plik

��Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. 16. HIPOTEZY WYT{ENIOWE 16.1. Wyt|enie i jego miara Wykres rozcigania stali mikkiej pokazuje, |e punkt materialny znajdujcy si w jednoosiowym stanie napr|enia przechodzi, w trakcie zwikszania napr|enia, przez kolejne stany mechaniczne: liniowo-spr|ysty, nieliniowo-spr|ysty, spr|ysto-plastyczny, plastyczny a| w koDcu osiga stan niszczcy gdy sp�jno[ midzy punktami materialnymi zostanie zerwana. Jest rzecz oczywist, |e ten ostatni stan jest stanem niebezpiecznym, a przej[cia midzy stanami reprezentowane s poprzez odpowiednie napr|enia graniczne RH , RS , Re i Rm . Nale|y jednak zauwa|y, |e nie wszystkie materiaBy mog przechodzi przez te wy|ej wspomniane stany mechaniczne. MateriaB kruchy nie osiga stanu plastycznego, a stan niszczcy jest bardzo blisko stanu liniowo-spr|ystego. Dla wielu materiaB�w stan plastyczny, w kt�rym wystpuj du|e odksztaBcenia trwaBe nale|y uzna za stan niszczcy w sensie niemo|no[ci speBniania zadaD u|ytkowania. Mo|emy wic uzna, |e przez niebezpieczny stan mechaniczny rozumie bdziemy stan w kt�rym zachodz jako[ciowe zmiany wBasno[ci materiaBu, najcz[ciej rozumiane jako wystpienie du|ych nieodwracalnych odksztaBceD lub zniszczenie, a granic niebezpieczn RK , napr|enie, przy kt�rym zmiany te si dokonuj. Je[li wprowadzimy pojcie wyt|enia, kt�re mo|emy zdefiniowa jako stopieD zbli|enia si materiaBu do granicy niebezpiecznej, to warunkiem bezpiecznego stanu bdzie nier�wno[: W d" WN , gdzie: W - miara wyt|enia, WN - warto[ miary wyt|enia w stanie niebezpiecznym. Postawimy teraz pytanie: jak okre[li (albo inaczej, czym zmierzy) wyt|enie w punkcie, w kt�rym znamy macierz napr|eD i ile wynosi warto[ tej miary w stanie niebezpiecznym. Odpowiedz na to pytanie jest bardzo Batwa jedynie w przypadku gdy w punkcie panuje jednoosiowy stan napr|enia. Miar wyt|enia bdzie w�wczas napr|enie � , a jej warto[ci w stanie niebezpiecznym - granica niebezpieczna RK , kt�r do[wiadczalnie wyznaczymy z pr�by rozcigania i [ciskania. Zatem: (1 ) ( W = � ; WN1) = RK , a warunek bezpiecznego stanu ma posta: � d" RK , je[li przyjmiemy, |e warto[ci granic niebezpiecznych przy rozciganiu i [ciskaniu s takie same RK ,r = RK ,c = RK . Graficzn reprezentacje bezpiecznych stan�w � na osi napr|eD � , stanowi w�wczas bd punkty wewntrz odcinka < - RK , RK > . Rk Rk W przypadku gdy w punkcie panuje przestrzenny stan napr|enia, odpowiedz si komplikuje, gdy| nieskoDczenie wiele stan�w napr|enia mo|e spowodowa w nim stan zniszczenia i dlatego, musimy posBu|y si hipotezami wyt|eniowymi. Hipotezy wyt|eniowe okre[laj miar wyt|enia niezale|nie od rodzaju stanu napr|enia. Innymi sBowy okre[laj one, co decyduje o zniszczeniu materiaBu w danym punkcie ciaBa, niezale|nie od tego, jaki rodzaj 222 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. stanu napr|enia w nim wystpuje. Je[li tak, to warunek bezpiecznego stanu mechanicznego sprowadza si do poni|szej zale|no[ci: ( 3 ) ( 2 ) (1) ( W = W = W d" WN1) , (16.1) w kt�rej wskazniki w nawiasach symbolicznie okre[laj wymiarowo[ stanu napr|enia. Powy|sza relacja pokazuje zasadniczy cel hipotez wyt|eniowych jest nim odniesienie przestrzennego stanu napr|enia do stanu jednoosiowego, w kt�rym zar�wno miara wyt|enia jak jej warto[ w stanie niebezpiecznym jest jasno zdefiniowana i Batwa do do[wiadczalnego wyznaczenia. W zale|no[ci od tego co przyjmiemy za miar wyt|enia W , otrzymamy wz�r na tzw. napr|enie zredukowane (lub zastpcze) � , charakteryzujce dowolny stan napr|enia pod 0 wzgldem wyt|enia. Z po[r�d wielu dotychczas postawionych hipotez wyt|eniowych, kt�re ze wzgldu na postulowan miar wyt|enia bardzo og�lnie mo|na podzieli na: napr|eniowe, odksztaBceniowe i energetyczne om�wimy tylko cztery. 16.2. Hipoteza Galileusza - hipoteza maksymalnych dodatnich napr|eD normalnych Postawiona w 1632 roku przez tego genialnego uczonego, cytowana obecnie tylko ze wzgld�w historycznych. Daje, w wielu przypadkach, wyniki sprzeczne z do[wiadczeniami. W my[l tej hipotezy: o wyt|eniu materiaBu w danym punkcie ciaBa decyduje warto[ maksymalnego, dodatniego napr|enia gB�wnego, niezale|nie od rodzaju stanu napr|enia: WG = max ( �1 , � , � ) , (16.2) 2 3 a ; dla a > 0 �� gdzie: . nawias Macauley a, a = ��0; dla a d" 0 . �� Zatem warunek bezpiecznego stanu ma posta: max ( �1 , � , � )= � d" RK ,r . (16.3) 2 3 Powy|sz zale|no[ mo|emy rozpisa w postaci trzech nier�wno[ci: �1 d" RK ,r , � d" RK ,r , � d" RK ,r , 2 3 kt�rych graficzny obraz w tr�jwymiarowej przestrzeni napr|eD (�1,� ,� ), nazywanej 2 3 przestrzeni Haigha Beckera, przedstawia przestrzeD ograniczon od strony dodatnich osi ukBadu pBaszczyznami �1 = RK ,r ,� = RK ,r i � = RK ,r , a w dwuwymiarowej przestrzeni 2 3 obszar ograniczony prostymi �1 = RK ,r i � = RK ,r (rys.16.1). 2 �3 �2 Rk,r �2 Rk,r �1 �1 Rys.16.1 223 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. 16.3. Hipoteza Rankine a - - hipoteza maksymalnych napr|eD normalnych - Clebscha - - - - - Zaproponowana przez Rankina (1856 r.) i Clebscha (1862 r.). Nie zostaBa dostatecznie dobrze potwierdzona do[wiadczeniami. WedBug tej hipotezy: o wyt|eniu materiaBu w danym punkcie ciaBa decyduje maksymalna bezwzgldna warto[ napr|enia gB�wnego, niezale|nie od rodzaju stanu napr|enia: WR-C = max ( �1 , � , � ) (16.4) 2 3 Std warunek bezpiecznego stanu ma posta: max ( �1 , � , � ) = � d" RK , (16.5) 2 3 je[li przyjmiemy, |e granice niebezpieczne przy rozciganiu i [ciskaniu s sobie r�wne RK ,r = RK ,c = RK . Powy|sz zale|no[ mo|emy rozpisa w postaci nier�wno[ci: �1 d" RK �! - RK d" �1 d" RK , � d" RK �! - RK d" � d" RK , 2 2 � d" RK �! - RK d" � d" RK , 3 3 kt�rych graficzny obraz w tr�jwymiarowej przestrzeni napr|eD Haigha Beckera, przedstawia przestrzeD ograniczon sze[cianem o boku 2 RK , a w dwuwymiarowej przestrzeni - kwadrat o takim samym boku (rys. 16.2). �3 �2 Rk �2 Rk �1 Rk Rk �1 2Rk Rys. 16.2 16.4. Hipoteza Coulomba Tresci - Guesta - hipoteza maksymalnych napr|eD - - - stycznych Przedstawiona przez Coulomba (1776 r.), Tresc (1872 r.) i Guesta (1900 r.), znajduje zastosowanie w przypadku materiaB�w spr|ysto-plastycznych. Ta hipoteza postuluje, |e: o wyt|eniu materiaBu w danym punkcie ciaBa decyduje maksymalna bezwzgldna warto[ ekstremalnych napr|eD stycznych, niezale|nie od rodzaju stanu napr|enia: 224 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. �� 1 -� �1 -� � -� �� 2 3 2 3 WC-T -G = max �� , , �� (16.6) �� 2 2 2 �� Tym razem warunek bezpiecznego stanu okre[la nier�wno[: �� 1 -� �1 -� � - � �� RK 2 3 2 3 max �� , , �� = d" , (16.7) �� 2 2 2 2 2 �� kt�ra jest r�wnowa|na trzem ni|ej napisanym warunkom: �1 - � RK 2 d" �! - RK d" �1 - � d" RK , 2 2 2 �1 - � RK 3 d" �! - RK d" �1 - � d" RK , 3 2 2 � - � RK 2 3 d" �! - RK d" � - � d" RK . 2 3 2 2 W tr�jwymiarowej przestrzeni Haigha Beckera powy|sze nier�wno[ci wyznaczaj przestrzeD ograniczon nieskoDczenie dBugim graniastosBupem o osi r�wno nachylonej do osi ukBadu odniesienia (jest tzw. o[ aksjator�w �1 = � = � ) i o przekroju poprzecznym w 2 3 ksztaBcie sze[ciokta foremnego, a w dwuwymiarowej przestrzeni - obszar ograniczony sze[cioktem (rys. 16.3). �3 �1=�2=�3 �2 Rk Rk Rk �1 �2 Rk �1 Rys. 16.3 16.5. Hipoteza Hubera Misesa Hencky ego - hipoteza energii odksztaBcenia postaciowego Hipoteza ta zostaBa sformuBowana niezale|nie przez trzech autor�w: Hubera (1904 r.), Misesa (1913 r.) i Hencky ego (1924 r.). Pierwszy z nich Maksymilian Tytus Huber byB Polakiem i jego wybitne osignicia na trwale zapisaBy si w historii mechaniki o[rodk�w cigBych. Hipoteza bardzo dobrze pokrywa si z danymi do[wiadczalnymi w przypadku materiaB�w spr|ysto-plastycznych i wedBug niej: o wyt|eniu materiaBu w danym punkcie ciaBa decyduje gsto[ energii odksztaBcenia postaciowego, niezale|nie od rodzaju stanu napr|enia: 225 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. 1+� 2 2 2 WH -M -H = [(�1 - � ) + (� - � ) + (� - �1) ] . (16.8) 2 2 3 3 6E Zatem warunek bezpiecznego stanu mechanicznego przyjmuje form: 1+� 1+� 1+� 2 2 2 2 2 [(�1 - � ) + (� - � ) + (� - �1) ] = � d" RK , 2 2 3 3 6E 3E 3E 1 (�1 - � )2 + (� - � )2 + (� - �1 )2 d" RK , (16.9) 2 2 3 3 2 lub 1 2 2 2 (� -� )2 + (� - � )2 + (� -� )2 + 6(� + � + � ) d" RK . (16.10) x y y z z x xy xz yz 2 W tr�jwymiarowej przestrzeni Haigha Beckera powy|szy warunek okre[la przestrzeD wewntrz nieskoDczenie dBugiego walca o osi pokrywajcej si z osi aksjator�w a w przestrzeni dwuwymiarowej - obszar ograniczony elips (rys. 16.4). �1=�2=�3 �3 �2 Rk �1 Rk �2 Rk Rk �1 Rys. 16.4 16.6. Por�wnanie hipotez �2 Por�wnanie zrobimy dla przypadku pBaskiego stanu napr|enia (� = 0) oraz trzech z wy|ej Rk 3 om�wionych hipotez a mianowicie maksymalnych napr|eD normalnych (R-C), maksymalnych napr|eD stycznych (C-T-G) i �1 Rk energii odksztaBcenia postaciowego (H-M-H). Rk Krzywe graniczne dla tych trzech hipotez zestawione s na rys.16.5. Wida z niego wyraznie, |e najwiksze rozbie|no[ci miedzy kwadratem R-C, a sze[ciobokiem C-T-G i Rk �1 = - �2 elips H-M-H wystpuj w drugiej i czwartej czyste [cinanie wiartce przestrzeni napr|eD na prostej Rys.16.5 �1 = -� tj. dla przypadku czystego [cinania. 2 226 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. 16.7. Napr|enia zredukowane Je|eli uporzdkujemy napr|enia gB�wne wg relacji �1 e" � e" � , to warunek bezpiecznego 2 3 stanu mechanicznego wg poznanych hipotez mo|emy zapisa w nastpujcy spos�b: wg hipotezy Galileusza �1 d" RK wg hipotezy Rankine a Clebscha max ( �1 , � ) d" RK , 3 wg hipotezy Coulomba Tresci Guesta �1 - � = d" RK , 3 wg hipotezy Hubera Misesa - Hencky go 1 2 2 2 (� -� )2 + (� -� )2 + (� -� )2 + 6(� + � + � ) d" RK . x y y z z x xy xz yz 2 Lewe strony powy|szych nier�wno[ci, obliczone w oparciu o warto[ci element�w dowolnej macierzy napr|eD, por�wnywane s z granic niebezpieczn przy jednoosiowym stanie napr|enia. Std mo|emy je interpretowa jako zastpienie czy redukcj stanu przestrzennego do jednoosiowego i dlatego nazywane s napr|eniami zredukowanymi lub zastpczymi i zwykle oznaczane przez � . Std wzory na napr|enia zredukowane wg odpowiednich 0 hipotez maj posta: G � = �1 , 0 R-C � = max( �1 , � ), 0 3 C-T -G � = �1 - � , 0 3 1 H -M -H 2 2 2 � = (� - � )2 + (� - � )2 + (� - � )2 + 6(� + � + � ) = 0 x y y z z x xy xz yz 2 1 = (�1 - � )2 + (� - � )2 + (� - �1 )2 . 2 2 3 3 2 W przypadku pBaskiego stanu napr|enia, w kt�rym macierz napr|eD zawiera jedynie dwa elementy � oraz � , wzory na napr|enia zredukowane przyjmuj form: x xz � 1 G x 2 2 � = + � + 4 � , 0 x xz 2 2 � 1 x R-C 2 2 � = + � + 4 � , 0 x xz 2 2 C-T -G 2 2 � = � + 4� , 0 x xz 227 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. H -M -H 2 2 � = � + 3� . 0 x xz 16.8. PrzykBady PrzykBad 16.8.1. Por�wna napr|enia zastpcze dla przypadku czystego [cinania (�1 = -� ) 2 okre[lonego napr|eniem � . Rozwizanie Napr|enia zredukowane wedBug przedstawionych hipotez wynosz: G R-C C-T -G H -M -H � = � = � , � = 2� , � = 3� . 0 0 0 0 Je[li przyj, |e hipoteza H-M-H daje wyniki najlepiej odpowiadajce rzeczywistemu zachowaniu si materiaB�w, a tak pokazuj do[wiadczenia dla materiaB�w spr|ysto- plastycznych, to: dwie pierwsze hipotezy zani|aj warto[ wyt|enia o: ( 3 - 1) 3 = 42.26% , a trzecia zawy|a warto[ wyt|enia o: (2 - 3) 3 =15.47% . PrzykBad 16.8.2. Wyznaczy napr|enia zredukowane wg om�wionych hipotez w punkcie K przekroju utwierdzenia konstrukcji o schemacie jak na poni|szym rysunku. Z Z Y 6 Y 4 m 10 kN 6 18 K wymiary w 9 5 kN/m cm X 2 m 6 6 6 Rozwizanie Z Qz = 10 kN SiBy przekrojowe w przekroju utwierdzenia pokazane s na rysunku obok. W rozwa|anym przekroju poprzecznym wystpuje: My = 40 kNm " rozciganie i zginanie wzgldem dw�ch N = 10 kN Y osi co implikuje powstanie napr|eD normalnych �x oraz MS = 20 kNm Mz = 10 kNm " [cinanie oraz skrcanie co wywoBuje napr|enia styczne � . xz X 228 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. Napr|enia normalne: M N M y z � = + z + y , x A J J y z 10*103 40* 103 10* 103 K � = + (-0.06) + (- 0.03) = x 216*10-4 11016* 10-8 3240* 10-8 =(0.463- 21.786 - 9.259)* 106 = - 30.582* 106 Pa= - 30.582 MPa. Napr|enia styczne " od [cinania siB poprzeczn Qz Qz S ( zK ) 10*103* ( 9* 6*10.5 )* 10-6 y K � = - = - = - 0.858* 106 Pa = -0.858 MPa. xz J b( zK ) 11016* 10-8 * 0.06 y " od momentu skrcajcego Ms Skorzystamy tutaj z przybli|onego sposobu obliczenia maksymalnej warto[ci napr|enia stycznego w przekroju skrcanym aproksymowanym zbiorem prostokt�w. MS2 2 Poniewa| stosunek wysoko[ci do szeroko[ci w obu prostoktach jest taki sam to MS1 = MS2 = MS/2 = 10.000 kNm MS1 h/b = 18/6 = 3 �! � = 0.267 K M 10*103 K S1 � = = = 57.798* 106 Pa = 57.798 MPa. xz � b2 h 0.267* 0.062 * 0.18 1 Std sumaryczne napr|enie styczne w punkcie K wynosi: K � = -0.858 +57.798=56.940 MPa, xz i macierz napr|eD ma posta: ��-30.582 0 56.940 �� T�K =�� 0 0 0 MPa. �� 56.940 0 0 �� Jak wida w punkcie K panuje pBaski stan napr|enia, kt�rego pBaszczyzn napr|enia jest pBaszczyzna (X ,Z). Napr|enia zredukowane maj warto[ci: � 1 - 30.582 1 G x 2 2 � = + � + 4 � = + (- 30.582)2 + 4* 56.9402 = 43.666 MPa, 0 x xz 2 2 2 2 � - 30.582 1 1 x R-C 2 2 2 � = + � + 4 � = + (- 30.582)2 + 4* 56.940 = 74.248 MPa, 0 x xz 2 2 2 2 C-T -G 2 2 2 � = � + 4� = (- 30.582)2 + 4* 56.940 = 117.915 MPa, 0 x xz 229 Adam Bodnar: WytrzymaBo[ MateriaB�w. Hipotezy wyt|eniowe. H -M -H 2 2 2 � = � + 3� = (- 30.58 )2 + 3* 56.940 = 103.256 MPa. 0 x xz Prosz zwr�ci uwag jak du|e s rozbie|no[ci wynik�w otrzymanych z hipotezy Galileusza i Coulomba-Tresci-Guesta. 230

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
cwiczenie 4a Energia sprężysta i hipotezy wytężeniowe
Hipotezy wytężenia
hipotezy wytezeniowe
12 Hipotezy wytężeniaid725
Scenariusz 16 Rowerem do szkoły
r 1 nr 16 1386694464
16 narrator

więcej podobnych podstron