ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU P
DU D83 Jeżeli wagon jest w spoczynku to częstotliwość drgań wahadła
D68
matematycznego znajdującego się w tym wagonie wynosi f=0.5Hz. Oblicz
D.109 Ciało o masie m = 10-3 kg i ładunku Q = 10-4 C porusza się w jednorodnym
częstotliwość drgań tego wahadła w wagonie poruszającym się po torze
Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową �. Na środku stolika stoi polu elektrostatycznym o natężeniu E = 100 j V/m. Prędkość początkowa
poziomym z przyspieszeniem a=4.9m/(s*s). Płaszczyzna drgań wahadła jest
człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa wynosi
równoległa do kierunku ruchu wagonu. Przyspieszenie ziemskie
ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się prędkość obrotów stolika gdy v =v0 i m/s. W dowolnie wybranym układzie współrzędnych obliczyć tor
g=9.8m/(s*s).
człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moment cząstki r (t) i jej prędkość v (t).
Rozw A
atwo wykazać, że okres drgań wahadła mat o długości l wyraża się
bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I.
r(t) = r0 + "r gdzie "r = "x + "y
wzorem gdzie F to efektywna siła działająca na ciało u nas
T = 2 Ą ml / F
Z zasady zachowania krętu mamy
ale "x = v0t*i
(I+2ml2)�=I�1 2 2 2 2
zatem dla przypadku gdy
F = ( mg) + (ma) T = 2Ą l / g + a = 1 / f
2ml2
�1 = �(1+ ) at2 QE Q
F=mg zatem
T0 = 2 Ą l / g = 1 / f
"y = gdzie a = = E j
I 0
2 m m
2 2
f g = a
Q t2
(I + 2ml2)�2 I�12
r(t) = r0 + v0t*i + E j = ....
= 2 Ą l / g / 2 Ą
Ek0 = Ek1 =
m 2
2 2
f0 l
4 2
QE
f = f 1 + ( a / g ) ___ poniewa ż __ a = 1 / 2 g __ to
Ek1 I�12 I�2(I + 2ml2)2 I + 2ml2 2ml2 v(t) = v0 + at = v0*i + t * j = ... 0
= = = = 1+ 4
m
Ek0 (I + 2ml2)�2 (I + 2ml2)�2I 2 I I f = f 1 + 1 / 4 = 1.057 f0 = 0.529 [ Hz
0
49.Elektron o energ. Kinetycznej Ek wlatuje w jednorodne pole
D84 Okres wahań matematycznego wahadła wykonanego z nieprzewodzącej
D.110
magnetyczne B. A
adunek elektr. wynosi e, masa m. Wektor prędkości
Na poziomo wirującym pręcie o masie M, przez środek którego przechodzi
nici i małej kulki o masie m=25g wynosi Po naładowaniu kulki
elektronu leży w płaszczyz
nie prostopadłej do linii pola sił. Obliczyć: T1 = 1.5 s
prostopadle do ziemi oś, siedzi małpka o masie m. Pręt ma długość l i wiruje
promień, częstotliwość.
z prędkością kątową � .Jaka będzie prędkość kątowa po przejściu małpki do
1
ładunkiem q=1.5/1000C okres wahadła wynosi Oblicz natężenie
T2 = 1.12s
środka?
mv2 mv pola elektrycznego Ziemi(zakładamy, że kierunek tego pola pokrywa się z
F=evB=Fod = , R=eB
R kierunkiem pola grawitacyjnego).
I�=const
Zasada zachowania krętu
Rozw okres drgań wahadła wynosi gdy F=mg to
2 T = 2 Ą ml / F
mv2 2Ek 2Em
2
�ł łł
=Ek , v= , R=
1 �ł l �ł
2 m eB
�ł śł�1 = 1 Ml2�2
�ł �ł
Ml2 + m�ł �ł gdy F=mg+qE to
T1 = 2 Ą l / g T = 2 Ą ml /( mg + qE )
�ł śł
12 2 12
�ł łł 2
�ł śł 2
�ł �ł 2Ek
m 2 2
2PiR 1 v 1 eB
�ł łł
ml2 T= =f , f=2PiR = = 2Pim
�ł łł
�ł śł v
�łT �ł �łT �ł
�ł 3m łł 2
4 śł
1 1
�2 = �1�ł1+ = �1�ł1+ 2Pi 2Ekm
śł
�ł śł
1 stąd = 1 + qE/ mg___E = mg/ q 1 + = 132 / C]
.[N
�ł �ł �ł- �ł �ł śł
Ml2 �ł M �ł
�ł śł
eB
12
�ł śł
�ł �ł
T T
�ł łł �ł 2 śł
�ł łł
2
�ł �ł
50.Naładowana cząstka porusza się w polu magnetycznym po okręgu o
POLA SIA

promieniu R z prędkością v . Indukcja pola magnetycznego jest B. Znalez
ć D85 Wyobraz
my sobie szyb przecinający na wskroś kulę ziemską wzdłuż średnicy. Podać
D64
równanie ruchu ciała, które wpadło w ten szyb, biorąc pod uwagę zmienną wartość siły ciężkości
ładunek q cząstki, jeśli jej energia kinetyczna jest równa Ek .
W stałym polu elektrycznym o natężeniu E=15V/m elektron przebywa w
wewnątrz Ziemi. Obliczyć czas w ciągu którego ciało osiągnie środek Ziemi oraz prędkość z
kierunku pola drogę s=2m z prędkością średnią v=2000 km/s. Oblicz przyrost jaką go minie Przy założeniu, że gęstość Ziemi jest stała siła działająca na ciało we wnętrzu
Ziemi jest wprost proporcjonalna do jego odległości od środka Ziemi.
prędkości elektronu. Stosunek ładunku elektronu do jego masy
2
Rozw Ponieważ oddziaływanie zewnętrznej powłoki znosi się to siła
mv2 mv2 2Ek
e
Fod = = FL = qvB , Ek = ,v= działająca na ciało w odległości x od środka Ziemi wynosi
= 1,76 " 1011C / kg
R 2 m
m
2 4
2Ek 2Ekm
mv m
3
Ruch jest jednostajny przyśpieszony q= BR = BR = F(x)=GM(x)m/(x*x) gdzie M(x)=ro zaś na pow Ziemi
Ąx
m BR
eE
3
F=eE=ma a = qBR qBR
mv=qBR , m= , qBR= 2Ek v
m
v
3
2Ek 2Ek F�=GM�m/(R*R)=mg gdzie M�=ro4/3 ĄR ___stąt ___F(X) / F(R) = x / R
s
S=vt t = qBR= , q = BRv
v Możemy powiedzieć o tym rucu harmoniczny i otzymujemy równanie ruchu
v
eEs
X ( t ) = R cos �t = R cos( g / Rt ) ___ gdzie __ � = g / R = 2 Ą / T
51.Dwa jony mające jednakowy ładunek elektryczny, ale różne masy,
Ale v =v +at "v = vk - v0 = at =
k 0
mv wpadają do jednorodnego pola magnetycznego prostopadle do kierunku pola. - R� sin �t __ gdzie ___ V0 = R�
V ( t ) =
Pierwszy jon porusza się po okręgu o promieniu r1 , drugi o promieniu r2 .
V0 R g / R = gR
eEs
"v =
Określić stosunek mas jonów, jeżeli zostały one przyspieszone jednakową
mv 1 R Ą R
różnicą potencjałów
t = T / 4 = 2 Ą =
& & &
4 g 2 g
D65
m1v12 m2v22
Strumień elektronów rozpędzony polem elektrycznym o napięciu U1 = 5000
Ug = = to m1v12 = m2v22 FALE
2 2
V wpada między okładki kondensatora płaskiego równolegle do jego
D.40Prędkość fazowa fal o długości  rozchodzących się na powierzchni
qBr1
okładek. Jakie napięcie należy przyłożyć do okładek kondensatora, by mv2
wody przy pominięciu napięcia powierzchniowego wyraża się wzorem
poniewarz qvB= to m1v1 = qBr1 , v1 =
strumień elektronów został odchylony o h=3 mm. Długość kondensatora jest 2 m1
g 
V =
l=5 cm, odległość między okładkami d=1.5 cm.
qBr2 2 Ą
m2v2 = qBr2 , v2 = gdzie g jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Wykazać, że prędkość grupowa
m2
2
jest równa 0.5 prędkości fazowej.
mv0 2U1e
eU1 = v0 = - prędkość początkowa elektronu
qBr1 qBr2
2 m
2 = m 2
zatem m1
2 g 
m1 m2
( ) ( ) PR . fazowa ____ V =
ńł x(t) = v0t = l 2 Ą
�ł
�ł �ł l a l2
m2 r2
równanie toru t = h = dV
�ł at2 żł
2
2
v0 2 PR.grupowa ___ w = V - 
v0
�ły(t) = = h �ł
�ł
m1 = r1
2 ( ) d
ół
ale eE=ma 52.Naładowana cząstka po przejściu przez przyspieszającej różnicy
g g 1 g 1 g 1 g
w = -  = - = czyli
potencjałów U wpada w skrzyżowane pod kątem prostym pola: elektryczne o
U2 eU2
2Ą 2Ą 2Ą 2Ą 2 2Ą 2 2Ą
gdzie E = czyli a = natężeniu E i magnetyczne o indukcji B. Znajdz
stosunek ładunku tej cząstki
d md
do jej masy, jeśli cząstka porusza się po torze prostoliniowym w kierunku
1 g 9,81*10 m m
w = ,,,,,,V = = 3,95 zaś,,w =1,975
prostopadłym do obu pól.
2U1e eU2
2 2Ą 2Ą s s
mamy zatem 2h = l2
m md
mv2 Uq
Uq = , to v = D41.Napięcie na okładkach kondensatora w obwodzie drgań elektrycznych
hd
2 m
U2 = 4U1 = .....
LC zmienia się według równania U=50cos(10^6 t); C=20pF;
ruch jest prostoliniowy gdy Fel = qE = Fmgn = qvB
l2
(? T,L,Q0,?);
E E q q 1 E
2 = 2U , 2 U = U cos � =
D66 0
czyli v = B ,
(B) m m = 2U (B)
Naładowany pyłek o masie m = 2.4 * 10-8g znajduje się w równowadze w 6
50 cos( 10 Ą t ); [ v ];
SIA
Y BEZWA
ADNOŚCI
polu elektrostatycznym kondensatora płaskiego. Znalez
ć liczbę elektronów
Zad 31 Rakieta o masie m0 ,siły zewnętrzne pomijalnie małe, t=0 włączony 2 Ą 1
6
znajdujących się na pyłku, jeżeli różnica potencjałów przyłożona do płytek
U = 50 ; � = = 10 Ą ; [ ];
0
silnik wyrzuca gazy z prędkością u względem rakiety. Wydajność silnika �=
T s
kondensatora U=3000 V, a odległość między płytkami d=2 cm. A
adunek
-(dm)/(dt) (m  aktualna masa rakiety). Znalez
ć zależność prędkości od
elektronu e = 1.6*10-19 C.
- 6
masy i siłę ciągu. T = 2 " 10 ; [ s ]
F=m(t)*(dv)/(dt)+v [(dm)/(dt)] (rów. ruchu rakiety); m(t)=m 0 
wzgl 0-�t (m
Fel=eE=mg  warunek równowagi pyłku
T = 2Ą LC
aktualna masa rakiety); (dm)/(dt)=�; v =u ; F=0  z warunków zad.;
wzgl
U
Gdzie E = m(t)*(dv)/(dt)= - u*(dm)/(dv); (m 0-�t);
0-�t)*(dv)/(dt)= -�u; dv=- �u(dt)/(m
- 6
d T 1 10 1
2 2
+"v(t) dv= - �u* +" m0-�t (dt)/(m 0-�t=z i
0 m0 0 -�t); (podstawiamy: m L = ( ) " = ( ) " =
- 12
2 Ą C Ą 20 " 10
dt= (-1/�) *dz); v(t)= u* +" m0-�t (dz)/z; [* v(t)=u*ln(m0/(m0-�t)) *];
q = Ne m0
0 , 00507 [ H ] = 5 , 07 [ mH ];
F =F =v (dm)/(dt); [* F = �u *];
ciągu odrzutu wzgl ciągu
- 12
U mgd Q = U " C = 50 " 20 " 10 =
Zad 32 Na transporter sypie się piasek z szybkością �. Obliczyć moc jeśli
0 0
Ne = mg N = = ...
- 9
transporter ma mieć prędkość v.
d eU 1 " 10 ; [ C ] = 1[ nC ];
F=m(t)*(dv)/(dt) + v*(dm)/(dt) (rów. ruchu wózka); �=(dm)/(dt);
m
8
(dv)/(dt)=0 (bo v jest const.) więc F=�v; [* P=Fv=�v2 *]
 = V " T ; ; V = 3 " 10 [ ]
D67
s
Zad 54 Energia potencjalna cząstki w pewnym polu ma postać:
8 - 6
W oleju o gęstości � = 800 kg/m3 wytworzono pionowe, jednorodne pole
1
 = 3 " 10 " 2 " 10 = 600 [ m ]
U=a/r2  b/r , gdzie a i b są const. >0, a r jest odległością od centrum pola.
elektryczne o natężeniu E = 3.6 * 106 V/m. W polu tym umieszczono
Wyznaczyć wartość r odpowiadającym położeniu równowagi. Czy trwale?
0
naelektryzowaną kulkę o promieniu r=5 mm i gęstości � = 8600 kg/m3.
2
(dU)/(dr)=0 (warunek ekstremum-położenie równowagi); b/r 2  2a/r 3=0;
0 0
D42.Ucho ludzkie może odbierać dz
więki o częstotliwościach 20 do 20000
Obliczyć ładunek kulki, jeżeli wiadomo, że pozostaje ona w spoczynku.
[* r0=2a/b *]; (d2U)/(dr2)>0 (warunek aby równowaga była trwała przy
Hz. Między jakimi długościami fal jest zawarty przedział słyszalności ?
założeniu r=r ); (6a/r 4  2b/r 3) >0; [*b4/8a3 >0*] warunek spełniony;
0 0 0
Prędkość dz
więku w powietrzu przyjąć 340 m/s. Oko ludzkie może odbierać
Warunek równowagi kulki
Zad.55 Energia potencjalna w atomie wodoru U= -( e2)/(4"� r) gdzie e 
0
fale świetlne o długościach 380  760 nm. Znalez
ć odpowiadający temu
qE + �1Vg = �2Vg
ładunek elektronu, � przenikalność dielektryczna próżni, r odległość elektr .
0
przedziałowi długości fal świetlnych przedział częstotliwości. PR. Światła
od jądra. Zał. elektron porusza się po orbicie kołowej. Z postulatu Bohra:
gdzie
3*10^8 m/s.
moment pędu: L=mvr=(nh)/(2") (1*), gdzie: m  masa elekt., v prędkość na
4
orbicie, n  liczba naturalna, h stała Plancka obliczyć : a) energie całkowitą E
V = r3
3 , b)promienie orbit, c) prędkość i przyspieszenie na 1 orbicie.
V
 = , , , dla _ fal _ akustyczny ch
F =F ; F =e2/(4"� r2); F =(mv2)/r; II postulat Bohra: E =(mv2)/2+U;
el od el 0 ob c
�
(�2 - �1)4 r3g
mrv2=e2/(4"� ) (2*); (2*) : (1*) => v=1/n * e2/(2"� )=1/n*v
0 0 1
q = = ...
c 340
3E
z (1*) r=(nh)/(2"mv); [* r=n2*(� h2)/("me2)=n2*r1 ]; podstawiając do II
0 1 = = = 17 m
2
� 20
postulatu Bohra otrzymamy: [* E=-(me4)/(8� h2n2) *]; [* v =e2/(2"� ) ] ; 1
0 1 0
3 3
a=v2/r=("me6)/(4� h4n4); n=1 (1 orbita) ; [* a1=("me6)/(4� h4) *]. c 340 - 3
0 0
 = = = 17 * 10 m
2
Zad 56 Sztuczny satelita krąży dookoła Ziemi (promień R) po orbicie o
� 20000
2
promieniu r. Obliczyć okres obiegu.
, , , dla _ fal _ świet ln ych
F =G*(Mm)/r2; F =(mv2)/r; MG=gR2; T=(2 r)/v; F =F ;
gr odś gr odś
8
v2=M*G/r=(gR2)/r; T=(2 r)/"((gR2)/r); [* T=(2 r)/R *"(r/g) *]; c 3 * 10
14
� = = = 7,89 * 10 Hz
1 - 7
Zad 57 Na jakiej wysokości h ciężar jest n razy mniejszy od ciężaru na
1 3,8 * 10
powierzchni Ziemi (promień R)?
8
c 3 * 10
14
F =(GMm)/r2=mg ; F =(GMm)/R2=mg ; g / g = 1/n; r2=nR2; h=r-R;
r r R R r R
� = = = 3,95 * 10 Hz
2 - 7
 7 ,6 * 10
[* h=R("n -1) *]; (r  odległość miejsca od środka Ziemi);
2
FALE II SZCZEGÓLNA TEORIA WZGL
DNOŚCI ZASADA ZACHOWANIA P
DU
D43. Znalez
ć długośćc fali de Brogile a neutronu, którego energia jest 94  W tym samym miejscu korony słonecznej w odstępie 12s nastąpiły dwa Zad.59
równa średniej energii termicznej w temp. T=300K Dana jest masa neutronu wybuchy. Rakieta poruszająca się ze stałą prędkością względem Słońca Od dwustopniowej rakiety o masie M=1200 kg po osiągnięciu szybkości
m=1,675*10^-27 kg zarejestrowała oba zdarzenia w odstępie 13s. v=200 m/s oddzielił się pierwszy stopień o masie m=700 kg . Jaką szybkość
a) ile wynosi odległość czasoprzestrzenna "l między wybuchami w układzie osiągnął drugi stopień rakiety, jeżeli szybkość pierwszego stopnia zmalała w
związanym z poruszającą się rakietą ? wyniku tej operacji do v =150 m/s?
1
b) Jaką prędkość i jaki kierunek ma wektor prędkości rakiety? Dane : M=1200 kg; v=200 m/s; m=700 kg; v =150 m/s; Szukane: v =?
1 2
Z zasady zachowania pędu: v*M=v *m+v *(M-m)
1 2
h
 = _______ dla _ gazów _ mamy
Przekształcając wzór mamy: v =(v*M-v *m)/(M-m)
2 1
mV "s2 = "s'2
Odp.: v =270 m/s
2
mV 3
śr
Zad.60
E = = kT ______ gdzie
śr c2"t2 = c2"t'2 - "l'2 �! "l' = c2("t'2 - "t') = 15*108 m
2 2
Granat lecący w pewnej chwili z prędkością v=10 m/s rozerwał się na dwa
Dylatacja czasu:
R odłamki. Większy odłamek, którego masa stanowiła p=60% masy całego
, , K = - st .Boltzmana __ st ąt
granatu, kontynuował lot w pierwotnym kierunku, lecz ze zwiększoną
N
A
prędkością v1=25 m/s. Znalez
ć kierunek i wartość prędkości mniejszego
"t "t m
3 kT h
"t' = �! c 1- ( ) = v = 1,1538*108 odłamka.
V = __ zatem __  =
śr
m s
m 3 kT v2 "t'
Dane: v=10 m/s; p=60%; v =25 m/s; Szukane: v =?
1 2
1-
- 34
6 ,62 * 10 [ J * s ] Pęd większego odłamka jest równy pędowi mniejszego odłamka: p*(v
c2 1-
 = =
8 ,314 J v)=(1-p)*(v +v); Po przekształceniach mamy v =(v
- 27 95  Czy można znalez
ć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i 2 2 1-v)*p/(1-p)-v
1, 675 * 10 [ kg ] * 3 * [ ] * 300 [ K ]
23
Odp.: v =12,5 m/s
bitwa pod Grunwaldem zaszłyby: 2
6 , 02 * 10 K
Zad.61
- 34 a) w tym samym miejscu?
6 , 62 * 10
- 10
Masa startowa rakiety (z paliwem) wynosi m =2 kg . Po wyrzuceniu paliwa
______  = 1, 45 * 10 m b) w tym samym czasie? 1
- 25
45 ,63 * 10
o masie m =400 g rakieta wznosi się pionowo na wysokość h=1000 m.
2
D44.Promień krzywizny soczewki płasko wypukłej wynosi 4m. Ile wynosi Oblicz prędkość wyrzuconego paliwa.
"s2 = c2(t1 - t2) - (x1 - x2) > 0
długość fali  padającego światła jeśli promień 5-tego jasnego pierścienia Dane: m =2kg; m =400 g=0,4 kg; h=1000 m; Szukane: v =?
1 2 2
Energia kinetyczna wyrzucanego paliwa zamienia się w energię potencjalną rakiety:
Newtona w świetle odbitym wynosi 3,6mm
Ek=v2*v2*m/2; Ep=(m1-m2)*g*h; Ek=Ep; v2*v2=2*(m1-m2)*g*h/2;
"s2>0 czyli interwał czasoprzestrzenny jest typu czasowego, a wiec można
znalez
ć układ, w którym oba zdarzenia zajdą w tym samym miejscu,
2 Odp.: v =200* m/sE"282 m/s
2
2
R  r  rmj
rmj = ( 2 m - 1 ) __ zatem __ = natomiast nie można znalez
ć układu, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym
Zad.62
2 2 2 m - 1
samym czasie.
2 - 3 Na nieruchomej łodzi o masie m0 stoi dwóch ludzi o masach m i m . Jeden
1 2
rmj
2 2 ( 3 , 6 * 10 m - 6 97  Długość nieruchomego pociągu jest taka sama jak długość tunelu.
 = = = 0 , 72 * 10 m = 72 � m
na dziobie, drugi na rufie. W pewnej chwili skaczą oni z prędkościami
2 m - 1 R 9 4 m
Pociąg ten jedzie z prędkością v. Czy początek i koniec tego pociągu miną
względem łodzi odpowiednio u i u . Kierunki ich prędkości leżą na osi łodzi
1 2
D45.W doświadczeniu Younga wzięto najpierw światło o długości fali
końce tunelu dokładnie w tej samym momencie czasu ?
a zwroty są przeciwne. Opisz zachowanie się łodzi zaniedbując opór wody.
1=600nm a potem o długości fali 2. Jaka jest długość fali jeśli 7-prążęk
Dane: m , m , m , u , u ; Szukane: v łodzi;
0 1 2 1 2
jasny w pierwszym przypadku pokrywa się z 10 ciemnym w przypadku
NIE MAM ROZWI
ZANIA, TWOJE JEST ZA
E!!!
Z zasady zachowania pędu: 0  pęd przed skokami; m *u  pęd pierwszego
1 1
drugim.
D 98. Znajdz
energię wydzielającą się przy powstawaniu z protonów i
człowieka; -m *u  pęd drugiego człowieka ( z minusem bo zwrot prędkości
2 2
neutronów 1g helu, korzystając z następujących danych m =1,001509 jma,
p
jest przeciwny ); m *v  pęd łodzi; Z tego mamy 0=m *v *v +m *v;
0 1 1-m
2 2 0
masa neutronu m =1,008665 jma, masa jądra helu m =4,001509 jma, 1 jma
n He
czyli: v=(m *v *v )/m0; Zakładając, że skaczą oni w kierunku środka
2 2-m
1 1
=1,6604 10 27 , liczba Avogadro N =6,025 1023 1/mol,.
a
łodzi to jeżeli m *v >m v to łódz
popłynie do tyłu, jeżeli m *v 2 2 1 1 2 2 1 1
" = n1 __ warunek _ wzmocnieni a _ fal _ wysyanych _ ze _
1 Prędkość światła w próżni c=3 108 m/s.
łódz
popłynie do przodu, jeżeli m *v =m *v to łódz
pozostanie nieruchoma.
2 2 1 1
szczelin - pr ąrąż _ jasny , , , , ,
Pomijając opory wody zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona łódz

 Obliczamy defekt masy z równania
2
wprawiona w ruch z prędkością v będzie się cały czas z tą prędkością
" = ( 2 n - 1) __ warunek _ wygaszania _ fal _
2
2 "m = 2 m + 2 m - m
p n He
poruszała, aż do napotkania oporu ruchu.
( pr ąrąż _ ciemny ) __________ _______ czyli Energia wydzielana przy powstawaniu jednego jądra helu wynosi:
Zad.63
 2 n1 14 E="mc2 =(2 m + 2 m - m ) c2
p n He
2 Poruszające się ciało o masie m zderza się z ciałem nieruchomym o masie
1
n1 = ( 2 n - 1) ____  =  = 600 [ nm ] * = 442 [ nm ]
1 2 2 1
Obliczamy liczbę jąder N w jednym gramie helu:
2 2 n - 1 19
2 m . Uważając zderzenie za idealnie niesprężyste i centralne, oblicz jaka część
2
N= N m/� gdzie m=1g, �-liczba atomowa (�=2)
a
n1 = 7 ___ n = 10
k1
2 � początkowej energii kinetycznej E zamienia się na ciepło. Zadanie to
E=[2(mp + mn)- mHe ] c2 Na m/�
D46.Stała siatki dyfrakcyjnej d=10^-2mm, a szerokość części przez
roczystej rozwiąż najpierw w postaci ogólnej a następnie w przypadku: a) m =m ; b)
1 2
ENERGIA RELATYWISTYCZNA
a=2,5*10^-3mm.Ile maksimów interferencyjnych z jednej strony z jednej m =9*m
1 2
99  Znajdz
energię wydzielającą się przy powstawaniu z protonów i
strony maksimum zerowego do kąta ą=30stopni będzie nieobserwowanych Dane: m ,m ; Szukane: �;
1 2
neutronów 1 g helu. Dane: masa protonu mp=1.001509 jma, masa neutronu
wskutek pokrycia się z głównymi minimami dyfrakcyjnymi dla długości fal v  prędkość ciała o masie m ; v  prędkość układu ciał o masie m +m ;
1 1 2 1 2
mn=1.008665 jma, masa jądra helu mHe=4.001509 jma, 1 jma=1.6604*10-
Z zasady zachowania pędu: m *v =(m +m )*v ; z tego v =m *v /(m +m );
=5000A? 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2
27
kg, liczba Avogardo NA=6.025*10-23 mol-1, c=3*108 m/s.
Energia przed zderzeniem  Ek1=m *v *v /2+m *0*0/2 ( prędkość
1 1 1 2
Warunek otrzymania pod kątem ą minimum interferencyjnego przy dyfrakcji
pierwszego ciała = v , prędkość drugiego ciała = 0 ); E =m *v *v /2; Energia
1 k1 1 1 1
Fraunhoffera na szczelinie o szerokości a wynosi
E=2E +2E +2E 2E jest tak małe, że można je pominąć
p n e-E
H e
po zderzeniu E =(m +m )*v *v /2; Energia przeznaczona na ciepło podczas
k2 1 2 2 2
asiną=n (m=1,2,3,4,...). Natomiast siatka dyrakcyjna daje maksima
E=2c2(m +m )-c2m =c2(2*2.016942-4,001509)=c2*0,32374 jma=3*108 eV
p n He
zderzenia E =E =E *m /(m +m ); Z tego �=E /E =m /(m +m );
c k1-E
k2 k1 2 1 2 c k1 2 1 2
interferencyjne pod kątem ą, gdy
1 jma = 1.6604*10-27kg=9.3 * 108 eV
a) dla m1=m2 �=1/2; b) dla m1=9*m2 �=1/10
N=(m/�)*N =1/4*6.025*1023=1.51*1023
A
Zad.64
n m d
E =N*E=7,25*1019 kJ
C
Ciało o masie M spada z wysokości H. W połowie wysokości zostaje trafione
sin ą = = ___ czyli _ dla _ n = m
N  liczba atomów w masie m, � - masa molowa
d a a
poziomo lecącym pociskiem, który wbija się w nie niesprężyście. Masa
0 100  Kreację pary cząsteczek elektron-pozyton uzyskano za pomocą
pocisku wynosi m=0,1*M, a jego prędkość wynosi v. Obliczyć prędkość
przyczym _ dla _ ą = 30
promieniowania elektromagnetycznego o częstotliwości f=6*1020Hz. Oblicz
układu w momencie upadku na ziemię.
-7
d 100 *10 m 1
energię kinetyczną uzyskanych cząstek. Masa spoczynkowa elektronu
Dane: M, m, H, v; Szukane v
k  prędkość układu w momencie upadku;
n = sin ą = = 10 ___ czyli _ n d" 10
- 7
m =9*10-31 kg, stała Plancka h=6.6*10-34 Js, c=3*108 m/s.
 5 *10 m 2 0
Prędkość pionowa w dół wynosi s=g*t*t/2; t=v/g; s=v*v/(2*g); Z tego
-2 - 2
Gdzie s  aktualna droga. Dla s=H mamy
10 10
vY (s) = 2 * g * s
mamy _ zatem _ n1 = 1 * = 4 __ n2 = 2 * = 8 E=hf=2,4750 MeV
-3 -3
2,5 *10 2,5 *10
2E =hf-2m c2 E =[(hf)/2]-m c2=(E/2)-E
K 0 K 0 0
vY = 2 * g * H
E =0.50625 MeV
te _ prąrąż _ zanikn ą _ po _ obu _ stronach _ prąrąż _ zerowego 0
Prędkość pozioma do połowy drogi jest równa 0. W wyniku uderzenia rośnie
E =0,72525 MeV (1eV=1.6*10-19J)
K
do prędkości vx. Z zasady zachowania pędu w kierunku poziomym:
M*0+m*v=(M+m)*v ; Z tego v =m*v/(M+m);v =m*v/(11*m); v =v/11;
101  Relatywistyczna masa poruszającej się cząstki jest n=1.25 razy większa X X X X
D38. Równanie z
ródła drgań jest u=4sin(600Ąt)cm. Znalez
ć dla rozchodzącej
Ponieważ wektory v i v s ą prostopadłe do siebie, to wartość:
od jej masy spoczynkowej. Oblicz prędkość cząstki. c=3*108m/s. X Y
się fali płaskiej wychylenie z położenia równowagi w punkcie odległym o
v2
2
vk = v2 + yx = 2* g * H +
l=75cm od z
ródła, po upływie �=0.01s od rozpoczęcia drgań. Drgania y
121
rozchodzą się z prędkością v=300m/s. m0 m0 3 m
SIA
A BEZWA
ADNOŚCI
m = �! 1,25m0 = �! v = c = 1,9 *108[ ]
y(t) = A sin(t�) = 4 sin(600*tĄ ) y(t, x) = Asin[� *t - kx] 5 s D33. Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością v=10 m/s po torze kołowym. Kąt
v v
1 - ( )2 1 - ( )2
nachylenia płaszczyzny roweru do poziomu wynosi ą=30�. Oblicz promień
c c
2Ą 2Ą � x
toru.
102  Cząstka o masie spoczynkowej m przyspieszona została do prędkości
k = = = x = l t = � y(t, x) = Asin[�(t - )] 0
 vT v v
v=0.6c. c=3*108m/s. Jak zmieniła się masa cząsteczki i jaka jest jej energia
P mg Rg
tgą = = =
kinetyczna ? (m =6.64*10-27kg)
0
D39. Równanie z
ródła drgań jest u=Asin((2Ąt)/T). Wychylenie z położenia
Fod mv2 v2
równowagi punktu, znajdującego się w odległości 4 cm od z
ródła drgań, w
R
chwili t=T/6 jest równe połowie amplitudy. Znalez
ć długość fali płaskiej
v2tgą 100* 3
powodującej to wychylenie.
m0 R = = =17,66m
m = = 8,3*10-27
g 9,81
2Ą 2Ą 2Ą �
v
y(t) = A sin( *t) = A sin(� *t) k = = =
1- ( )2 D34. Jaki powinien być minimalny współczynnik tarcia między oponami
T  vT v
c
samochodu a asfaltem, aby samochód mógł przejechać bez poślizgu zakręt o
m=1.25m
0 promieniu R=100m z prędkością v=80km/h? Jezdnia nachylona jest pod
x A 2Ą 2Ą �ł T l �ł Ą
�ł E =(m-m )c2=0.25m c2=1,5*10-10 [J]
y(t, x) = Asin[�(t - )] = � = - �ł = n2Ą ą K 0 0
kątem ą=60� do poziomu.
�ł �ł
v 2 T T 6 v 6
�ł łł
mv2
103  W wyniku rozpadu pewnej cząstki powstają dwie nowe cząstki o Fs = cosą
12*l 12*l F + T d" P P = mg sin ą R
s s s
masach m i m . Wartości pędów powstałych cząstek wynoszą odpowiednio p
1 2 1
 = lub  =
�ł �ł
-12* n +1 -12* n + 3
i p2, a kąt między nimi równy jest ą. Jaka była masa M rozpędzonej cząstki ? �ł
mv2 �ł
T = �(P + F )= � mg cosą + sin ą �ł
2 �ł
n n
E2 = E0 + p2c2
R
�ł �ł
�ł łł

p = p1+ p2, p1 = cosą1p1, p2 = cosą2 p2
gR sin ą - v2 cosą
� =
2 2 2 2 2
EOM + p2c2 = EO1 + p1 c2 + EO2 + p2c2 gR cosą + v2 siną
p=p cosą1 2 D35. Po ilu obrotach kulka regulatora odśrodkowego wprawionego w ruch ze
1 +p cosą2
p siną1 2 stałym przyspieszeniem kątowym � odchyli się o kąt ą?
1 =p siną2
ą1 =ą (rozwiązać należy ten układ równań)
+ą2
mv2
Fod R v2
v =�R
tgą = = =
P mg gR
� = t�
g � g
R2�2 t2�
t2 = N 2  =
tgą = � = = N 2 
2 2
2
� cosą
l� cosą gR 2
g
N =
4 l� cosą
D36. Pocisk wystrzelono z prędkością początkową v =1000 m/s skierowaną
0
pod kątem ą=60� do poziomu z działa skierowanego na południe
znajdującego się na półkuli północnej w miejscu o szerokości geofraficznej
�=60�. Obliczyć odchylenie pocisku od linii strzału w chwili upadku. Okres
obrotu Ziemi T=86201s.
V0 sin ą 2V0 sin ą
t = 2tw Vy(tw) = V0 sin ą - gtw tw = t =
g g
2  �ł łł 2 
V0x = V0 cosą � = ac = -2�ł� � vxśł ac = 2 V0 cosą sin �
T T
�ł �ł
�ł
act2 1 4  2V0 siną �ł2
Sc = = V0 cosą sin ��ł �ł
�ł �ł
2 2 T g
�ł łł
DRGANIA HARMONICZNE POLE ELEKTRYCZNE POLE MAGNETYCZNE PRZEWODNIKA Z PR
DEM
D79.Maksymalna prędkość punktu drgającego ruchem harmonicznym D26. W jednorodnie naładowanej kuli, z gęstością objętościową , o D32  Znalez
ć indukcję pola magnetycznego do prądu I, który wpływa z
�
punktu O i rozchodzi się radialnie po nieskończonej płaszczyz
nie XOY.
2
maksymalne przyspieszenie . Napisać
a = 3 .14 m / s promieniu R znajduje się sferyczna wnęka o promieniu R . Odległość między
0 1
Nie umie przeczytać tego zadania z ksera a poza tym w książce wyszedł inny
V0 = 2m / s
środkiem wnęki i środkiem kuli wynosi a. Znalez
ć wektor natężenia pola
wynik.
równanie ruchu tego punktu(zależność wychylenia od czasu),jeżeli wiadomo,
elektrycznego wewnątrz wnęki i wykazać, że jest ono jednorodne.
D33  Przez dwa długie, cienkie, współosiowe cylindry przewodzące o
że faza początkowa � = 0
promieniach R i R > R , płynie w kierunkach przeciwnych prąd o natężeniu
1 2 1
D27. Do dwóch uziemionych kulek metalowych B i C, o promieniu R,
I. Znalez
ć rozkład wektora indukcji w przestrzeni.
Rozw
znajdujących się w odległości r>>R, zbliżono kulkę A o tym samym
Zgodnie z tw . Ampera:
Równanie ruchu drgającego ma postać X (t ) = A sin(�t + � )
promieniu, naładowaną ładunkiem Q również na odległość r tak jak na N
A
Ś H d l = Ł Ii
rysunku obok. Znalez
ć jakim ładunkiem Q i Q naładują się kulki B i C oraz
B C i=1
Przy czym u nas � = 0
jaką pracę wykonała siła zewnętrzna, jeśli kulka została przeniesiona z
dla rozpatrywanego przypadku:
H 2Ąr = ŁIi
nieskończoności.
Prędkość V (t ) = dx / dt = A� cos(�t + � )
A B C dla 01
2
Przysp dal r>R2 H2Ąr=+I-I=0 czyli H=0
a ( t ) = - A � sin( � t + � )
dla R 1 2
�r�0I
�r�0I �r �0I
A� = V0 ___ � = a / V0 = 3.14 / 2 = Ą / 2[1 / s ]
B = �r�0H =
0
B1 = B2 =
2Ąr
2ĄR1 2ĄR2
2 2
Czyli A� = a __ A = V0 / � = V0 / a = 4 / Ą [ m ]
D34  Załóżmy, że indukcja pola magnetycznego wewnątrz długiego
0 0
przewodnika o promieniu R wzrasta proporcjonalnie do czasu B (wektor) = �
4
(wektor) t, natomiast w przestrzeni na zewnątrz przewodnika B (wektor) = 0.
Jakie pole elektryczne powstanie w przestrzeni wokół przewodnika?
_______ X ( t ) = sin( Ąt / 2 )[ m ]
Zakładamy, że pole B (wektor) istnieje wewnątrz przewodnika jest
Ą
jednorodne i równoległe do jego osi symetrii.
D80 Drgający harmonicznie kamerton jest z
ródłem fali akustycznej o długości  i prędkości v.
r r r>>R W płaszczyz
nie prostopadłej do zmiennego pola magnetycznego powstaje
Obliczyć maksymalną prędkość punktu kamertonu drgającego z amplitudą A. Po jakim czasie
Na kulkach B i C indukuje się ładunek przeciwnego znaku. Ten ładunek wirowe pole elektryczne przy czym na podstawie prawa Maxwella:
prędkość tego punktu będzie n razy mniejsza od prędkości maksymalnej? Obliczenia

można obliczyć metodą  obrazów zwierciadlanych . Wtedy otrzymamy
numeryczne wykonać dla =1m, v=340m/s,A=0.5mm, n=2. dŚB
Ś E d l = -
Q = Q *(R/r) analogicznie Q = Q *(R/2r)
Rozw wiadomo, że =VT=V/ł wtedy ł=V/  B A C A
dt
Praca sił zewnętrznych przy przesuwaniu ładunku Q z nieskończoności
Ponieważ A
czyli:
odpowiada energii potencjalnej układu ładunków. Wiadomo, że
dŚB
E2Ąr =
W=k*(q *q )/r , zatem W=k*(Q *Q )/r+k*(Q *Q )/2r+k*(Q *Q )/r zatem -
1 2 A B A C B C
V0 = A� = A 2Ął = 2ĄVA / 
dt
2 2
W=(1/(4Ą� r))[Q Q +(Q Q )/2+Q Q ]= (1/(4Ą� r))[ Q (R/r)  Q (R/2r)+
ż A B A C B C ż A A dla 0- 4
ŚB = BĄr2 = Ąr2Bt
2 2 2
V0 = 2Ą 340 * 5 * 10 = 1.07[ m / s ]
+ Q (R2/2r2)]=(Q /(4Ą� r3))[ Rr (Rr/2)+R2/2]= (Q /(8Ą� r3))[ 3Rr+R2]
A A ż A ż
czyli E=-1/2Br (znak wyznacza zwrot wektora E)
2 2
- 4 3
W=((Q R)/(8Ą� r3))(R 3r) ponieważ r>>R to WH" ((3Q R)/(8Ą� r2))
A ż A ż
dla r>R
V ( t ) = V0 cos �t __ gdzie __ � = V0 / A = 1.07 / 5 * 10 = 2.14 * 10 [1 / s ]
ŚB = BĄR2 = ĄR2Bt
D28. Kondensator płaski ma okładki kwadratowe o boku l znajdujące się w
cos(�t ) = V ( t ) / V0 = 1 / n = 1 / 2 __ wtedy __ �t = Ą / 3
odległości d od siebie. Pomiędzy te okładki wstawiono ściśle dopasowany
- 4 BR2
E = -
A = Ą / 3� = Ą / 3 * 2.14 * 1000 = 4.9 * 10 [ s ]
blok dielektryka o względnej przenikalności elektrycznej równej �. Po
2r
D81 Jak należy zmienić długość l wahadła matematycznego, aby naładowaniu kondensatora do napięcia U z
ródło napięcia odłączono.
D35  Płaski dysk o promieniu R, naładowany ładunkiem o stałej gęstości
skompensować wpływ przyrostu temperatury "T na jego okres wahań? Następnie wyciągnięto dielektryk równolegle do okładek, tak że na odcinku o
powierzchniowej �, wiruje wokół swej osi z prędkością kątową�. Znalez
ć
Współczynnik cieplnej rozszerzalności liniowej nici wahadła wynosi . długości x pomiędzy okładkami kondensatora było już tylko powietrze. Na
wektor indukcji magnetycznej w środku dysku
Obliczenia numeryczne wykonać dla l=100cm,"T=50K, =2/100000[1/K]. odcinku o długości l-x nadal pozostawał pomiędzy okładkami kondensatora
Podczas obrotu wąski pierścień o promieniu r i szerokości dr stanowi  nitkę
ROZw okres drgań wahadła matematycznego wynosi
blok dielektryka. Wyznacz wartość i kierunek siły zewnętrznej prądową gdzie w czasie T= (2Ą)/� przepływa ładunek dQ=�2Ąrdr zaś
F
o
dQ 2Ą�rdr�
utrzymującej blok dielektryka w takim położeniu.
� = 2Ą l / g ___ l __ dłługoś _ w _ temp _ 0 C dI = = = �rdr�
0 0 0
T 2Ą
prąd ten wytwarza w środku pierścienia pole magnetyczne o indukcji:
Ponieważ z
ródło zostało odłączone to
� = 2Ą l / g __ gdzie __ l = l (1 + "T ) __ dłługoś _ w _ temp __ T
0
I
l Q=C U=const , gdzie C =�r� (l2/D) �r�0 dI
o o ż
H =
dB =
czyli __ "l = l "T __ ale __ "l = l"T /(1 + "T )
0 l x po wyciągnięciu płytki o x mamy dwa 2 r 2r
-5
zatem
�r Q kondensatory połączone równolegle
2 * 10 * 50 - 3 R
10
(sumują się ładunki na płytkach), czyli 1 1
"l = 100[ cm ] * = 100[ cm ] H" 0.1cm = 1mm dB = �0�r�� = �0�r�R
-3 +"dr
2 2
-5 1+10 C =�ż(lx/D)+ �ż�r((l x)l)/D zaś energia
1 0
1 + 2 * 10 * 50
x W=Q2/2C =(1/2)*(C U2/C )=
1 o 1 IDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
D36  Pręt o długości l i masie m położono na dwóch szynach nachylonych
_____ =(1/2)�ż�r(l2/D)U2(C /C )
o 1
D82 Wahadło matematyczne o długości cm wykonuje w
l = 81
1
pod kątem ą do poziomu. Szyny znajdują się w polu magnetycznym o indukcji
| D | ___ W=(1/2)�ż�r(l2/D)U2[(�ż�r(l2/D))/
B, której wektor ma kierunek pionowy w dół. Obliczyć maksymalną prędkość
_ /(�ż(lx/D)+�ż�r((l x)l)/D)]= =(1/2)�ż�r*
pewnym czasie n1 = 20 drgań. Jak należy zmienić długość tego wahadła, v jaką może uzyskać pręt, gdy szyny są zawarte na końcu oporem R.
m
*(l2/D)U2*((�rl)/(x+�r(l x))) Ponieważ Współczynnik tarcie pręta o szyny wynosi f.
"W
aby w tym samym czasie uzyskać drgań? F = -( ) Ponieważ strumień przenikający przez kontur obwodu wynosi ŚB=BPlx
n = 18
2
"x
(B =Bcosą) to wytwarza się SEM indukcji
p
to F=(1/2)�ż�r2(l3/D)U2[(1 �r)/(x+�r(l x))2]= (1/2)�ż�r2(l3/D)U2*
dŚB dx
t = n 2Ą l / g __ dla __ wahad _ o _ dłługośc__ l � = - = -B cosąl = -B cosąl ?????
ła
1 1 1 *( (�r 1)/(�rl x(�r 1))2)=  (�ż�r2 l3U2)/[2D(�r 1)*(�rl/(�r 1) x)2]
dt dt
Wówczas pojawi się siła elektrodynamiczna przeciwdziałająca zsuwaniu się
D29. Jaką pracę należy wykonać, aby między okładki płaskiego kondensatora
pręta FL=-BpJl gdzie I=E/R zatem FL=(B2cos2 ąl2v)/R
t = n 2Ą l / g __ dla _ wahad _ o _ dłługośc__ l
ła
o pojemności C wsunąć elektrycznie obojętną metalową płytę o powierzchni
2 2 2
równej powierzchni kondensatora? Odległość między okładkami
D37  Zwój w kształcie płaskiej ramki o powierzchni S =5cm2 i oporze
kondensatora wynosi d a grubość płyty g. Rozpatrzyć przypadki: a)
R1=2&! jest połączony z galwanometrem balistycznym o oporze R2=48&!.
kondensator jest podłączony ze z
ródłem napięcia U, b) kondensator
Rozw n 2Ą l / g = n Ą l / g Zwój znajduje się jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B=0.2T, przy
1 1 2 2
naładowany do napięcia U jest odłączony od z
ródła.
czym płaszczyzna ramki jest prostopadła do linii sił. Jaki ładunek popłynie
przez galwanometr, jeżeli ramka zostanie obrócona o kąta =180�?
2 2
S Sytuacja wyjściowa C =� "s/d
o ż Gdy ramkę obracamy od ą=0� do ą=90� popłynie prąd przeciwdziałający
l / l = ( n / n ) = ( 20 / 18) ___ l = 81[ cm] * 1.234 = 100[ cm]
2 1 1 2 2
zmniejszaniu się strumienia magnetycznego w kierunku zgodnym z ruchem
a) W =1/2*C U2 (U=const!)
o o wskazówek zegara
sytuacja końcowa
dŚB
n
2 E = - = I (R1 + R2)
1
_______ W =1/2*C U2 gdzie C =� "s(d  g)
1 1 1 ż
"t
"l = l - l = l [( ) - 1] = 19[ cm]
2 1 1 | d | ____ praca wykonana
przy czym I="Q/"t Ś =BS, Ś =0 czyli:
B0 B1
__ "W=W =1/2*C U2(C /C
o o 1 o-1)=
n 1-W
("t się skraca)
2 BS "Q
U =1/2*C U2[d/(d  g)  1]=
o
= (R1 + R2)
D83 Jeżeli wagon jest w spoczynku to częstotliwość drgań wahadła =1/2*C U2((d  d+g)/(d  g))=
o "t "t
matematycznego znajdującego się w tym wagonie wynosi f=0.5Hz. Oblicz =1/2*C U2(g/(d  g))
o
BS 0,2*5*10-4
częstotliwość drgań tego wahadła w wagonie poruszającym się po torze b) z
ródło odłączone (Q=C U=const) stąd W =Q2/2C =Co2U2/2C
o 1 1 1 "Q = = = 2*10-6[C]
R1 + R2 50
poziomym z przyspieszeniem a=4.9m/(s*s). Płaszczyzna drgań wahadła jest
praca "W=W =1/2*C U2(C /C U2((d  g)/d  1)=
1  W o
o o o 1  1)=1/2*C
równoległa do kierunku ruchu wagonu. Przyspieszenie ziemskie
=1/2*C U2((d  g  d)/d)=  1/2*C U2(g/d)
o o
g=9.8m/(s*s).
D30. Korzystając z zasady superpozycji oddziaływań obliczyć potencjał pola
N m2 NmA JC
Rozw A
atwo wykazać, że okres drgań wahadła mat o długości l wyraża się
elektrycznego wytworzonego przez dipol elektryczny w odległości r od środka ["Q] = = = = C
V J
Am J
dipola: a) na symetralnej odcinka łączącego obydwa ładunki b) na prostej A
wzorem gdzie F to efektywna siła działająca na ciało u nas
T = 2 Ą ml / F
A C
łączącej obydwa ładunki.
przy obrocie od kąta ą=90� do ą=180� strumień narasta i wtedy kierunek
2 2 2 2 a) _______l______ Ćę=k(+q)/r+k( q)/r=0
zatem dla przypadku gdy
F = ( mg) + (ma) T = 2Ą l / g + a = 1 / f prądu zmienia się na przeciwny a przez obwód popłynie identyczny ładunek
-q | +q
"Q=2*10-6 C w kierunku przeciwnym.
r | r
F=mg zatem
T0 = 2 Ą l / g = 1 / f
0
A
pe = q *l
2 2
f g = a b) -q_____________+q _ _ _ _ _ _ B moment dipolowy
= 2 Ą l / g / 2 Ą |_________________|
r
f0 l
4 2
ĆB=k*(q/(r  l/2))+k*(  q/(r+l/2))=kq[1/(r  l/2)  1/(r+l/2)]=
f = f0 1 + ( a / g ) ___ poniewa ż __ a = 1 / 2 g __ to
4 =q/4Ą�o*((r+l/2  r+l/2)/(r2  l2/4))=ql/4Ą�ż(r2  l2/4) lub
f = f0 1 + 1 / 4 = 1.057 f0 = 0.529 [ Hz
ĆB=pe/4Ą�ż(r2  l2/4)
D84 Okres wahań matematycznego wahadła wykonanego z nieprzewodzącej
nici i małej kulki o masie m=25g wynosi Po naładowaniu kulki
T1 = 1.5 s
D31. W zewnętrznym polu elektrycznym, o stałym kierunku wektora ,
E
umieszczono dipol o momencie dipolowym
ładunkiem q=1.5/1000C okres wahadła wynosi Oblicz natężenie
T2 = 1.12s
p = 5 As m ,
pola elektrycznego Ziemi(zakładamy, że kierunek tego pola pokrywa się z
tak że tworzy on z liniami sił pola kąt ą=60o . Obliczyć:
kierunkiem pola grawitacyjnego).
a) moment siły działającej na dipol w przypadku, gdy zewnętrzne pole
Rozw okres drgań wahadła wynosi gdy F=mg to elektryczne było jednorodne, a jego natężenie
T = 2 Ą ml / F
E = 2 *103 V / m
gdy F=mg+qE to
T1 = 2 Ą l / g T = 2 Ą ml /( mg + qE )
b) siłę wywieraną na dipol w przypadku, gdy zewnętrzne pole elektryczne
2
charakteryzowało się stałym gradientem:
" E
2
2 2 = 2 V / m
" x
�ł łł
T1 T
�ł �ł �ł �ł
1
stąd = 1 + qE / mg___E = mg/ q - 1 + = 132N / C] (zakładamy, że pole było skierowane wzdłuż osi OX).
[
�ł �ł �ł �ł �ł śł
T2 T2
�ł łł �ł łł
�ł śł a) siły odziaływania na dipol tworzą moment siły, który stara się obrócić
�ł �ł
dipol
M=F*(l/2)+F*(l/2)=F*l=E ql=E p czyli M=E*siną*p lub
1 1 e e
M = pe � E
M=peEsiną
pe=5[C*m] E=2*103[N/C] M=5 *103[Nm]
3
b) wypadkowa siła wynosi F=F przy czym E =("E/"x)*l
+ F =qE 2 1 E
1 qE 2
czyli F=ql("E/"x)= pe("E/"x)=5[C*m]*2[N/(C*m)]=10[N]
POLE ELEKTRYCZNE D92 (128) Obliczyć logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła o D86 (121) Na gumce o długości l i promieniu r wisi odważnik o masie m.
D 20. Dwa nieskończenie długie, równoległe przewodniki, naładowane długości l=50 cm, jeżeli w ciągu 8 minut wahań traci ono 99% swojej Wiedząc, że moduł Younga dla tej gumy jest równy E znalez
ć okres
ładunkiem tego samego znaku z tą samą gęstością liniową , leżą w energii. drgań odważnika.
odległości d od siebie. Określić potencjał pola elektrycznego w punkcie
leżącym w odległościach, odpowiednio r i r od tych przewodników.
1 2 Fl
2 " g
2 2
Przyjąć, że potencjał pola od jednego przewodnika jest równy zeru w
� = � -� = gdzie �0 = -częstość drgań nie tłumionych;
0
x = F = - kx
odległości d od niego. T l
2
" Er
�
Walec współśrodkowy stanowi pow. Gaussa, stąd:
Energia wynosi: oraz � =
Fl
T
�e=ESĄ"=E 2 rl " Er2
F = - k k=-
oraz �e=ŁQi/E0 E=/2 E0r
l
2
1
ponieważ E=-d�/dr to d�=-Edr= -/2 E *dr/r " Er2
0
E = kA0
0
"�=�(r) - �(d) = -/2 E0 d+"r dr/r = -/2 E0 ln(r/d)
2
- � .t
Z war. zadania �(d)
k " Er2
gdzie A( t ) = A0e
� �
Stąd �(r1)=/2 E0 ln(d/ r1) 0= 0=
1 2
m lm
�(r2)=/2 E0 ln(d/ r2) E ( t ) = kA( t )
2 "
�c=�(r1)- �(r2)=/2 E0 [ln(d/ r1)+ ln(d/ r2)]= /2 E0 ln(d2/r1r2)
2 2 " lm
T = T = = 2 "
21- Cienki pręt o długości 2a został naładowany ze stałą gęstością liniową
�
" Er2
E ( t ) -2 � ..t
1
ładunku  . Znalez
ć moduł natężenia pola i potencjał pola jako funkcję
" Er2
czyli = e =
odległości r od środka pręta dla punktów leżących na osi pręta. Rozpatrzyć
lm
E 100
0
przypadek, gdy r " .
D87 (122) Na cienkiej nici o długości l zawieszono kulę o promieniu
Dzielimy pręt na bardzo małe fragmenty o długości dx, na których jest - 2 � . t - 2
R=0.1l. Wyznaczyć błąd względny E, jaki zostanie popełniony przy
e = 10
ładunek dq=dx. Natężenie pola elektrycznego od tego ładunku wynosi: obliczaniu okresu drgań, jeśli potraktuje się ten układ jako wahadło
- 2 � .t = - 2 ln 10 matematyczne.
dq 1 dx
dE = k = ; całkowite natężenie : l '=l + R=1.1l Dla wahadła matematycznego mamy:
ln 10
4Ą�0 � =
x2 x2
t l ' 1.1l
Tmat =2 " =2 "
r+a
r+a
g g
 dx  �ł 1 łł
2 " 2 "
E = = =
Dla wahadła fizycznego:
+" śł
T = =
4Ą�0 r-a x2 4Ą�0 �ł- x
�ł �łr-a
I 2
2 2 2
� -� � T =2 " gdzie I =ml '2 + mR2 więc
0 fiz
0
� -1
mgl 5
( )
 �ł 1 1 łł
�
= - ;
śł
2
4Ą�0 �ł r - a r + a
�ł �ł
2 " 2 " l '2 + R2
5
� = �T = = = 0,068
T =2 "
fiz
 r + a - r + a  a
gl '
2 2
E = = ;
� g t
0
-1 -1 Błąd względny:
4Ą�0 - a2 r - a2 ( ) ( )
2Ą�0 2
r2
� l ln10
Tmat -T
fiz Tmat
D85 Wyobraz
my sobie szyb przecinający na wskroś kulę ziemską wzdłuż średnicy. Podać
a q
E = = - 1
równanie ruchu ciała, które wpadło w ten szyb, biorąc pod uwagę zmienną wartość siły ciężkości
gdy a<2 2 wewnątrz Ziemi. Obliczyć czas w ciągu którego ciało osiągnie środek Ziemi oraz prędkość z
T T
fiz fiz
2Ą�0r 4Ą�0r
jaką go minie Przy założeniu, że gęstość Ziemi jest stała siła działająca na ciało we wnętrzu
Ziemi jest wprost proporcjonalna do jego odległości od środka Ziemi.
dq 1 dx Rozw Ponieważ oddziaływanie zewnętrznej powłoki znosi się to siła
l ' 1 gl ' l '2
potencjał pola wynosi: d� = k = ; E =2 " * -1= -1
działająca na ciało w odległości x od środka Ziemi wynosi
2 2
g 2 "
dx 4Ą�0 x
l '2 + R2 l '2 + R2
5 5
4
r+a
3
 dx   r + a F(x)=GM(x)m/(x*x) gdzie M(x)=ro zaś na pow Ziemi
Ąx
� = = ln x |r+a = ln dla
+" E = -0,066..%
3
4Ą�0 r-a x 4Ą�0 r-a 4Ą�0 r - a
D88 (123) Płytka wykonuje drgania harmoniczne w kierunku poziomym o
małych a mamy: 3 okresie T=5s. Spoczywający na tej płytce przedmiot zaczyna się poruszać po
F�=GM�m/(R*R)=mg gdzie M�=ro4/3 ĄR ___stąt ___F(X) / F(R) = x / R
powierzchni płytki z chwilą, gdy amplituda drgań osiąga wartość A=0.4m.
a
1 + Możemy powiedzieć o tym rucu harmoniczny i otzymujemy równanie ruchu Jaki jest współczynnik tarcia pomiędzy płytką a przedmiotem?
  �ł a a łł
r
� = ln = ) - ln(1- )śł
a
4Ą�0 1 - 4Ą�0 �łln(1+ r r X ( t ) = R cos �t = R cos( g / Rt ) ___ gdzie __ � = g / R = 2Ą / T
�ł �ł
r Fbez
V ( t ) = - R� sin �t __ gdzie ___ V0 = R�
ale ln(1+x)H"x dla x<<1 (rozwinięcie w szereg), zatem: T
V0 R g / R = gR
 �ł a a �ł a q
1 R Ą R
� = �ł + �ł = lub f =
�ł mg
t = T / 4 = 2Ą =
4Ą�0 �ł r r 2Ą�0r 4Ą�0r
�ł łł
4 g 2 g
22- A
adunek elektryczny +q rozłożony jest równomiernie na cienkim drucie
tworzącym okrąg o promieniu r. Okrąg ten leży w płaszczyz
nie YOZ
Klocek zacznie się poruszać, gdy:
kartezjańskiego układu współrzędnych tak, że jego środek pokrywa się z

początkiem układu. W początku układu współrzędnych znajduje się ładunek
Fbez =- m a0 e"T =�mg gdzie a0=-�2A
-q. Znalez
ć zależność natężenia pola elektrycznego od współrzędnej X, w
dużej odległości od układu ładunków, czyli dla |x| >> r.
Każde dwa symetrycznie położone fragmenty pierścienia tworzą identyczny
2 " 4 "2
układ sił pola elektrycznego.
� = czyli Ae"�g
2
T
T
q
E x
2
4 "2 A 4 "2 0, 4
E1 = E2 = k ; = E1 cosą gdzie cosą = ;
� = = =0,064
r
r2 2 2
9,81*25
gT
D91 (127) Logarytmiczny dekrement drgań tłumionych wahadła
1
r2 = R2 + x2 ; k = ; zatem:
matematycznego równa się �=0,02. Obliczyć ile razy zmniejszy się
4Ą�0
amplituda drgań po 100 całkowitych wahnięciach.
q Dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi �=�T oraz A(t )= A0e- �t
1 x qx
2
E(+) = 2 = ; od tego należy odjąć:
-�
t
4Ą�0 2 r
r 4Ą�0r3
T
A(t )= A0e
q q 1
dla t=100T
E(-) = k = , czyli:
A0
4Ą�0
x2 x2
=e-100� =e-2 =0,1353
A(t )
�ł łł
q �ł x 1 łł q x 1 A0
�ł śł
lub =7,39 razy.
E = - = - ; lub:
A(t )
4Ą�0 �ł śł 4Ą�0 �ł (R2 + x2)32 śł
r3 x2 �ł x2 śł
�ł �ł
�ł �ł D93 (129) Wagon kolejowy o ciężarze Q =21582N jest zawieszony na 4
0
resorach. Przy zwiększeniu obciążenia o Q1=9810N resor ugina się o
�ł łł s=0,016m. Dla jakiej prędkości pociągu mogą wystąpić rezonansowe
�ł śł drgania wagonu pod wpływem uderzeń kół o złącza szyn? Długość szyn
l=12,5m.
�ł śł
q x 1
Aby doszło do rezonansu, okres uderzeń kół o łączenia szyn musi być równy
�ł śł
E = - =
okresoei drgań własnych wagonu.
4Ą�0 �ł �ł �ł32 śł
�ł R2 �ł x2 śł m Q0
Twag =2 " gdzie m=
x3�ł1 +
�ł
�ł �ł k g
x2 śł
�ł �ł łł śł
�ł �ł
k Q1 Q1
natomiast = �!k =4 czyli
3
�ł - łł 4 s s
q R2 �ł 2
�ł�ł1+ �ł -1śł ; rozwińmy w szereg wyrażenie:
�ł
=
Q0s Q0s
Twag =2 " ="
4Ą�0 �ł�ł x2 �ł śł
4Q1g Q1g
�ł�ł łł śł
�ł �ł
Ponieważ wagon uderza o szyny po przebyciu drogi l będące j długością szyn
3
-
l
2
�ł �ł to Tstuk = Warunek równowagi daje:
R2
v
�ł1+ R2 �ł
w szereg biorąc: << 1 ; zatem:
�ł �ł
x2 x2
l
�ł łł Qos
= "
v
Q1g
�ł
q 3 R2 łł 3qR2
E H" 1- -1 ; E = - lub
�ł śł
l
Q1g m km
4Ą�0x2 �ł 2 x2 śł 8Ą�0x4
v = = 66, 42 = 239
s h
�ł �ł
"
Q0s
r
r
3qR2
E = - x
8Ą�0x5
23- Wzdłuż cienkiego pierścienia o promieniu R rozłożony jest równomiernie
ładunek +q. Znalez
ć prędkość ładunku  q o masie m w chwili przechodzenia
przez środek pierścienia, jeśli ładunek  q początkowo spoczywa w punkcie A
na osi pierścienia w bardzo dużej odległości od niego.
Analogicznie jak w zadaniu 22 układ równoważny jest takiemu:
q q
k k
kq
2 2
� = + = dla x=" � H"0 gdyż
A
A
r r r
q
r = R2 + x2 dla x=0 r=R; czyli �(0) = k ; napięcie między
R
1 q
punktami A i 0 wynosi: U = �(0) - �(A) = ; praca sił
4Ą�0 R
pola elektrycznego nad ładunkiem -q wynosi:
mv2 q2 mv2
W = Uq = "Ekin = ; stąd mamy = ;
2 4Ą�0R 2
q2 q2
v02 = ; v0 =
2Ą�0mR 2Ą�0mR
24- Korzystając z prawa Gaussa znalez
ć natężenie pola elektrycznego
wytwarzanego przez nieskończoną płaszczyznę z gęstością powierzchniową
�.
def
�E = ESĄ" = E2"S ; oraz wg tw. Gaussa:
ŁQi �"S �"S �
�E = = ; stąd: E2"S = ; E = .
�0 �0 �0 2�0