne są poprawki
wynikające z rozkładu t - Studenta.

Z powyższego zestawienia
nasuwają się dwa wnioski dotyczące rozkładu t- Studenta:

1. Żądanie wysokich poziomów
ufności przy małej liczbie pomiarów (3 do 6) jest
nieuzasadnione i może prowadzić, ze względu na bardzo duże
współczynniki t - Studenta, do zawyżonego (a niekiedy
niefizycznego) oszacowania niepewności pomiarowych.

2. Dla niewysokich poziomów
ufności (a = 0,7) stosowanie współczynników t -
Studenta dla n l0 staje się już nieistotne (poprawka
jest mniejsza od 6% niepewności pomiarowej).