Ćwiczenie 4: Energia sprężysta i hipotezy wytężeniowe, wersja dla studentów
(opracowali: Z. Waszczyszyn i M. Kłos)
Wzory dla energii sprężystej
Energia sprężysta U, złożona z energii odkształcenia objętościowego U i postaciowego U
V f
U = UV + Uf = fVdV + dV,
f
f
(1)
(V ) (V )
gdzie energia właściwa wynosi:
1- 2 E
2 2
fV = (sx + sy + sz ) = (ex + ey + ez ) ,
(2a)
6E 6(1- 2)
1 +
2
ff = [sx 2 + sy 2 + sz 2 - sxsy - sysz - sz sx + 3(t2 + t2 + t )] =
xy yz zx
3E
E 3
e 2 2 2
2 2 2
= + ey + e - e ey - eyez - e ex + (g + g + g )ł.
(2b)
x z x z xy yz zx
ę ś
3(1 + u) 4
Przykład 1 (Krzyś i Życzkowski) [5], str. 94
Uf / U Uv / U
Jak zmienia się stosunek energii: i dla pręta pryzmatycznego rozciąganego siłą P
w zależności od wartości współczynnika Poissona .
sx = P / A s
Stan naprężenia jednoosiowego generuje:
f =, fv =
,
f
f = f + fv =
.
f
Energia sprężysta pręta ze względu na stan naprężenia jednorodnego:
s2
U = Uf + Uv = dV + dV = ff V + fvV = V
,
f v
f f
2E
( v) (v )
a więc stąd wynika:
U = f V = (ff + fv )V
.
Stosunek energii:
Uf ff fv
1+ 2 1- 2 1
Cf = = = 2E = (1+ ), Cv = = 2E = (1 - 2).
(3)
U f 3E 3 f 6E 3
Cf () Cv()
Na rys.1 podano zależności i
C C
f
1 . 0
2
3
1
3
0 0 . 5
Cv
Cf
Rys.1. Współczynniki i jako funkcje współczynnika Poissona
dla pręta swobodnie rozciąganego.
Cv 0
Widać, że dla 0.5 będzie , gdyż materiał jest nieściśliwy i w pręcie pojawi się tylko
energia odkształcenia postaciowego.
Przykład 2 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 96
Pręt pryzmatyczny ściskany siłą P umieszczony w dopasowanej tuleji, idealnie gładkiej (nie
występują siły tarcia między prętami i tuleją). Zbadać jak się zmieniają współczynniki Cf ()
Cv()
oraz .
W pręcie występuje jednoosiowy stan odkształcenia
ex ą 0, ey = ez = 0, gxy = g = gzx = 0
, (4)
yz
oraz przestrzenny stan naprężeń, rys.2a
s =, s = s
x y z
e =
, (5)
y
a, więc:
s = s =
(6)
y z
Zamiast prowadzić obliczenia w naprężeniach możemy obliczenia wykonać znacznie prościej
korzystając ze wzorów (2) wyrażonych przez odkształcenia:
f = fv =
f
Ee2 ć Ee2
2 1 1 -
x x
f = + = ,
(7)
6 1 + 1 - 2 2 (1 + )(1- 2)
Ł ł
stąd wynikają współczynniki:
2 1 - 2 11 +
Cf = , Cv = .
(8)
3 1 - 3 1-
C
C
f
Cf () Cv()
Na rys. 2b pokazano zależności oraz . W przeciwieństwie do pręta swobodnego, pręt
skrępowany tuleją dla = 0.5 ma C = 1.0 , gdyż nie może się odkształcić czysto postaciowo i
v
zachowuje się jak idealnie sztywny.
s x
s x
x
x
s x
y
y
Rys. 2a
C C
f
1 . 0
0 . 6 6 7
0 . 3 3 3
0 0 . 5
Rys. 2b
Cf () Cv()
Rys.2:a) ściskanie pręta w dopasowanej tuleji, b) współczynniki oraz .
Przykład 3 (Krzyś i Życzkowski [ ], s. 99)
Obliczyć wartość energii odkształcenia postaciowego i objętościowego dla podanej belki,
przyjmując wzory z wytrzymałości materiałów i niżej podane dane.
b = 1 cm, h = 2 cm, l = 20 cm, P = 10KN, E = 210 GPa, = 0.3 .
P
b
x
z
y
y
l
Rys. 3
h
C
C
f
Wzory z wytrzymałości materiałów
s =
, t xy = .
x
Z wzorów (2) na energię właściwą
1- 2 1 +
2 2 2
fv = s = f = (s + 3t ) =
, (9)
x f x xy
6E 3E
Podstawiamy (9) do wzoru (2):
1- 2 P2
2
Uv = x y2dV =
6E I2
( v )
z
2
l h / 2 b / 2
1 - 2 P
= dx dy x2y2dz =
6E I2
0 - h / 2 -b / 2
z
(10)
2
l h / 2 b / 2
1 - 2 P ć
2
= x y2 ć dzdy dx =
6E I2 Ł-
0 h / 2 Ł-b / 2 ł
ł
z
2
l h / 2
1 - 2 P 1 - 2 P2 l3
ć
2
= b x y2dydx =
6E 6E 3
I2 0 Ł -h / 2 ł Iz
z
2 P2l3
Uv = (1- 2) =
3E
bh3
2
2
2 2
ł
ł
ć
1 + P 3 h 4 1 + P2l3 9 h
ć
2 2
Uf = ę x y dV + - y2 dVś = = = 0.833kNm
ę1 + ś
3E I2 ę 4 4 3 E bh3 ę 10 l
( V )
ś Ł ł
z Ł ł ś
(V )
CV
Całkowita energia i współczynniki i Cf
U = 0.960 kNm ,
C = 0.132, C = 0.868 .
V f
Wzory dla hipotez wytężeniowych
1). Hipotezy naprężeniowe:
s1 = kr
G: Galileusza , (11)
s1 - s3 = kr
TG: Tresci - Guesta . (12
2). Hipotezy odkształceniowe:
s1 - (s2 + s3) = kr
SV: Saint Venanta .
(13)
3). Hipotezy energetyczne
HMH: Hubera - Misesa Hencky`ego
2
s2 = s1 + s2 + s2 - s1s2 - s2s3 - s3s1 =
0 2 3
(14)
2
= s2 + s2 + s2 - sx sy - sysz - szsx + 3(t2 + t + t2 )
x y z xy yz zx
B: Burzyńskiego
1
2 2
-
s0 = (c -1)(sx + sy + sz) + (c - 1) (sx + sy + sz) + 4cs2 ł (15)
HMH
ę ś
2c
Przykład 4 (Krzyś i Życzkowski [5], str. 123)
Stan naprężenia w punkcie jest określony następującymi danymi:
sx = sy = sz = txy = -tzx = 10 MPa, tyz = 0, = 0.3
a)
sx = sy = sz = txy = -tzx = -10 MPa, tyz = 0, = 0.3
b)
Przypadek a)
Dla hipotezy HMH możemy od razu obliczyć
s =
HMH
Dla pozostałych hipotez najpierw liczymy naprężenia główne
s1 = 24.1MPa, s2 = 10 MPa, s3 = -4.1MPa
Dalej liczymy:
s =
G
s =
TG
s =
SV
s =
HMH
Dla hipotezy Burzyńskiego przyjmujemy:
c = 1
(stal):
sB = sHMH = 24.5MPa
c = 3.6
(żeliwo):
s =
B
Przypadek b)
s1 = 4.1MPa, s = -10 MPa, s3 = -24.1MPa
2
Wyniki dla różnych hipotez Wyniki dla a)
s = 4.1MPa
24.1 MPa
G
sTG = 4.1- (- 24.1) = 28.1MPa
28.1 MPa
sSV = 4.1- 0.3(-10 - 24.1) = 14.3MPa
22.3 MPa
sHMH = 24.5MPa = sB(c = 1)
24.5 MPa
sB(c = 3.6) = 27.6 MPa 6.02 MPa
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
cwiczenie 4b Energia sprężystacwiczenie 4 Energia sprez i hipotezy08 Energia sprezysta16 Hipotezy wytężeniowe (2)Ćwiczenie 4AHipotezy wytężeniahipotezy wytezeniowe12 Hipotezy wytężeniaid725Przesył Energii Elektrycznej Harmonogram Ćwiczeńwięcej podobnych podstron