dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
Przykład 1.
1. Znalez
ć maksymalną wartość momentu zginającego jaki może przenieść belka żelbetowa
pojedynczo zbrojona o przekroju b x h = 0.25 x 0.50 m, wykonana z betonu klasy C20/25.
Belka pracuje w środowisku X0.
2. Dla obliczonego momentu maksymalnego wyznaczyć niezbędną powierzchnię zbrojenia ze
stali klasy C (gatunku B500 SP).
Dane:
Wskazana klasa betonu dla klasy ekspozycji X0 tab. E.1N str. 191 C12/15)
przyjęto beton klasy C20/25 z tab. 3.1. PN-EN:
fck=20 MPa,
fck 20
fcd = = fcd=13.33 MPa,
Å‚c 1.5
fctm=2.2 MPa, fctk=1.5 MPa,
fctk 1.5
fctd = = fctd=1.0 MPa,
Å‚c 1.5
o
µcu3=3.5 =0.0035
oo
stal (na podstawie tab. C1; zał. C, str. 187) klasy C:
na podstawie danych producenta przyjęto:
gatunek stali B500 SP fyd=420 MPa =42 kN/cm2 = 4200 kG/cm2
Es=200 GPa=200 000MPa
przyjęto a1 = 0.07 m, zatem d = h  a1 = 0.43 m,
Wstępnie założono: Śstrzemion E" 10mm, Śzbr. gł. E" 20mm
dla klasy X0 środowiska wg tab. 4.1. str. 43
Grubość otulenia prętów  c (wg pkt. 4.4.1 PN-EN) str. 44:
cnom. = cmin +"cdev (4.1.PN-EN)
min. grubość otulenia strzemion (wg pkt. 4.4.1 str. 44):
cmin,b
Å„Å‚
ôÅ‚
cmin = max.òÅ‚cmin,dur + "cdur,Å‚ - "cdur,st - "cdur,add
ôÅ‚10mm
ół
10mm
Å„Å‚
cmin = max.ôÅ‚10mm
òÅ‚
ôÅ‚10mm
ół
cmin=10mm, "cdev = 5 mm, cnom. = 10 + 5 = 15 mm,
min. grubość otulenia prętów zbrojenia głównego (wg pkt. 4.4.1 str. 44):
12-02-26 1
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
20mm
Å„Å‚
cmin = max.ôÅ‚10mm
òÅ‚
ôÅ‚10mm
ół
cmin=20mm, "cdev = 5 mm, cnom. = 20 + 5 = 25 mm,
Rys. 1.1. Układ sił w zginanym przekroju poprzecznym  metoda dokładna
Rys. 1.2. Układ sił w zginanym przekroju poprzecznym  metoda uproszczona
OBLICZENIA METOD
UPROSZCZON
:
W chwili tuż przed zniszczeniem MEd = MRd
Wzory do wymiarowania przekroju można wyprowadzić z warunków równowagi sił wewnętrznych:
" sumy rzutów sił na oś podłużną elementu:
= 0 Ò! Fc = Fs1 Ò! fcd Å" Acc = fyd Å" As1 (1)
"Fx
" sumy momentów względem środka ciężkości zbrojenia rozciąganego:
= 0 Ò! MEd = MRd
"MAs1
MRd =fcd Å"Acc Å" (2)
Å" Å"
Å" Å" zeff
Å" Å"
12-02-26 2
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
" sumy momentów względem środka ciężkości betonu strefy ściskanej:
= 0 Ò! MEd = MRd
"MAcc
MRd = fyd Å" Å" (3)
Å"As1 Å" zeff
Å" Å"
Å" Å"
d = h  a1; zeff = d  0.5 xeff (4)
Ad 1.
µcu3
¾eff ,lim =  Å" ;
µcu3 + µyd
fyd
µyd =
Es
420
µyd = =0,0021
200000
0.0035
¾eff ,lim = 0.8Å"
0.0035 + 0,0021
¾eff,lim= 0.8 Å" 0.625 = 0.50
¾eff,lim= xeff,lim/d xeff,lim = ¾eff,lim Å" d
Acc,lim = xeff,lim Å" b, zeff,lim = d - xeff,lim/2
Podstawiając powyższe do równania (2) (równania sumy momentów względem środka ciężkości
zbrojenia rozciÄ…ganego):
Mmax = MEd = fcd Å" xeff,lim Å" b Å"( d - xeff,lim/2) (5)
xeff = xeff,lim=0.5 Å" 0.43 = 0.215 m;
0.215
Mmax =13.3 Å" 0.215 Å" 0.25 Å" (0.43- ) = 0.231 MNm= 231 kNm.
2
Ad 2.
Potrzebną powierzchnię zbrojenia wyznaczam z równania sumy momentów względem środka
ciężkości strefy ściskanej betonu, czyli z równania (3):
Mmax
As1 =
fyd Å" zeff ,lim
12-02-26 3
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
Mmax
As1 = (6)
fyd(d - 0.5xeff ,lim)
dla stali B 500SP:
0.231
As1 = =17,10x10-4 m2 = 17,10 cm2
420Å"(0.43- 0.5Å"0.215)
Przyjęto: 6 Ć 20 o As1 = 18,85 cm2.
Sprawdzenie, czy w jednym rzędzie mieści się 6 szt. prętów o średnicy 20 mm:
Dla pręta o średnicy 20 mm cnom. = 20 +5 = 25 mm
Dla strzemion wystarczy otulina 15 mm,
Odległości pomiędzy prętami  wg pkt. 8.2, str. 120:
Å„Å‚Åšmax Å" k1;k1 = 1
ôÅ‚
a = max.òÅ‚dg + k2;k2 = 5mm
ôÅ‚20mm
ół
dg  max. średnica ziaren kruszywa w betonie, zatem:
przyjmujÄ…c dg=16mm, a =16+5=21mm
2 Å"(15+10) + 6Å"20 + 5Å"21 = 275 > 250 mm. Ò! w jednym rzÄ™dzie nie mieÅ›ci siÄ™ 6 szt. prÄ™tów
Rys. 1.3. Rozmieszczenie zbrojenia w przekroju poprzecznym elementu zginanego
Położenie środka ciężkości zbrojenia:
Sx-x
ys = d" a1
As1
Sx-x - moment statyczny zbrojenia względem krawędzi rozciąganej przekroju,
As1  pole powierzchni zbrojenia rozciÄ…ganego.
Moment statyczny zbrojenia względem krawędzi rozciąganej przekroju:
12-02-26 4
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
Powierzchnia przekroju poprzecznego jednego pręta Ć 20 mm 3.14cm2 = 0.000314m2 = 3.14x10-4 m2.
Sx-x = 4 Å" 0.000314 Å"(0.015 + 0.01+ 0.01)+
2 Å" 0.000314 Å"(0.015 + 0.01+ 0.02 + 0.021+ 0.01)
= 0.0000917 m3
minimalna odległość środka ciężkości zbrojenia od dolnej krawędzi przekroju:
0.0000917
ys = = 0.0536 m 0.00171
zatem wstępne określenie położenia środka ciężkości przekroju  po stronie bezpiecznej.
" Określenie pola powierzchni zbrojenia z użyciem tablicy współczynników:
niech:
xeff
¾eff = - wzglÄ™dna wysokość strefy Å›ciskanej, (7)
d
zeff
śeff = - względne ramię sił wewnętrznych, (8)
d
As1
ÁL = - stopieÅ„ zbrojenia podÅ‚użnego (9)
b Å" d
z (7) : xeff = ¾eff d (10)
z (8): zeff = śeff d (11)
po podstawieniu (10) i (11) do (4):
Å›eff d = d  0.5 ¾eff d /:d Ò! Å›eff = 1  0.5 ¾eff (12)
Acc = xeff b (13)
Podstawiając (4) i (13) do równania (2):
MEd = fcd Å" b Å" xeff (d - 0.5 Å" xeff )
po podstawieniu (10) i wyłączeniu przed nawias  d :
MEd = fcd Å" b Å" ¾eff Å" d2 Å" (1- 0.5 Å" ¾eff ) (14)
PodstawiajÄ…c (12):
MEd = fcd Å"b Å" d2 Å" ¾eff Å" Å›eff (15)
jeÅ›li µeff (sb,Ao ) = ¾eff Å" Å›eff (16)
12-02-26 5
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
MEd = fcd Å"b Å" d2 Å" µeff (17)
z równania (17):
Mmax
µeff = (18)
fcd Å"b Å" d2
0.230
µeff = = 0.375 ¾eff = 0.5 = ¾eff ,lim Å›eff = 0.75
13.3Å" 0.25 Å" 0.432
MEd
As1 = (19)
Å›eff Å" d Å" fyd
0.230
As1 = = 17.02 x 10-4m2 = 17.02 cm2
0.75 Å" 0.43Å" 420
Przyjęto: 6 Ć 20 o As1 = 18,85 cm2.
OBLICZENIA METOD
DOKA
ADN
:
MEd = r dA , (20)
c
+"Ã
A
gdzie:
r  odległość rozpatrywanego przekroju od środka ciężkości zbrojenia rozciąganego
Po scałkowaniu:
17 33
MEd = fcd Å"b Å" xëÅ‚ Å" d - xöÅ‚ (21)
ìÅ‚ ÷Å‚
21 98
íÅ‚ Å‚Å‚
Ad. 1. + Ad. 2. na wzorach ogólnych
W celu wyznaczenia max. momentu jaki może przenieść belka należy wykonać podstawienie:
¾eff,lim
xmax=¾max Å" d, ¾max =
0.8
dla stali B500 SP ¾max = 0.5/0.8 = 0.625
(z "MAs1=0), czyli z (21):
17 33
ëÅ‚
MEd max = 13.3Å" 0.25 Å" 0.625 Å" 0.43Å" Å" 0.43 - Å" 0.625 Å" 0.43öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
21 98
íÅ‚ Å‚Å‚
MEdmax = 0.230 MNm = 230 kNm
Pole powierzchni zbrojenia należy wyznaczyć z " FX = 0 (sumy rzutów sił na oś podłużną):
fyd Å" As1 = dA (22)
c
+"Ã
(A)
12-02-26 6
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 1
po scałkowaniu:
17
fyd As1 = fcd b x (23)
21
17 1
As1 = fcd b xmax (24)
21 fyd
17 1
As1 = Å"13.3Å" 0.25 Å" 0.625 Å" 0.43Å" = 17.22 x 10-4m2 = 17.22cm2
21 420
Ad. 2. z użyciem tablic współczynników:
Tablice sporządzono korzystając z równań równowagi (23) i (21):
Z wzoru (23):
MEd 17 33
A = = ¾ëÅ‚ - ¾öÅ‚ (25)
ìÅ‚ ÷Å‚
fcd Å"b Å"d2 íÅ‚ 21 98
Å‚Å‚
Z wzoru (21) zależność pomiÄ™dzy stopniem zbrojenia ÁL i zasiÄ™giem strefy Å›ciskanej ¾:
17 fcd
ÁL = Å" ¾ (26)
21 fyd
SPOSÓB KORZYSTANIA Z TABLIC:
MEd
1. Obliczenie A = z wzoru (25).
fcd Å" b Å" d2
2. Odczytanie z tablic ÁL (stopieÅ„ zbrojenia).
3. Wyliczenie: As1 = ÁL b d (27)
Pędziwiatr z 2010r.  tablica 6. str.215;
Kamiński, Styś, Pędziwiatr z 2004r.  tablica 3.7. str.107.
12-02-26 7