Adattare un’impedenza con un trasformatore risonante

Il circuito risonante LC parallelo

Un circuito risonante-parallelo è composto da una induttanza L ed una capacità C collegati in
parallelo; indichiamo con R il componente equivalente che simbolizza la resistenza ohmica del filo
che compone l’avvolgimento di L e che racchiude nel suo valore anche eventuali altre perdite
ohmiche potremmo immaginarlo quindi, come una resistenza in parallelo alla coppia L e C.

Fig.1

La frequenza di risonanza del circuito viene calcolata supponendo il valore di R molto più grande
delle reattanza sia della bobina L che dalla capacità C; vale a dire si suppone :

L

R

X

≫

C

R

X

≫

[1]

(si intende un rapporto pari almeno a 10, cioè come minimo R = 10 X

L

ed R =10 X

C

)

con

2

L

X

FL

π

=

[2]

1

2

C

X

FC

π

=

[3]

Alla frequenza F di lavoro

Fig.2

Nel caso le ipotesi [1] siano verificate, si ha che la frequenza di risonanza F

0

, del circuito è data

dalla formula:

0

1

2

F

LC

π

=

[4]

Quindi se, ad esempio, volessimo calcolare la F

0

di una C = 20 pF (= 20x10

-12

F) ed L = 15

µ

H

(= 15x10

-6

H), in parallelo fra loro, si otterrebbe:

0

6

12

1

2

15 10

20 10

F

π

−

−

=

⋅

∗ ⋅

Si ha quindi : F

0

= 9.193.475 Hz = 9.193 MHz.

In un circuito risonante si ha un effetto di filtraggio del tipo passa-banda e quindi la curva di
risposta simile a quella indicata nella figura seguente:

Fig.3

F

1

ed F

2

sono rispettivamente la frequenza di taglio inferiore e frequenza di taglio superiore.

Si definisce come

larghezza di banda B

W

(bandwidth)del filtro:

B

W

= F

2

– F

1

[5]

E di conseguenza

fattore di merito (Q) del filtro stesso il rapporto:

0

F

Q

BW

=

[6]

Questo vuol dire che a parità di frequenza di risonanza del filtro, quanto minore è la larghezza di
banda B

W

, tanto migliore è il filtro stesso. Il valore ideale del Q sarebbe

∞

, ma la realtà ci porta a

valori eventualmente elevati, seppure finiti.
Ad esempio un filtro come quello dell’esempio precedente quindi con F

0

= 9.193 MHz, se presenta

un valore di B

W

= 100 kHz , ha un fattore merito

6

3

9,193 10

91,93

100 10

Q

⋅

=

=

⋅

Viceversa, se a parità di F

0

, desideriamo un filtro che presenti una larghezza di banda di soli 1000

Hz = 1 kHz, avremo bisogno di un fattore di merito

6

3

9.193 10

9193

1 10

Q

⋅

=

=

⋅

______

Trasformatore e trasformazione di impedenza

Premettiamo che esistono sono vari metodi di adattamento di impedenza ma che qui ne esaminiamo
uno basato sull’uso di un circuito risonante, che poi realizzeremo usando un supporto toroidale.

Una coppia di induttanze accoppiate ed eventualmente con un nucleo di materiale ferromagnetico
su cui sono avvolte, realizzano un

trasformatore. Ricordiamo che l’effetto di trasformazione

avviene solo in regime di corrente alternata.
L’induttanza L

1

viene detta avvolgimento primario, la L

2

avvolgimento secondario.

Fig.4

Come sappiamo la relazione elettrica che sussiste fra tensione V e corrente I negli avvolgimenti
(primario e secondario) dipende dal rapporto fra le spire nei medesimi avvolgimenti.

Quello che avviene nel trasformatore, riguardo l’impedenza è l’effetto che si riporta sul primario,
per il carico R

L

che è collegato ai morsetti del secondario:

Fig.5

Riferendoci alla figura N è il rapporto fra N

2

ed N

1

, dove N

2

è il numero di spire di L

2

ed N

1

quello

di L

1

.

Sai ha cioè:

2

1

N

N

N

=

[7]

Quindi sul primario noi vedremo l’effetto di R

L

sul secondario, come se ci fosse una resistenza R

Leq

di valore pari a:

2

eq

L

L

R

R

N

=

[8]

Facciamo un esempio:
supponiamo che L

1

abbia 10 spire e che L

2

ne abbia 30, e che R

L

= 2700

Ω

; si ha che N =30 /10 = 3.

Per ai morsetti del primario troveremo lo stesso effetto di una R

Leq

= (2700 /3

3)

= 300

Ω

.

______

L’effetto sopra descritto può essere sfruttato per far funzionare il circuito LC sia da filtro sia da
adattattore di impedenza, nello stesso tempo; nel caso bisogna tenere in conto di varie cose:

-

il circuito composto dalla serie di L

2A

ed L

2B

è equivalente alla L totale del circuito risonante

e pertanto il valore della somma delle due induttanze va messo nella formula [4], si ha cioè
(L = L

2A

+ L

2B

);

-

il carico che noi simbolizziamo con R

L

, può essere ad esempio un filtro, o meglio la sua

impedenza d’ingresso (supponendo essa sia di valore solamente resistivo e non presenti,
quindi, reattanze; in caso contrario al posto di una R

L

, useremo una impedenza, cioè una Z

L

ma i concetti rimangono invariati);

-

possiamo usare come trasformatore una coppia di induttanze accoppiate, normalmente,
ovvero un circuito del tipo di

-

l’induttanza L

1A

e la serie L

2

= L

2A

+ L

2B

, realizzano un trasformatore, e come tale quello

che accade al secondario, si ripropone al primario, debitamente trasformato; trascurando il
carico composto dalla capacità C, possiamo supporre che per il trasformatore che ora
consideriamo, sia R

L

l’unico carico. Se il rapporto fra spire del primario (L

1A

) e spire del

secondario

L

2B

( visto che il carico è collegato solo ad L

2B

) è di 1 : N, l’effetto sul primario

del carico R

L

collegato al secondario, sarà una resistenza R

L eq

= R

L

/ N

2

.

Fig.6

Facciamo un esempio numerico:
supponiamo si debba adattare ad un circuito la cui impedenza di uscita è di 50

Ω

(una sorta di

standard nei circuiti RF), l’impedenza d’ingresso di un filtro a 9 MHz da 500

Ω

, che nell’esempio

rappresenta R

L

, e che il circuito debba risuonare appunto alla frequenza F

0

del filtro.

Partiamo dal fatto che la reattanza di L

2B

deve presentare il valore di 500

Ω

per adattarsi al filtro,

per cui ricaviamo quanto deve valere L

2B

:

6

2

6

500

8,84 10

8,84

2 9 10

B

L

H

H

µ

π

−

=

=

⋅

=

⋅

Di conseguenza il valore della reattanza di L

1

deve essere 1/10 del valore di quella di L

2B

, per poter

presentare il rapporto corretto che fornisce l’adattamento, quindi avremo che anche il valore di L

1

,

sarà 1/10 di quello di L

2B

, cioè:

1

0,88

L

H

µ

=

Come riprova calcoliamo il valore di reattanza X

L1

alla frequenza di 9 MHz:

6

6

1

2

9 10

0,88 10

49, 73

L

X

π

−

=

∗ ⋅

∗

⋅

=

Ω

Come desiderato.

Ora supponiamo di realizzare la rimanente parte di L

2

, quindi L

2A

facendo sì che la sua reattanza sia

almeno 3 volte pari a quella di L

2B

, quindi si deve avere che:

6

2

3 8,84 10

26,52

A

L

H

µ

−

= ∗

⋅

=

Il valore complessivo dell’induttanza L

2

= L

2A

+ L

2B

si ricava sommando i due valori ora calcolati,

e si ottiene L

2

= 35,2

µ

H.

Ora si deve calcolare il valore della capacità necessaria a far risuonare la bobina L

2

sulla frequenza

dei 9 MHz.; invertendo la formula [4] si ricava C = 8.9 pF.

A questo punto abbiamo i dati per realizzare la bobina: ipotizzando di usare un supporto toroidale:
possiamo scegliere di usare un T50-6 che è adatto alla frequenza dei 9 MHz.
Dai conti troviamo che per ottenere una induttanza di 35,2

µ

H su T50-6 (L

2

) servono 93 spire;

mentre per ottenere una induttanza di 8.8

µ

H (L

2B

) servono 46,7 (arrotondiamo a 47) spire; infine

per averne una da 0.88

µ

H servono 14.8 (arrotondiamo a 15) spire.

Quindi realizzeremo 93 spire ed una presa alla 47

a

e saranno le due parti di L2: un link di 15 spire

costituirà il primario del trasformatore (L

1

).

Vediamo che torna la teoria espressa mediante la [8]: il rapporto fra X

L2A

ed X

L1

è effettivamente

pari ad N

2

(infatti N

2

/N

1

= 3.13 , e (3.13)

2

= 9.79 che possiamo arrotondare a 10).

Nel caso questo sia appunto l’adattatore di impedenza di un filtro che è un dispositivo simmetrico,
la medesima cosa va fatta all’altro lato del suddetto filtro.

______

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