KOMPUTERY, INFORMATYKA
I TECHNOLOGIA INFORMACYJNA
W NAUCZANIU MATEMATYKI
Maciej M. Sysło
Instytut Informatyki, Uniwersytet Wrocławski
ul. Przesmyckiego 20, 51-151 Wrocław
[e-mail]
The purpose of computing is insight not numbers
Celem obliczeń nie są same liczby lecz ich zrozumienie
[R.W. Hamming]
1. Wprowadzenie
Poprzednikami dzisiejszych komputerów były w przeszłości abakusy (takie, jak soroban, po-
wszechnie używany do dzisiaj w Japonii, również w szkołach na lekcjach matematyki), kalkulatory
(budowali je m.in. Pascal i Leibniz) i różnego rodzaju maszyny mechaniczne (np. maszyna różnico-
wa i maszyna analityczna Babbage a), konstruowane do wykonywania wybranych działań na liczbach
[1].
Pierwsze komputery elektroniczne były nazywane przez ich twórców, którymi głównie byli mate-
matycy, maszynami cyfrowymi (ang. digital machine) lub maszynami matematycznymi, gdyż ich
podstawowym przeznaczeniem były obliczenia matematyczne.
Powstawaniu coraz to nowych konstrukcji komputerów (rzeczywistych i teoretycznych) towarzy-
szyło wyłanianie się nowej dziedziny wiedzy  informatyki (ang. computer science), która zajmuje
się obecnie głównie: projektowaniem, realizacją, ocenianiem, zastosowaniami i konserwacją syste-
mów przetwarzania informacji z uwzględnieniem przy tym aspektów teoretycznych, sprzętowych,
programowych, organizacyjnych i ludzkich wraz z implikacjami przemysłowymi, handlowymi, pu-
blicznymi i politycznymi. Jednym z najszybciej rozwijających się działów informatyki jest algoryt-
mika, zajmująca się podstawami obliczeń komputerowych [7].
W ostatniej dekadzie jesteśmy świadkami powstawania jeszcze jednej, nowej, interdyscyplinarnej
dziedziny wiedzy  nauk obliczeniowych (ang. computing science lub computational science), które
są dotyczą stosowania komputerów w analizie problemów naukowych, pochodzących z różnych dzie-
dzin. Rozwój tej dziedziny jest związany z rosnącą popularnością metod komputerowych we wszyst-
kich naukach oraz powstawaniem coraz potężniejszych (super)komputerów. Sama moc komputerów
jest bezużyteczna, jeśli nie stoją za nią wspierające ją metody obliczeniowe. Matematyka i informaty-
ka odgrywają w tym kluczową rolę jako dziedziny dostarczające modeli matematycznych i efektyw-
nych metod ich rozwiązywania.
Nieustannie rozszerzające się zastosowania informatyki w społeczeństwie oraz zwiększenie roli
komputerów w komunikacji i wymianie informacji miało wpływ na pojawienie się nowej dziedziny,
technologii informacyjnej  TI (ang. information technology), która znacznie wykracza swoim za-
kresem poza tradycyjnie rozumianą informatykę1. Technologia informacyjna (TI) jest to zespół środ-
ków (czyli urządzeń, takich jak komputery i ich urządzenia zewnętrzne oraz sieci komputerowe)
i narzędzi (czyli oprogramowanie), jak również inne technologie (takie, jak telekomunikacja), które
służą wszechstronnemu posługiwaniu się informacją. TI obejmuje więc swoim zakresem m.in.: infor-
mację, komputery, informatykę i komunikację. Współczesna technologia informacyjna wyrosła na
bazie zastosowań komputerów, a jej decydujące znaczenie dla życia społeczeństw upoważnia do zde-
1
Coraz popularniejsze staje się w państwach Wspólnoty Europejskiej określenie technologia informacyjna
i komunikacyjna, w którym oba aspekty, informacja  jako obiekt podlegający działaniu, i komunikacja  jako
przeznaczenie informacji i cel działania technologii, zostają zrównane.
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
2
finiowania końca XX wieku jako ery informacji i jej technologii [4] Można już podać przykłady
wpływu technologii informacyjnej na osiągnięcia w matematyce. Otrzymywanie coraz większych
liczb pierwszych było dotychczas domeną superkomputerów i sprawdzianem ich rosnącej mocy. Aż
pojawiła się w sieci Internet propozycja współpracy setek lub tysięcy komputerów osobistych nad
generowaniem kolejnych, pierwszych liczb Mersenne a [8, 12, 13]. Dzięki temu, ostanie rekordowe
liczby pierwsze zostały znalezione właśnie na komputerach IBM PC.
Maszyny wspomagające obliczenia są, z jednej strony, oparte na własnościach działań, a ogólniej 
algorytmów, do wykonywania których zostały zaprojektowane, a z drugiej  miały i nadal mają duży
wpływ na rozwój metod obliczeniowych oraz matematyki. Druga część tego stwierdzenia odnosi się
zwłaszcza do komputerów programowalnych. Nie ma przesady w stwierdzeniu, że komputery, obli-
czenia komputerowe i komputerowe metody matematyczne stały się integralną częścią nauk
matematycznych. W ograniczonym zakresie, odnosi się to również do kalkulatorów.
Komputery pojawiły się w dociekaniach matematyków, a dzisiaj występują powszechnie
w codziennym wykonywaniu obliczeń. Powinny więc zostać uwzględnione również w nauczaniu ma-
tematyki, jako element wiedzy matematycznej oraz wyposażenie ucznia, przygotowywanego do sto-
sowania matematyki na co dzień, w trakcie zdobywania wykształcenia, a póz
niej  w życiu zawodo-
wym. W integrowaniu komputerów z matematyką pomocna może być informatyka i technologia in-
formacyjna, dostarczające podstaw i metod posługiwania się komputerami oraz przykładów dobrej
praktyki w ich stosowaniu.
1.1. Wybrane fakty z historii informatyki na tle historii matematyki
Historia informatyki, w tym  historia komputerów, jest nierozerwalnie związana z historią mate-
matyki, tworzyli ją bowiem często ci sami ludzie. Dopiero w ostatnich latach, największy postęp
w rozwoju komputerów i metod obliczeniowych zawdzięczamy również osiągnięciom w innych dzie-
dzinach, takich jak technika (przyspieszanie obliczeń dzięki szybszym procesorom i ich zwielokrot-
nianiu), nauki przyrodnicze (komputery neuronowe, nowe metody, takie jak algorytmy genetyczne).
Chociaż określenie algorytm wiąże się z nazwiskiem matematyka żyjącego pod koniec pierwszego
tysiąclecia naszej ery a dziedzina algorytmika, zajmująca się tworzeniem i badaniem własności algo-
rytmów, ukształtowała się przy końcu drugiego tysiąclecia [7], pierwszy algorytm w dzisiejszym ro-
zumieniu tego terminu pochodzi sprzed ponad 2000 lat. Algorytm Euklidesa, bo o nim tutaj mowa,
z wyjątkiem ostatnich pięćdziesięciu lat swojej historii, był nawet utożsamiany z pojęciem algorytmu.
W XVII wieku żyli i tworzyli dwaj wielcy matematycy, G.W. Leibniz i B. Pascal. Obaj są znani
dzisiaj również ze swoich arytmometrów. Pascal, chcąc dopomóc swojemu ojcu, poborcy podatko-
wemu, zbudował Pascalinę, za pomocą której można było dodawać i odejmować liczby. Ambitniejsze
zadanie postawił sobie Leibniz  jego maszyna, w której zastosował binarny system do zapisu liczb,
mogła wykonywać mnożenie liczb. Ponadto, wiązał on z systemem binarnym swoje idee filozoficzne,
że w języku matematyki za pomocą skończonej liczby symboli można zapisać każde twierdzenie.
Za pomocą maszyn Pascala i Leibniza nie było jeszcze można w pełni automatycznie i w całości
wykonać prostego działania na dwóch liczbach. Na początku XIX wieku, jeszcze bardziej ambitny cel
postawił sobie Ch. Babbage, również matematyk. Najpierw zaprojektował maszynę różnicową, która
miała służyć do wypełniania tablic (użytecznych m.in. w obserwacjach astronomicznych i w nawigacji
morskiej) metodą różnicową. Część tej maszyny, nadal sprawną, można oglądać w Muzeum Nauk
w Londynie. Ale Babbage na tym nie poprzestał i zaprojektował maszynę analityczną. Niektóre z jego
pomysłów, zawartych w tym projekcie, zrealizowano dopiero we współczesnych komputerach (np.
pamięć operacyjna, arytmometr, karty perforowane). Realności drugiemu pomysłowi Babbage a doda-
je dzisiaj fakt, że znalazła się wtedy osoba, Ada, córka Byrona, która nie czekając na zbudowanie tej
maszyny zaczęła pisać dla niej programy. Uważa się ją obecnie za pierwszą programistkę [10].
Na początku XX wieku matematycy żywo interesowali się modelami obliczeń, chcąc udzielić od-
powiedzi na jedno z pytań postawionych przez D. Hilberta w jego programie matematyki dla tego
wieku. W 1936 roku, jeszcze przed zbudowaniem pierwszego elektronicznego komputera, A. Turing,
opisał bardzo prostą maszynę, która może być wyprowadzona od zwykłych obliczeń na pokratkowanej
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
3
kartce papieru. Dzisiaj, maszyna Turinga jest uniwersalnym modelem komputera i obliczeń. Mniej
znane są osiągnięcia i zasługi Turinga w budowie rzeczywistych komputerów  uczestnicząc w pra-
cach nad złamaniem maszyn szyfrujących Enigma, przyczynił się do zbudowania komputerów Coloss.
Postacią Numer Jeden w historii informatyki jest J. von Neumann. W 1946 roku zainspirował on
prace w projekcie EDVAC, których celem było zbudowanie komputera bez wad poprzednich kon-
strukcji. Zaproponował architekturę komputerów, według której buduje się te maszyny do dzisiaj.
Historia polskiej informatyki ma już ponad 50 lat a jej początki i długie lata mają ścisły związek
z pracami matematyków. Pierwsza jednostka, w której podjęto prace nad konstrukcjami komputerów,
nosiła nazwę Zakład Aparatów Matematycznych i została utworzona w Państwowym Instytucie Ma-
tematycznym z inicjatywy profesora K. Kuratowskiego [11].
1.2. Komputery w uprawianiu matematyki
Komputery działają, czyli wykonują podstawowe działania arytmetyczne z coraz większą szybko-
ścią. Co więcej, w odróżnieniu od obliczeń wykonywanych bez pomocy komputera, tyle samo czasu
trwa dodanie w komputerze dwóch liczb dwucyfrowych, jak i dwóch liczb złożonych na przykład z
osiemnastu cyfr. W ostatnich latach zwiększono jeszcze bardziej szybkość pracy komputerów, sięga-
jąc po możliwość wykonywania obliczeń w sposób równoległy, czyli współbieżnie, z wykorzystaniem
wielu procesorów połączonych ze sobą siecią, służącą m.in. do synchronizacji procesorów i wymiany
informacji między nimi.
Istnieją jednak problemy obliczeniowe w matematyce i w wielu innych dziedzinach, o których
wiadomo, że ani dzisiaj, ani w najbliższej przyszłości, komputery a nawet superkomputery, działające
sekwencyjnie czy równolegle, nie będą w stanie pomóc w otrzymaniu ich rozwiązania. Ten fakt wyko-
rzystuje się nawet w kryptografii do szyfrowania wiadomości  ktoś, kto chciałby złamać szyfr
i odczytać ukrytą wiadomość, musiałby najpierw rozwiązać taki problem.
Istnieje jednak sposób zwiększenia mocy komputerów, czyli ich przyspieszenia:
Najlepszym sposobem przyspieszania pracy komputerów
jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań.
[Ralph Gomory (IBM)]
Chcąc więc szybciej wykonywać obliczenia komputerowe, czyli móc szybko rozwiązywać proble-
my o dużych rozmiarach (czyli o dużej liczbie danych), powinniśmy dysponować metodami, które po
prostu wykonują mniej działań. Tymi zagadnieniami zajmuje się analiza złożoności obliczeniowej
problemów, zbudowana na mocnych podstawach matematycznych, w której głównymi obiektami i
wynikami badań są algorytmy.
Możliwości komputerów wykonywania obliczeń szybko i na dużych liczbach mają istotny wpływ
na wyniki w takich dziedzinach badań i zastosowań matematycznych, jak: teoria liczby, zwłaszcza
w zakresie obliczeń na dużych liczbach, rozwiązywanie równań (algebraicznych i różniczkowych)
modelujących rzeczywiste zjawiska przyrodnicze, techniczne, gospodarcza i społeczne.
Komputery wkroczyły również do tych obszarów działalności matematycznej, które tradycyjnie
były uważane za pole działania czystego umysłu i znalez
ć już można wiele problemów, dla których
istnieją jedynie dowody komputerowe. Pierwszym z nich był problem czterech barw, rozstrzygnięty
przez K. Appela i W. Hakena z istotną pomocą informatyka J. Kocha i komputera IBM.
1.3. Komputery i informatyka w matematyce na co dzień
Matematyka stosowana na co dzień, to głównie obliczenia związane z: techniką, prowadzeniem
działalności ekonomicznej i finansowej, badaniem własności dużej ilości danych oraz oceną sytuacji
niepewnych. Językiem matematyki i jego logiką posługujemy się nawet częściej, gdy na przykład
musimy precyzyjnie opisać sytuację problemową, a póz
niej ją rozwiązać  wtedy dodatkowo przydaje
się myślenie algorytmiczne.
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
4
Znajomość języka matematyki objawia się również jako umiejętność rozumienia przekazów, for-
mułowanych z wykorzystaniem pojęć i narzędzi matematyki. W przypadku problemów praktycznych,
wyniki dociekań wykorzystujących matematykę są obecnie najczęściej otrzymywane za pomocą kom-
puterów i metod informatycznych. Każdy powinien je umieć odczytać, zinterpretować i ewentualnie
zweryfikować pod względem zgodności z rzeczywistością oraz przydatności dla swoich celów.
2. Komputery w nauczaniu matematyki
Miejsce i rola komputerów w szkolnej edukacji matematycznej, z jednej strony  charakteryzuje się
ogólnymi regułami wykorzystania komputerów w edukacji, a z drugiej  jest pod przemożnym wpły-
wem bardzo silnych związków między oboma dziedzinami, matematyką i informatyką.
Nauczanie matematyki powinno uwzględniać zarówno stan matematyki, jako dziedziny wiedzy,
jak również jej znaczenie i użyteczność dla każdego człowieka. Ani w jednym, ani w drugim nie moż-
na dzisiaj pominąć roli komputerów i informatyki, a technologia informacyjna dodatkowo stwarza
nowe możliwości porozumiewania się.
W wielu obowiązujących programach nauczania matematyki uwzględniono, iż matematyka:
" umożliwia twórczy rozwój ucznia;
" jest bardzo użyteczna i występuje w otaczającym ucznia środowisku;
" w szczególności, pojawia się w wielu innych dziedzinach szkolnej edukacji, wspierając je i czer-
piąc
z nich;
" jest swoistym językiem porozumiewania się.
2.1. Rola komputerów i informatyki w nauczaniu matematyki
Jak dotychczas jednak, nie dość mocno akcentowano w programach nauczania matematyki,
a zwłaszcza w pakietach edukacyjnych przeznaczonych dla uczniów i dla nauczycieli oraz w samym
jej nauczaniu, rolę komputerów2. Tutaj wyraz
nie należy rozróżnić dwie funkcje komputera na zaję-
ciach matematycznych:
" komputer jako pomoc dydaktyczna, czyli urządzenie wspomagające proces uczenia się
i nauczania,
" komputer jako element składowy dziedziny nauczania  matematyki, czyli urządzenie wraz
z metodami informatyki, służące wzbogacaniu i rozszerzaniu zakresu i metod matematyki.
Użycie programu, który umożliwia analizę wykresu funkcji liniowej, jest przykładem skorzystania
jedynie z pomocy komputerowej. Natomiast, posłużenie się arkuszem kalkulacyjnym do wykonania
realnych obliczeń finansowych, związanych z kontem bankowym lub ubezpieczeniem, jest przykła-
dem treści i umiejętności, w których pewne operacje matematyczne zostały zintegrowane z narzę-
dziami TI. W obu przypadkach występują zarówno zadania matematyczne, jak i elementy posługiwa-
nia się komputerem, ale w pierwszym przypadku uczeń mający wyobraz
nię matematyczną na ogół nie
korzysta z pomocy komputera, natomiast w drugim  nie można zrezygnować z posłużenia się kompu-
terem, gdyż stał się on integralną częścią  uprawiania matematyki .
Nie zawsze to rozróżnienie dwóch funkcji komputera jest wyraz
ne. Między jego wspomagającą
a kreującą funkcją w edukacji można wyróżnić cztery grupy powiązań komputerów z nauczanymi
treściami i formami przekazu, których wyróżnikiem jest skala tych powiązań i wynikający z nich
wpływ komputerów na zakres zajęć i stopień opanowania przez uczniów przewidywanych umiejętno-
ści:
1. Wspomaganie tradycyjnych treści i form przekazu  treści kształcenia i formy przekazu pozo-
stają takie same, wspomagamy je jedynie komputerem. Na przykład: możemy zautomatyzować
wykonywanie ćwiczeń drill-and-practice za pomocą specjalnych programów; dane z ankiety moż-
2
W tym artykule nie uwzględniono programu nauczania i działań zespołu Henryka Kąkola, związanych
z połączeniem w jednym programie matematyki z elementami informatyki.
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
5
na zebrać w tabeli arkusza kalkulacyjnego i wybrać dla nich wykres kołowy i słupkowy; wykony-
wanie prostych obliczeń finansowych można usprawnić, posługując się arkuszem lub innymi pro-
gramami.
2. Wzbogacanie tradycyjnych treści i form przekazu  użycie komputera istotnie wzbogaca
i urozmaica to, co dotychczas wykonywano bez komputerów. Na przykład, automatyzując ćwicze-
nia drill-and-practice, uzupełniamy je losowo generowanymi różnorodnymi układami zadań, które
umożliwiają dostosowanie ćwiczeń do poziomu i postępów uczącego się, ponadto program śledzi
postępy uczniów; dane z tabeli arkusza są ilustrowane wieloma wykresami w jednym układzie lub
wykresami 3D (trójwymiarowymi); obliczenia finansowe, wykonywane w arkuszu, można rozsze-
rzyć o symulację zmian w obliczeniach dla różnych wartości parametrów.
3. Nowe możliwości w zakresie tradycyjnych treści nauczania i umiejętności  posłużenie się
komputerem i technologią informacyjną stwarza nowe możliwości przy realizacji i kształtowaniu
tradycyjnych treści i umiejętności, czyli takich, które dotychczas znajdowały się w programie na-
uczania. W tej grupie można wymienić: zbieranie danych oraz tworzenie ich graficznych reprezen-
tacji w trakcie symulacji różnego charakteru zmian wśród liczb; wykonywanie dynamicznych kon-
strukcji geometrycznych; obróbkę dużych zbiorów danych; przeszukiwanie informacji rozproszo-
nych po różnych z
ródłach, w tym także w sieci; wykonywanie pełnego rachunku ekonomicznego
dla rzeczywistego przedsięwzięcia.
4. Nowe treści  wnoszone do poszczególnych dziedzin nauczania za sprawą posłużenia się kompute-
rem lub technologią informacyjną. W tej grupie znajdują się np.: analiza (statystyczna) dużych
zbiorów danych, pochodzących np. z ankiet lub eksperymentów; wykonywanie obliczeń przybliżo-
nych z zadaną dokładnością; konstruowanie komputerowych modeli zjawisk i ich symulacja; wy-
konywanie cyfrowej (liczbowej) symulacji zjawisk.
Przykładowo, z zakresu matematyki szkolnej na każdym etapie kształcenia, opracowywanie da-
nych jest tym działem programu nauczania, w którym można wskazać wszystkie cztery rodzaje po-
wiązań komputera, informatyki i technologii informacyjnej z nauczaniem, od wspomagania po nowe
treści. Od strony informatyki zaś, arkusz kalkulacyjny jest tym narzędziem informatycznym, którego
użycie może wspomagać, wzbogacać i wnosić nowe możliwości w zakresie tradycyjnych treści oraz
dostarczać nowych treści. Szczegółowe rozważania na ten temat znajdą się w części projektu
, poświęconej (zob. pkt. 3).
Dotychczas, dużo uwagi przywiązywano w edukacji do komputerów, wspomagających jedynie tra-
dycyjne nauczanie. Obecnie, w związku z coraz większą ich rolą w wielu dziedzinach nauki
i zastosowań, główny nacisk powinien być położony na wzbogacanie tych dziedzin oraz na nowe moż-
liwości, wnoszone do nich przez komputery i technologię informacyjną. Uczniowie, przygotowywani
do życia w społeczeństwie informacyjnym, powinni bowiem zdobywać wiedzę i kształtować umiejęt-
ności odpowiednie do współczesnego stanu dziedzin nauczania  w poznawaniu przyszłości nie wy-
starczy posługiwać się narzędziami z przeszłości.
Komputery mogą pełnić również pomocniczą rolę w organizacji procesu nauczania matematyki 
piszemy o tym w p. 2.3.
2.2. Różny stopień integracji komputerów z nauczaniem matematyki
Powodzenie w stosowaniu komputerów w edukacji matematycznej zależy od stopnia ich integracji
z treściami i metodami uczenia się i nauczania, a więc od ich zintegrowania w programach nauczania
i w pomocach dydaktycznych dla uczniów i dla nauczycieli. Odnosi się to w równym stopniu do
wszystkich czterech grup zagadnień z poprzedniego punktu, różniących się między sobą stopniem
uwzględnienia i wpływu komputerów. W zakresie integracji, można również wymienić cztery stopnie,
w kolejności rosnącej siły włączenia (zaangażowania) pomocy komputerowych:
1. Dodanie, postawienie komputerów i pomocy komputerowych  obok środowisk uczenia się.
W tym przypadku, chociaż komputer wraz ze swoim oprogramowaniem jest dostępny w szkole dla
uczniów i dla nauczycieli, to jednak ani program nauczania i inne pomoce dydaktyczne (np. pod-
ręczniki i zeszyty ćwiczeń) nie uwzględniają posługiwania się nim, ani nauczyciele nie są do tego
odpowiednio przygotowani. Tak można scharakteryzować pierwszy etap wprowadzania kompute-
rów do szkół, gdy poza zmianą warunków technicznych (np. poprzez zakup komputerów) nie
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
6
wprowadzono jeszcze zmian w sposobach nauczania i towarzyszących im pomocach. Większość
dziedzin nauczania, w tym również matematyka, w większości polskich szkół, które są już wypo-
sażone w komputery, znajduje się na tym właśnie etapie.
2.  Umieszczenie komputerów i TI w matematyce. Polega to na tym, że w programie nauczania
matematyki uwzględniono posługiwanie się komputerem, w podręcznikach znajdują się zapisy od-
noszące się do korzystania z komputera (najczęściej w osobnych rozdziałach), komputery są wypo-
sażone w odpowiednie dla danej dziedziny oprogramowanie, nauczyciele są ogólnie przygotowani
do posługiwania się komputerem, ale działania te nie są ze sobą zsynchronizowane i np.: odwołania
do komputera w podręcznikach mają charakter opcjonalny ( jeśli masz komputer, to posłuż się
nim ), oprogramowanie nie jest odpowiednie do zadań przewidzianych w programach nauczania,
nauczyciele nie są przygotowani do realizacji zapisów programowych, zapisów w podręcznikach i
stosowania przewidzianego oprogramowania. Ten sposób  umieszczenia komputerów i technolo-
gii informacyjnej w nauczaniu ma nadal ciążącą na nim cechę  dodania  komputer już jest
umieszczony w matematyce, ale jeszcze traktuje się go jako dodatek, nie w pełni z nią zintegrowa-
ny. W tym sensie, komputer obecnie powoli przebija się do matematyki i zapisy, jak wyżej, można
znalez
ć w niektórych podręcznikach.
3. Zintegrowanie TI z matematyka. Oznacza to pełną integrację: programów nauczania, pomocy
dydaktycznych (w tym podręczników, komputerów i oprogramowania) i metod posługiwania się
nimi w nauczaniu matematyki. Ponadto, nauczyciele matematyki są przygotowani do korzystania
z technologii informacyjnej, odpowiednio do programów nauczania i pomocy dydaktycznych. Nie-
stety w polskich szkołach, komputery i TI nie zostały dotychczas zintegrowane w tym sensie
z żadną dziedziną nauczania. W przypadku matematyki, poczyniono już znaczny postęp w tym kie-
runku, zwłaszcza w pracach programowych, przy opracowywaniu pomocy dydaktycznych
i w szkoleniach nauczycieli. Niestety, nie spowodowało to dotychczas większych zmian w szko-
łach, w pracy uczniów i z uczniami.
4. Pełna integracja międzyprzedmiotowa. O pełnej integracji technologii informacyjnej
z matematyką, można mówić dopiero wtedy, gdy TI integruje wszystkie dziedziny nauczania,
w których występuje matematyka. Przykładowo, uczniowie posługują się tabelą i wykresami przy
opracowywaniu wyników obserwacji (przyrodniczych, ekologicznych) i wyników eksperymentów
(chemicznych, fizycznych), wykonywaniu obliczeń fizycznych i technicznych, prowadzeniu obli-
czeń ekonomicznych. W takim zakresie, wykorzystanie komputerów (a dokładniej, arkusza kalku-
lacyjnego) powinno dotyczyć wszystkich tych przypadków. W erze technologii informacyjnej do-
chodzi jeszcze jedna umiejętność ponadprzedmiotowa, która jest nie mniej ważna dla życia
w społeczeństwie informacyjnym, niż te klasyczne umiejętności pisania i rachowania, a mianowi-
cie umiejętność pracy z informacją. W jej kształtowaniu podstawową rolę odgrywa posługiwanie
się technologią informacyjną. O wadze tej umiejętności może świadczyć umieszczenie jej wśród
ogólnych zadań szkoły w Podstawie programowej:  Nauczyciele stwarzają uczniom warunki do
nabywania następujących umiejętności: ...5. poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania in-
formacji z różnych z
ródeł oraz efektywnego posługiwania się technologią informacyjną.
Wyniki badań nad skutecznością komputerowych pomocy dydaktycznych, przeprowadzone
w ostatnich latach w wielu państwach, wykazały, że dotychczasowy brak wyraz
nych sukcesów na
polu stosowania komputerów w edukacji jest spowodowany niewystarczającą ich integracją z naucza-
niem. Nie wystarcza bowiem postawić te wspaniałe maszyny  obok nauczycieli i tego, co się dzieje
w szkole, by przez samą ich obecność odnosiły pozytywny skutek. Niezbędne jest ich koncepcyjne
 umieszczenie w każdej sferze procesu uczenia się i nauczania oraz ich wzajemne zintegrowanie.
Pisało o tym wielu ekspertów w dziedzinie edukacji.
2.3. Dodatkowa rola komputerów w procesie nauczania
Komputery w nauczaniu matematyki mogą być również wykorzystane do testowania osiągnięć
uczniów oraz do organizacji procesu nauczania. W tej dziedzinie mamy obecnie na rynku coraz więk-
szą ofertę pomocy komputerowych, związanych z konkretnym programem nauczania (jak Matematyka
2001) lub niezależnych od programu nauczania (Testy z matematyki, Wydawnictwo Szkolne PWN).
Te pomoce komputerowe mogą być bezpośrednio wykorzystane do testowania osiągnięć uczniów lub
mogą posłużyć nauczycielowi do zaprojektowania i wydrukowania testu własnej konstrukcji.
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
7
Komputer, a zwłaszcza jako element szeroko rozumianej technologii informacyjnej, może być
środkiem komunikacji i z
ródłem informacji zarówno dla nauczyciela, jak i dla ucznia. Wspomnieliśmy
już o olbrzymim przełomie, jaki, dzięki wykorzystaniu sieci Internet, dokonał się w dziedzinie poszu-
kiwania coraz większych liczb pierwszych  w tym mogą brać udział również uczniowie. Z kolei, jako
pomoc dydaktyczna, serwis internetowy on-line może być wykorzystywany przez autorów pakietów
edukacyjnych i przez wydawnictwa do zapewnienia ciągłego kontaktu ze szkołami, nauczycielami i
uczniami (taką możliwość oferuje program Matematyka 2001).
3. Sugestie działań
Jeśli nauczanie matematyki ma uwzględniać aktualny stan tej dziedziny i wskazywać uczniom na
codzienną użyteczność matematyki, to tej drugiej funkcji komputerów w matematyce nie można trak-
tować jedynie jako ilustracji, dodanej do działań uczniów i nauczyciela, ale powinna ona występować
jako nierozerwalna część dziedziny, a zatem  jako część programu nauczania matematyki i jego reali-
zacji w szkole. Komputery ze swoimi metodami powinny być umieszczone w matematyce i z nią
zintegrowane, a nie jedynie dodane.
Korzystanie z komputerów może przynosić również korzyści metodyczne. Współistnieć mogą bo-
wiem dwa, uzupełniające się podejścia: uczeń może najpierw poznać zasadność i sposób wykonania
pewnych działań matematycznych i póz
niej przystąpić do ich wykonywania za pomocą komputera,
albo może posłużyć się komputerem, by jednocześnie zrozumieć wykonywane działania i wykonać
obliczenia; w niektórych przypadkach może nawet zrozumieć sposób wykonywania działań przez ich
komputerowe wykonanie.
W istniejących programach nauczania matematyki oraz w Podstawie programowej, można znalez
ć
wiele sugestii i zaleceń związanych ze stosowaniem komputerów. Przy tym, w przypadku matematyki,
chodzi nie tylko o wspomaganie procesu uczenia się i nauczania, ale o takie posługiwanie się kompu-
terem, które wzbogaca umiejętności i kompetencje matematyczne każdego ucznia. Niestety, jak
dotychczas, nie zostało to uwzględnione w żadnym podręczniku dla ucznia i w poradniku dla nauczy-
ciela. W efekcie, w nauczaniu matematyki komputer pojawia się sporadycznie, częściej jako pomoc
dydaktyczna, a prawie wcale jako element kształcenia matematycznego. Posługiwanie się arkuszem
kalkulacyjnym do wykonywania obliczeń, pojawiające się najczęściej na lekcjach informatyki, nie
można uznać za kształcenie w zakresie matematyki.
Jak zmienić tę sytuację? Wymaga to zmian w programach nauczania matematyki, i dość poważ-
nych uzupełnień w podręcznikach i zeszytach ćwiczeń dla uczniów oraz w poradnikach dla nauczycie-
li. Pociąga to za sobą również konieczność przygotowania nauczycieli do tak zmienionych programów
i pomocy dydaktycznych.
3.1. Propozycja
Zespół autorów z Instytutu Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego, we współpracy
z Wydawnictwami Szkolnymi i Pedagogicznymi, pracuje nad projektem
, w którym jest realizowane założenie o pełnej integracji komputerów i technologii
informacyjnej ze wszystkimi dziedzinami nauczania, w tym również z matematyką, oraz ich włączenie
do tych dziedzin. Dotyczy to zarówno zajęć z informatyki  są to , które
służą przygotowaniu uczniów do posługiwania się tą technologią na innych lekcjach, jak i do wybra-
nych zajęć z innych przedmiotów, na których komputery są ściśle związane z treściami i formą na-
uczania  wtedy odbywa się .
Od nowego roku szkolnego 1999/2000 jest dostępna pierwsza część pakietu edukacyjnego dla
szkoły podstawowej, przeznaczona na (podręcznik [3], poradnik dla na-
uczycieli [4]) oraz oprogramowanie TI 99, które umożliwia uczniom pracę w środowisku komputero-
wym, dostosowanym do ich możliwości i potrzeb. W 2001 roku ukaże się druga część pakietu dla
szkoły podstawowej przeznaczona do , w tym m.in. na lekcjach matematyki. Od
roku szkolnego 2000/2001 będzie dostępny pakiet do gimnazjum [5]  w maju 2000 ukaże się jego na
, a w 2001 roku zostaną wydane materiały do .
Komputery, informatyka i technologia informacyjna w nauczaniu matematyki
8
Integracja komputerów i TI z różnymi przedmiotami odbywa się w tym projekcie zarówno na eta-
pie przygotowania uczniów do posługiwania się komputerem, jak i w trakcie nauki z wykorzystaniem
komputera. Służą temu odpowiednio dobrane przykłady z różnych dziedzin nauczania oraz przyjęte
podejście  czynnościowe poznawanie możliwości komputerów poprzez rozwiązywanie odpowied-
nio dobieranych zadań. Dla przykładu (zob. [3]), uczeń po raz pierwszy styka się z arkuszem kalkula-
cyjnym na lekcjach informatyki w trakcie opracowywania wyników przeprowadzonej w klasie ankiety
 poznaje wtedy sposoby wypełniania arkusza, obliczanie sumy (wie z matematyki, co to suma), two-
rzenie wykresów słupkowych i kołowych (umie już odczytywać wykresy), porządkowanie
w kolumnach (wie, co to uporządkowanie). Natomiast na lekcjach matematyki, powinien następnie
poznać znaczenia pojęć, operacji i działań matematycznych, które wystąpiły w rozwiązaniu zadania
informatycznego.
Integracja międzyprzedmiotowa wymaga współpracy nauczycieli różnych przedmiotów, a w zakre-
sie technologii informacyjnej, wymaga dodatkowo odpowiedniego przygotowania nauczycieli. Stan-
dardy takiego przygotowania wszystkich nauczycieli są zaproponowane na stronie [9].
Cytowana literatura
[1] Elementy informatyki. Podręcznik, pod redakcją M.M. Sysły, WN PWN, Warszawa 1997.
[2] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., Informatyka i technologia
informacyjna, Program nauczania dla szkoły podstawowej (DKW-4014-5/99), Program nauczania dla
gimnazjum (DKW-4014-80/99), WSiP, Warszawa 1999.
[3] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Podręcz-
nik dla ucznia szkoły podstawowej. Klasy 4  6, (Nr w wykazie 109/99), WSiP, Warszawa 1999.
[4] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Poradnik
dla nauczycieli szkoły podstawowej. Klasy 4  6, WSiP, Warszawa 1999.
[5] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Podręcz-
nik dla ucznia gimnazjum, (Nr w wykazie 146/00), WSiP, Warszawa 2000.
[6] Gurbiel E., Hard-Olejniczak G., Kołczyk E., Krupicka H., Sysło M.M., INFORMATYKA. Poradnik
dla nauczycieli gimnazjum, WSiP, Warszawa 2000.
[7] Harel D., Algorytmika. Rzecz o istocie informatyki, WNT, Warszawa 1992.
[8] http://www.kaszub.top.pl/~adamk/GIMPS/pl/status.html
[9] http://www.wsip.com.pl/serwisy/ti/
[10] Kim E.E., Toole B.A., Ada i pierwszy komputer, Świat Nauki 7/1999.
[11] Madey J., Sysło M.M., Początki informatyki w Polsce, Informatyka 9, 10/2000 (a wersja angiel-
skojęzyczna w History of Computing).
[12] Sysło M.M., Algorytmy, WSiP, Warszawa 1997.
[13] Sysło M.M, Piramidy, szyszki i inne konstrukcje algorytmiczne, WSiP, Warszawa 1998.