Adattare un’impedenza con un trasformatore risonante
Il circuito risonante LC parallelo
Un circuito risonante-parallelo è composto da una induttanza L ed una capacità C collegati in
parallelo; indichiamo con R il componente equivalente che simbolizza la resistenza ohmica del filo
che compone l’avvolgimento di L e che racchiude nel suo valore anche eventuali altre perdite
ohmiche potremmo immaginarlo quindi, come una resistenza in parallelo alla coppia L e C.
Fig.1
La frequenza di risonanza del circuito viene calcolata supponendo il valore di R molto più grande
delle reattanza sia della bobina L che dalla capacità C; vale a dire si suppone :
L
R
X
≫
C
R
X
≫
[1]
(si intende un rapporto pari almeno a 10, cioè come minimo R = 10 X
L
ed R =10 X
C
)
con
2
L
X
FL
π
=
[2]
1
2
C
X
FC
π
=
[3]
Alla frequenza F di lavoro
Fig.2
Nel caso le ipotesi [1] siano verificate, si ha che la frequenza di risonanza F
0
, del circuito è data
dalla formula:
0
1
2
F
LC
π
=
[4]
Quindi se, ad esempio, volessimo calcolare la F
0
di una C = 20 pF (= 20x10
-12
F) ed L = 15
µ
H
(= 15x10
-6
H), in parallelo fra loro, si otterrebbe:
0
6
12
1
2
15 10
20 10
F
π
−
−
=
⋅
∗ ⋅
Si ha quindi : F
0
= 9.193.475 Hz = 9.193 MHz.
In un circuito risonante si ha un effetto di filtraggio del tipo passa-banda e quindi la curva di
risposta simile a quella indicata nella figura seguente:
Fig.3
F
1
ed F
2
sono rispettivamente la frequenza di taglio inferiore e frequenza di taglio superiore.
Si definisce come
larghezza di banda B
W
(bandwidth)del filtro:
B
W
= F
2
– F
1
[5]
E di conseguenza
fattore di merito (Q) del filtro stesso il rapporto:
0
F
Q
BW
=
[6]
Questo vuol dire che a parità di frequenza di risonanza del filtro, quanto minore è la larghezza di
banda B
W
, tanto migliore è il filtro stesso. Il valore ideale del Q sarebbe
∞
, ma la realtà ci porta a
valori eventualmente elevati, seppure finiti.
Ad esempio un filtro come quello dell’esempio precedente quindi con F
0
= 9.193 MHz, se presenta
un valore di B
W
= 100 kHz , ha un fattore merito
6
3
9,193 10
91,93
100 10
Q
⋅
=
=
⋅
Viceversa, se a parità di F
0
, desideriamo un filtro che presenti una larghezza di banda di soli 1000
Hz = 1 kHz, avremo bisogno di un fattore di merito
6
3
9.193 10
9193
1 10
Q
⋅
=
=
⋅
______
Trasformatore e trasformazione di impedenza
Premettiamo che esistono sono vari metodi di adattamento di impedenza ma che qui ne esaminiamo
uno basato sull’uso di un circuito risonante, che poi realizzeremo usando un supporto toroidale.
Una coppia di induttanze accoppiate ed eventualmente con un nucleo di materiale ferromagnetico
su cui sono avvolte, realizzano un
trasformatore. Ricordiamo che l’effetto di trasformazione
avviene solo in regime di corrente alternata.
L’induttanza L
1
viene detta avvolgimento primario, la L
2
avvolgimento secondario.
Fig.4
Come sappiamo la relazione elettrica che sussiste fra tensione V e corrente I negli avvolgimenti
(primario e secondario) dipende dal rapporto fra le spire nei medesimi avvolgimenti.
Quello che avviene nel trasformatore, riguardo l’impedenza è l’effetto che si riporta sul primario,
per il carico R
L
che è collegato ai morsetti del secondario:
Fig.5
Riferendoci alla figura N è il rapporto fra N
2
ed N
1
, dove N
2
è il numero di spire di L
2
ed N
1
quello
di L
1
.
Sai ha cioè:
2
1
N
N
N
=
[7]
Quindi sul primario noi vedremo l’effetto di R
L
sul secondario, come se ci fosse una resistenza R
Leq
di valore pari a:
2
eq
L
L
R
R
N
=
[8]
Facciamo un esempio:
supponiamo che L
1
abbia 10 spire e che L
2
ne abbia 30, e che R
L
= 2700
Ω
; si ha che N =30 /10 = 3.
Per ai morsetti del primario troveremo lo stesso effetto di una R
Leq
= (2700 /3
3)
= 300
Ω
.
______
L’effetto sopra descritto può essere sfruttato per far funzionare il circuito LC sia da filtro sia da
adattattore di impedenza, nello stesso tempo; nel caso bisogna tenere in conto di varie cose:
-
il circuito composto dalla serie di L
2A
ed L
2B
è equivalente alla L totale del circuito risonante
e pertanto il valore della somma delle due induttanze va messo nella formula [4], si ha cioè
(L = L
2A
+ L
2B
);
-
il carico che noi simbolizziamo con R
L
, può essere ad esempio un filtro, o meglio la sua
impedenza d’ingresso (supponendo essa sia di valore solamente resistivo e non presenti,
quindi, reattanze; in caso contrario al posto di una R
L
, useremo una impedenza, cioè una Z
L
ma i concetti rimangono invariati);
-
possiamo usare come trasformatore una coppia di induttanze accoppiate, normalmente,
ovvero un circuito del tipo di
-
l’induttanza L
1A
e la serie L
2
= L
2A
+ L
2B
, realizzano un trasformatore, e come tale quello
che accade al secondario, si ripropone al primario, debitamente trasformato; trascurando il
carico composto dalla capacità C, possiamo supporre che per il trasformatore che ora
consideriamo, sia R
L
l’unico carico. Se il rapporto fra spire del primario (L
1A
) e spire del
secondario
L
2B
( visto che il carico è collegato solo ad L
2B
) è di 1 : N, l’effetto sul primario
del carico R
L
collegato al secondario, sarà una resistenza R
L eq
= R
L
/ N
2
.
Fig.6
Facciamo un esempio numerico:
supponiamo si debba adattare ad un circuito la cui impedenza di uscita è di 50
Ω
(una sorta di
standard nei circuiti RF), l’impedenza d’ingresso di un filtro a 9 MHz da 500
Ω
, che nell’esempio
rappresenta R
L
, e che il circuito debba risuonare appunto alla frequenza F
0
del filtro.
Partiamo dal fatto che la reattanza di L
2B
deve presentare il valore di 500
Ω
per adattarsi al filtro,
per cui ricaviamo quanto deve valere L
2B
:
6
2
6
500
8,84 10
8,84
2 9 10
B
L
H
H
µ
π
−
=
=
⋅
=
⋅
Di conseguenza il valore della reattanza di L
1
deve essere 1/10 del valore di quella di L
2B
, per poter
presentare il rapporto corretto che fornisce l’adattamento, quindi avremo che anche il valore di L
1
,
sarà 1/10 di quello di L
2B
, cioè:
1
0,88
L
H
µ
=
Come riprova calcoliamo il valore di reattanza X
L1
alla frequenza di 9 MHz:
6
6
1
2
9 10
0,88 10
49, 73
L
X
π
−
=
∗ ⋅
∗
⋅
=
Ω
Come desiderato.
Ora supponiamo di realizzare la rimanente parte di L
2
, quindi L
2A
facendo sì che la sua reattanza sia
almeno 3 volte pari a quella di L
2B
, quindi si deve avere che:
6
2
3 8,84 10
26,52
A
L
H
µ
−
= ∗
⋅
=
Il valore complessivo dell’induttanza L
2
= L
2A
+ L
2B
si ricava sommando i due valori ora calcolati,
e si ottiene L
2
= 35,2
µ
H.
Ora si deve calcolare il valore della capacità necessaria a far risuonare la bobina L
2
sulla frequenza
dei 9 MHz.; invertendo la formula [4] si ricava C = 8.9 pF.
A questo punto abbiamo i dati per realizzare la bobina: ipotizzando di usare un supporto toroidale:
possiamo scegliere di usare un T50-6 che è adatto alla frequenza dei 9 MHz.
Dai conti troviamo che per ottenere una induttanza di 35,2
µ
H su T50-6 (L
2
) servono 93 spire;
mentre per ottenere una induttanza di 8.8
µ
H (L
2B
) servono 46,7 (arrotondiamo a 47) spire; infine
per averne una da 0.88
µ
H servono 14.8 (arrotondiamo a 15) spire.
Quindi realizzeremo 93 spire ed una presa alla 47
a
e saranno le due parti di L2: un link di 15 spire
costituirà il primario del trasformatore (L
1
).
Vediamo che torna la teoria espressa mediante la [8]: il rapporto fra X
L2A
ed X
L1
è effettivamente
pari ad N
2
(infatti N
2
/N
1
= 3.13 , e (3.13)
2
= 9.79 che possiamo arrotondare a 10).
Nel caso questo sia appunto l’adattatore di impedenza di un filtro che è un dispositivo simmetrico,
la medesima cosa va fatta all’altro lato del suddetto filtro.
______
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