ÿþA d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . E n e r g i a s p r |y s t a
8 . E N E R G I A S P R {Y S T A
8 . 1 . P o d s t a w o w e p o j c i a
K a |d e c i a Bo r z e c z y w i s t e p o d d z i a Ba n i e m s i B z e w n t r z n y c h d o z n a j e d e f o r m a c j i , n a k t ó r y c h s i By
o b c i |a j c e w y k o n u j p e w n p r a c L . P r a c a t a w p r z y p a d k u a d i a b a t y c z n e g o p r o c e s u
t e r m o d y n a m i c z n e g o j e s t n i e z a l e |n a o d s p o s o b u j e j w y k o n a n i a i r ó w n a s i e n e r g i i
w e w n t r z n e j u k Ba d u W , t j . f u n k c j i , k t ó r e j p r z y r o s t w c z a s i e " t j e s t r ó w n y p r a c y
d o s t a r c z o n e j u k Ba d o w i w t y m c z a s i e :
L = W .
P o w y |s z a r ó w n o [ w y n i k a z I p r a w a t e r m o d y n a m i k i d l a p r o c e s ó w a d i a b a t y c z n y c h , t z n .
t a k i c h p r z y k t ó r y c h n i e m a w y m i a n y c i e p Ba z o t o c z e n i e m a l b o , i n a c z e j , t a k i c h , |e n i e z a c h o d z i
d y s s y p a c j a e n e r g i i u k Ba d u , c o j e s t c h a r a k t e r y s t y c z n c e c h u k Ba d u s p r |y s t e g o .
M o |n a d o w i e [, |e w p r z y p a d k u c i a Ba s p r |y s t e g o i o b c i |e D s t a t y c z n y c h e n e r g i a
w e w n t r z n a u k Ba d u j e s t r ó w n a e n e r g i i p o t e n c j a l n e j W p , k t ó r a r ó w n a s i p r a c y s i B
w e w n t r z n y c h n a o d k s z t a Bc e n i a c h p r z e z n i e w y w o Ba n y c h i n a z y w a n a j e s t e n e r g i s p r |y s t
u k Ba d u U :
L = W = W p = U .
Z a t e m :
e n e r g i a s p r |y s t a U t o p r a c a s i B w e w n t r z n y c h n a o d k s z t a Bc e n i a c h p r z e z n i e
w y w o Ba n y c h .
E n e r g i a t a j e s t o d w r a c a l n a , c o z n a c z y , |e p o u s u n i c i u s i B o b c i |a j c y c h z u |y w a s i n a
o d z y s k a n i e p o c z t k o w e j k o n f i g u r a c j i c i a Ba i w n i e n a p r |o n y m i n i e o d k s z t a Bc o n y m s t a n i e
u k Ba d u j e s t r ó w n a z e r u .
G s t o [c i e n e r g i i s p r |y s t e j ¦ l u b , i n a c z e j , e n e r g i s p r |y s t w Ba [c i w n a z y w a m y i l o [
e n e r g i i s p r |y s t e j n a j e d n o s t k o b j t o [c i c i a Ba . S t d :
U = ¦ d V , ( 8 . 1 )
+"+"+"
V
g d z i e : V j e s t o b j t o [c i c i a Ba .
D a l e j d l a p r o s t o t y w z o r ó w , Ba t w o [c i w y p r o w a d z e D i z a p i s ó w , w p r o w a d z i m y w s k a zn i k o w y
z a p i s n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D. J e g o i s t o t p o k a z u j m a c i e r z e n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D n i |e j
z a p i s a n e w z a p i s i e k l a s y c z n y m i w s k a zn i k o w y m :
u k Ba d w s p ó Br z d n y c h ( X , Y , Z ) u k Ba d w s p ó Br z d n y c h ( X 1 , X 2 , X 3 )
Ã1 1 Ã1 2 Ã1 3
ëø öø ëø öø
ìøÃ x Ä x y Ä x z ÷ø
ìø ÷ø
T Ã = ìøÄ Ã Ä ÷ø , T Ã = ìøÃ Ã Ã ,
÷ø
y x y y z 2 1 2 2 2 3
ìøÄ Ä Ã ÷ø
ìøÃ Ã Ã ÷ø
ìø ÷ø
z x z y z
íø øø íø 3 1 3 2 3 3 øø
1 1
ëø öø µ1 1 µ1 2 µ1 3
µ ³ ³
ëø öø
x x y x z
2 2
ìø ÷ø
ìø ÷ø
1 1
T µ = ³ µ ³ , T µ = ìøµ2 1 µ2 2 µ2 3 ÷ø .
ìø ÷ø
y x y y z
2 2
ìø ÷ø
1 1 ìøµ µ3 2 µ3 3 ÷ø
³ ³ µ
z x z y z íø 3 1 øø
íø 2 2 øø
6 7
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . E n e r g i a s p r |y s t a
O b l i c z m y i l e w y n o s i ¦ d l a c i a Ba o o b j t o [c i V z n a j d u j c e g o s i w r ó w n o w a d z e p o d
d z i a Ba n i e m p e w n e g o u k Ba d u s i B z e w n t r z n y c h . W w y n i k u o b c i |e n i a w k a |d y m p u n k c i e t e g o
c i a Ba p o w s t a j s t a n y n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a c h a r a k t e r y z o w a n e p o p r z e z m a c i e r z e T Ã i
T µ .
W y z n a c z m y w p i e r w d o w o l n i e m a By p r z y r o s t g s t o [c i e n e r g i i s p r |y s t e j n a d o w o l n i e m a By c h
p r z y r o s t a c h o d k s z t a Bc e D:
d ¦ = Ã1 1 d µ1 1 + Ã1 2 d µ1 2 + . . . + Ã d µ3 3 = Ã d µi j . ( 8 . 2 )
3 3 i j
W r ó w n a n i u ( 8 . 2 ) z a s t o s o w a n a z o s t a Ba u m o w a s u m a c y j n a E i n s t e i n a , k t ó r a m ó w i , |e :
j e |e l i w w y r a |e n i u w s k a zn i k o w y m b d c y m j e d n o m i a n e m w s k a zn i k i p o w t a r z a j s i , t o
n a l e |y d o k o n a s u m o w a n i a p o p o w t a r z a j c y c h s i w s k a zn i k a c h d o o d p o w i e d n i e j
w y m i a r o w o [c i o b i e k t u . I t a k n p . :
a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ; µi i = µ1 1 + µ2 2 + µ3 3 , i = 1 , 2 , 3 .
R ó w n a n i e ( 8 . 2 ) m o |n a , w y k o r z y s t u j c p o j c i e i l o c z y n u s k a l a r n e g o ( p o p r a w n i e j m ó w i c
i l o c z y n u d i a d y c z n e g o z e z w |e n i e m ) t e n s o r ó w , z a p i s a w b a r d z o p r o s t e j f o r m i e :
d ¦ = T Ã d T µ ( 8 . 3 )
I l o c z y n s k a l a r n y t e n s o r ó w o t r z y m u j e m y d o d a j c d o s i e b i e i l o c z y n y j e d n o i m i e n n y c h
e l e m e n t ó w .
P o z w a l a t o z a p i s a g s t o [ e n e r g i i s p r |y s t e j ¦ w p o s t a c i :
T µ
¦ = d T µ ( 8 . 4 )
Ã
+"T
0
1 5 . 2 . E n e r g i a s p r |y s t a c i a Ba H o o k e a
D l a c i a Ba l i n i o w o s p r |y s t e g o z w i z e k f i z y c z n y m o |e m y z a p i s a w f o r m i e :
T Ã = D T µ ( 8 . 5 )
g d z i e : D m a c i e r z ( t e n s o r ) w s p ó Bc z y n n i k ó w m a t e r i a Bo w y c h .
P o p o d s t a w i e n i u ( 8 . 5 ) d o ( 8 . 4 ) i w y k o n a n i u c a Bk o w a n i a o t r z y m u j e m y :
T µ
1 1
¦ = D T µ d T µ = D T µ2 = T Ã T µ ( 8 . 6 )
+"
2 2
0
W z ó r ( 8 . 6 ) z a p i s z e m y w i n n e j p o s t a c i p o d o k o n a n i u r o z k Ba d u m a c i e r z y ( t e n s o r ó w ) n a p r |e D i
o d k s z t a Bc e D n a s u m o d p o w i e d n i c h a k s j a t o r ó w i d e w i a t o r ó w .
T Ã = A Ã + D Ã i T µ = A µ + D µ ( 8 . 7 )
P r z y p o m n i m y , |e z w i z k i f i z y c z n e m i d z y a k s j a t o r a m i i d e w i a t o r a m i n a p r |e D i o d k s z t a Bc e D
( w y p r o w a d z i l i [m y j e f o r m u Bu j c I I I p o s t a p r a w a H o o k e a ) m o |n a z a p i s a w f o r m i e z w y k l e
n a z y w a n e j p r a w e m z m i a n y o b j t o [c i i p r a w e m z m i a n y p o s t a c i :
A Ã = 3 K A µ o r a z D Ã = 2 G D µ ( 8 . 8 )
6 8
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . E n e r g i a s p r |y s t a
E E
g d z i e : 3 K = o r a z 2 G = t o s t a Be m a t e r i a Bo w e .
1 - 2 ½ 1 + ½
K o r z y s t a j c z e w z o r ó w ( 8 . 7 ) o t r z y m u j e m y :
1 1 1
¦ = ( A Ã + D Ã ) ( A µ + D µ ) = A Ã A µ + D Ã D µ ( 8 . 9 )
2 2 2
g d y | z b a r d z o Ba t w e j a n a l i z y r a c h u n k o w e j w y n i k a , |e :
A Ã D µ = 0 o r a z D Ã A µ = 0 .
M o |e m y z a t e m p o w i e d z i e , |e g s t o [ e n e r g i i s p r |y s t e j s t a n o w i s u m
¦ = ¦V + ¦ , ( 8 . 1 0 )
f
g d z i e :
1
¦V = A Ã A µ - g s t o [ e n e r g i i s p r |y s t e j z w i z a n e j z e z m i a n o b j t o [c i , ( 8 . 1 1 )
2
1
¦ = D Ã D µ - g s t o [ e n e r g i i s p r |y s t e j z w i z a n e j z e z m i a n p o s t a c i . ( 8 . 1 2 )
f
2
I a n a l o g i c z n i e , e n e r g i a s p r |y s t a u k Ba d u s t a n o w i s u m :
U = U V + U , ( 8 . 1 3 )
f
g d z i e :
U V = d V , ( 8 . 1 4 )
V
+"¦
V
j e s t e n e r g i o d k s z t a Bc e n i a o b j t o [c i o w e g o i p r z e d s t a w i a p r a c s i B z e w n t r z n y c h z u |y t n a
z m i a n j e g o o b j t o [c i , a
U = d V , ( 8 . 1 5 )
f f
+"¦
V
j e s t e n e r g i o d k s z t a Bc e n i a p o s t a c i o w e g o i p r z e d s t a w i a p r a c s i B z e w n t r z n y c h z u |y t n a
z m i a n p o s t a c i u k Ba d u .
W z o r y n a o d p o w i e d n i e g s t o [c i e n e r g i i s p r |y s t e j , w y r a |o n e p r z e z e l e m e n t y m a c i e r z y
n a p r |e D m a j p o s t a :
1 - 2 ½
2
¦½ = ( à + à + à ) ( 8 . 1 6 )
x y z
6 E
1 + ½
2 2 2 2 2 2
¦ = [ ( Ã - Ã ) + ( Ã - Ã ) + ( Ã - Ã ) + 6 ( Ä + Ä + Ä ) ] ( 8 . 1 7 )
f x y y z z x x y y z z x
6 E
1
2 2 2 2 2 2
¦ = [ Ã + Ã + Ã - 2 ½ ( Ã Ã + Ã Ã + Ã Ã ) + 2 ( 1 + ½ ) ( Ä + Ä + Ä ) ] . ( 8 . 1 8 )
x y z x y y z z x x y y z z x
2 E
Aa t w o m o |n a s t w i e r d z i , |e p o c h o d n e g s t o [c i e n e r g i i s p r |y s t e j p o e l e m e n t a c h m a c i e r z y
n a p r |e D r ó w n a j s i o d p o w i e d n i m e l e m e n t o m m a c i e r z y o d k s z t a Bc e D.
W y z n a c z y m y p r z y k Ba d o w o :
6 9
A d a m B o d n a r : W y t r z y m a Bo [ M a t e r i a Bó w . E n e r g i a s p r |y s t a
"¦ 1 1
= [ 2 Ã - 2 ½( Ã - Ã ) ] = [ Ã - ½( Ã - Ã ) ] = µ ,
x y z x y z x
"Ã 2 E E
x
Ä
"¦ 1 2 ( 1 + ½ ) Ä = = ³ .
x y
= [ 4 ( 1 + ½ ) Ä ] =
x y x y x y
"Ä 2 E E G
x
J e s t r z e c z o c z y w i s t , |e k o r z y s t a j c z e z w i z k ó w f i z y c z n y c h H o o k e a , m o |e m y w y r a z i
g s t o [c i e n e r g i i s p r |y s t e j t y l k o p o p r z e z e l e m e n t y m a c i e r z y o d k s z t a Bc e D. W ó w c z a s p o c h o d n e
¦ p o e l e m e n t a c h m a c i e r z y o d k s z t a Bc e D s r ó w n e o d p o w i e d n i m e l e m e n t o m m a c i e r z y
n a p r |e D.
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