Przykład 5 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 128
Dla przypadku czystego ścinania określonego jednym naprężeniem t� porównać naprężenia
zastępcze wynikające z hipotez.
t� s� =� 2t�
Według hipotezy :
max 0
Według hipotezy Hubera:s� =� 3t�.
0
W porównaniu z hipotezą Hubera, która  jak wykazuje doświadczenie  najlepiej odpowiada
t�
rzeczywistemu zachowaniu się materiałów elastoplastycznych, hipoteza daje wynik o
max
2 -� 3
=� 15.6 % za wysoki (na korzyść pewności).
3
Przykład 6 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 125
s�1 :s� :s� =� 4 : 2 :1
Dla stanu naprężenia o charakterystycznym stosunku określić dopuszczalne
2 3
wartości naprężeń zastępczych za pomocą TG i HMH przyjmując:
a) stal o naprężeniach dopuszczalnych
kr =� kc =� 120.0MPa, =� 0.3,
b) żeliwo o naprężeniach dopuszczalnych
kc =� 120.0MPa, kr =� 33.3MPa, =� 0.3
1
s�1 -� s� =� kr s� =� s� ,
Według hipotezy TG (Coulomba  Guesta) uwzględniając otrzymujemy
3 3 1
4
s�1 =� s� =� s� =�
2 3
zatem dla stali
s�1 =� 160 MPa, s�2 =� 80 MPa, s�3 =� 40 MPa,
dla żeliwa zaś
s�3 =� 11.1 MPa,
s�1 =� 44.4 MPa, s�2 =� 22.2 MPa,
Według hipotezy HMH
2 2 2
s�1 +� s� +� s� -� s�1s� -�s� s� -� s� s�1 =� kr ,
2 3 2 2 3 3
uwzględniając
1 1
s�2 =� s�1 s�3 =� s�1
, otrzymujemy:
2 4
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
s�1 +� s�1 +� s�1 -� s�1 -� s�1 -� s�1 =� k ,
r
4 16 2 8 4
s�1 =� s� =� s� =�
3
2
czyli
s�1 =� 1.51kr , s� =� 0.76 kr , s� =� 0.38kr ,
2 3
a więc dla stali
s�3 =� 45.3 MPa,
s�1 =� 181.2 MPa s�2 =� 90.6 MPa,
,
dla żeliwa zaś
s�1 =� 50.3MPa s�2 =� 25.15 MPa, s�3 =� 12.6 MPa,
,
Przykład 7. (wg Krzysia i Życzkowskiego [5], s. 130)
Dla belki wspornikowej o schemacie jak na rysunku wyznaczyć odległość x , która rozróżnia
*�
obszary dla których naprężenia zredukowane są maksymalnie na osi belki (y=0) lub we
włóknach skrajnych (y = h/2)
b
g g g
s� s� s�
0 0 0
- y d
y
0 0 0 0
3
s� s� s� s�
0 0 0 0
z
0
y
1
x
P
y
2
y d
d
s�
0
y
x
*
x
* *
l
Rys. 4
L = 1.0 cm E = 210 GPa
H = 20 cm E = 2.10 - 103 MPa
B = 6 cm
- Pole sił wewnętrznych
M(�x)� =� Px, Q(�x)� =� P
- Charakterystyki przekroju
2
ć� ��
bh2 b h
2
A =� bh, Iz =� , Sz (y) =� �� -� y ��
(16)
�� ��
12 2 4
Ł� ł�
- Pola naprężeń
M(x) 12P
s�x �� s� =� y =� xy =� 2Fxy
Iz bh3
(17)
2 2
ć� �� ć� ��
QSz (y) 6P h h
2
t� �� t� =� =� �� -� y2 �� =� F�� -� y ��
xy
3
�� �� �� ��
Iz b bh 4 4
Ł� ł� Ł� ł�
(18)
6P
F =�
gdzie:
bh3
a) Hipoteza HMH
2
2
�� ł�
ć� ��
h
2
s�2 =� s�2 +� 3t� =� F2 ę�4x y2 +� 3�� -� y2 �� ś�
(19)
0
�� ��
4
ę� ś�
Ł� ł�
�� ��
Stąd równania
2
2
s�0 2 ć� ��
h
ć� ��
2 2
�� ��
=� 4x y +� 3�� -� y2 ��
�� ��
(19.1)
F 4
zginanie
Ł� ł�
Ł� ł�
ścinanie
y
g
d
d
y
y = y
1
2
3
h = 2 y
y = y =
x*
Rozumowanie: Szukamy takiego , dla którego naprężenie zredukowane od zginania we włóknach
skrajnych jest równe naprężeniu zredukowanemu od ścinania dla osi obojętnej, a więc:
2
h h4 3
2 2 2
4x =� 3 �� x =� h , (20)
*
4 16 16
stąd
3
x* =� h =� 0.433h (21)
16
Wartość naprężenia maksymalnego naprężenia zredukowanego wynika z (2) lub (1):
2
h h 3 3 P P
��
s�0(�x* ,y =� 0)� =� s�0 ć�x*,y =� =� F 3 =� � 2.6 (22)
�� ��
2 4 2 bh A
Ł� ł�
x**
Obliczanie jest bardziej złożone, gdyż wymaga wyznaczenia położenia ekstremów
y1 =� 0, y2 =� y3 �� 0.
Równania (19.1) rozpisujemy do postaci
3 3
ć�
4
s2 =� 3y4 -� h2 -� 4x2 ��y2 +� h ,
�� �� (23)
2 16
Ł� ł�
s =� s�0 / F.
gdzie: Poszukujemy punktów istnienia ekstremów z równania
ś�(�s2 )� 3 �� 3 ł�
��y ��
2 2
=� 0 �� 12y3 -� 2ć� h2 -� 4x �� yę�12y2 -� 2ć� h2 -� 4x =� 0
�� �� �� ��ś�
ś�y 2 2
Ł� ł� Ł� ł���
��
(24)
i stąd pierwiastki:
3
ć� ��
2
y1 =� 0, 6y2 -� h2 -� 4x =� 0
�� �� (25)
2
Ł� ł�
y1 =� y3 =� 0
Będziemy mieli jeśli wyraz wolny będzie równy zeru, a więc:
3
3
2 2
h -� 4x =� 0 ��
x** =� h =� 0.612h (26)
2
8
h
y =�
Wartość maksymalnego naprężenia zredukowanego jest osiągana dla i zgodnie z (17) wynosi:
2
h 12P 3 h P P
��
s�0 ć�x , y =� =� h =� 3 3 � 3.67 (27)
�� ��
2ł� bh3 8 2 bh A
Ł�
b) hipoteza TG
2
s�0 =� s�2 +� 4t�4
(28)
stąd:
2
2
s�0 2 ć� ��
h
ć� ��
2 2 2
�� ��
=� 4x y +� 4�� -� y (29)
�� ��
��
F 4
Ł� ł�
Ł� ł�
h P
��
x* =� 0.5h, s�0(�x ,0)� =� s�0 ć�x* , =� 3
�� �� (30)
*
2 A
Ł� ł�
Zamiast równania (23) otrzymujemy:
2
h
2
s2 =� 4y4 -� 2(�h2 -� 2x )�y2 +� (31)
4
stąd:
ś�(�s2 )�
2 2
=� 0 �� 12y3 -� 4(�h -� 2x )�y =� 0
(32)
ś�y
1
x =� h � 0.707h,
(33)
2
h P
��
s�0 ć�x** ,y =� =� 4.25
�� �� (34)
2 A
Ł� ł�
Przykład 8 (wg Krzyś i Życzkowski [ 5 ], s.128
Belka stalowa o przekroju kołowym obciążona jest na swobodnym końcu siłą P jak na rys.2.
Wyznaczyć punkty, w których naprężenie zastępcze  według hipotezy energii odkształcenia
postaciowego  osiąga maksymalną wartość. Rozkład naprężeń przyjąć według teorii
elementarnej.
b ( y )
t� x z
I
x
z
a�
t� x y
t� t�
y
P
x
Rys. 5
Rozwiązanie:
Belka narażona jest na równoczesne zginanie i ścinanie. Zgodnie z teorią elementarną,
naprężenia od zginania wynoszą
Mz y
s�x =� s� =�
(35)
Iz
b(y) =� 2r cosa� t�xy =� t� �� cosa�
od ścinania zaś (dla punktów na obwodzie koła) zgodnie z rys , ,
y2 2r3
,
cos2 a� =� 1 -� SI =� cos3 a� (patrz tablice)
3
r2 z
QSI
4 Q
z
t�xy =� =� cos2 a�
Iz �� b(y) 3 A
2
4 Q y
(36)
t� =� t�2 +� t�2 =� 1 -� ,
xy xz
3 A r2
gdzie
p� r4
2
Mz =� Px Q =� P, Iz =� , A =� r p�.
4
Po podstawieniu obliczonych naprężeń do wzoru na naprężenie zredukowane i
s�0 =� s�2 +� 3t�2
podnosząc stronami do kwadratu otrzymujemy:
2 2
ć� ��
16P2x y2 16P y2
s�2 =� +� ��1 -� ��
0
p�2r8 3p�2r4 �� r2 ��
Ł� ł�
zginanie
ścinanie
ć� ��
16P2 x2 1 16P2
s�2 =� �� -� ��y2 +� .
(37)
0
p�2r4 �� r4 3r2 �� 3p�2r4
Ł� ł�
Oznaczając
2 2
��
ć� ��
16P x 1
�� ��
-� =� B��
4
��
p�2r r4 3r2 ��
��
Ł� ł�
(38)
ż�
16P2 ��
=� C
��
3p�2r4
��
możemy napisać
2
s�0 =� By2 +� C.
(39)
2
x 1
B >� 0,
a) Gdy czyli -� >� 0
r4 3r2
r 3
(40)
x >� =� 0.577r,
3
y =� r
naprężenie zastępcze osiąga największą wartość we włóknach skrajnych, tj. dla i po
podstawieniu do wzoru (4) wynosi:
Mz
Px
s�0 (x, r) =� =�
(41)
p� r3 Wz
4
p�r3
gdzie Wz =� jest wskaz
nikiem zginania. A zatem gdy x >� 0.577r , dla wytężenia belki
4
rozstrzygający jest moment zginający.
b) Gdy B = 0, czyli
r 3
(42)
x =� =� 0.577r,
3
wówczas naprężenie zastępcze liczone ze wzoru (4) we wszystkich punktach na obwodzie przekroju
2
s�0 =� C
ma tę samą wartość
4P
s� =�
0 (43)
p� r2 3
lub inaczej
Mz
s�0 =� =� t�max 3,
(44)
Wz
Mz
y =� r,
gdzie określa maksymalne naprężenie od zginania w rozpatrywanym przekroju, tj. dla a
Wz
4 Q
t� =�
(45)
max
3 A
y =� 0.
maksymalne naprężenie od ścinania w linii obojętnej, tj. dla
A <� 0,
c) Gdy wreszcie czyli
r 3
(46)
x <� =� 0.577r,
3
y =� 0.
naprężenie zastępcze przyjmuje największą wartość dla , tj. w linii obojętnej, z uwagi na
s�0(�x,0)�
zginanie i wynosi ze wzoru (4)
4P 4 Q
s�0(�x,0)� =� =� 3 =� t�max 3.
(47)
3 A
p�r2 3
x <� 0.577r,
Zatem jedynie gdy o wytężeniu belki decyduje jej ścinanie.