Politechnika Śląska
Gliwice, 2006/2007
Wydział: Automatyki, Elektroniki i Informatyki
Semestr: 6 (letni)
Kierunek: Automatyka i robotyka
Podstawy Automatyki
– laboratorium
Ćw 9. Sterowanie układem zbiorników.
Data ćwiczeń laboratoryjnych:
04.04.2007
Grupa: 1
Sekcja: 3
Skład osobowy sekcji:
Zięba Andrzej
Bojko Marcin
Pawliczek Krystian
1. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze sposobami badania rzeczywistego układu
regulacji poprzez wyznaczenie odpowiednich charakterystyk statycznych oraz dynamicznych. W
trakcie ćwiczenia należało wyznaczyć odpowiednie stałe oraz wielkości opisujące obiekt (układ
zbiorników) ujęte w programie ćwiczenia.
2. Skrócony opis stanowiska:
Stanowisko zbudowano w oparciu o dwa zbiorniki połączone zaworem. Każdy ze
zbiorników posiadał regulowany zaworem wypływ (w dnie zbiornika). Do pierwszego zbiornika
wprowadzano strumień cieczy wytworzony za pośrednictwem pompy. Odpowiednie interesujące
nas wielkości były mierzone za pomocą czujników pomiarowych. W pętli sprzężenia umieszczono
regulator PID. Całym obiektem można było sterować za pośrednictwem programu komputerowego
skompilowanego do pliku wykonywalnego o nazwie „ce105.exe”. Na rysunku 1 pokazany jest
schemat blokowy obiektu regulacji:
Rysunek 1. Schemat blokowy obiektu regulacji.
3. Program ćwiczenia:
I. Badanie obiektu regulacji.
1. W układzie regulacji PI poziomu pierwszego zbiornika wyznaczyć wartości
odpowiednich sygnałów w stanie ustalonym. Do badań należy:
•
użyć zaworu A (zakres pomiędzy 2 a 3),
•
zawór B zamknięty,
•
zawór C całkowicie otwarty,
•
ustawić parametr „Control of tank level 1”
•
ustawić parametry regulatora PID: k
p
= 5, k
i
= 1, k
d
= 0.
•
ustawić wartość zadaną „Tank level set point” na „Wave Type D.C.”
•
wykonać pomiary od u
h1
= 2,5 V do u
h1
= 9,5 V co 0,5 V
2. Narysować charakterystyki statyczne:
•
pompy q = f (u
r
),
•
przetwornika pomiaru przepływu u
q
= f (q),
•
zbiornika h
1
= f (q), u
h1
= f (u
q
),
•
przetwornika pomiaru poziomu u
h1
= f (h
1
),
•
układu otwartego u
h1
= f (u
r
).
3. Wyznaczyć:
•
pole powierzchni lustra cieczy w zbiorniku A1,
•
stałą zaworu,
•
dla dwóch zadanych punktów pracy (zaznaczonych w punkcie 1) parametry k
1
i T
1
transmitancji zbiornika,
•
stałe k
pom
, k
q
, k
h
,
•
wyznaczyć transmitancję całego układu otwartego: K
0
s=
U
h1
s
U
r
s
dla obu
punktów pracy.
4. Badanie odpowiedzi skokowej:
Zarejestrować odpowiedzi układu otwartego na skok Δu
r
w pobliżu podanych punktów
pracy. Na podstawie odpowiedzi skokowych zidentyfikować wzmocnienie układu
otwartego k
o
= k
pom
k
1
k
h
oraz stałą czasową T
1
. Porównać wyniki z wartościami
parametrów uzyskanymi w punkcie 3. Skok Δu
r
należy wygenerować wykorzystując
układ regulacji poziomu drugiego zbiornika. W tym celu należy ustawić stałe
wymuszenie w układzie („Control of tank level 2”). Badanie układu na skokową zmianę
wartości zadanej należy przeprowadzić po uprzednim osiągnięciu stanu ustalonego.
II. Badanie układu regulacji.
5. Badanie układu z regulatorem P:
Uruchomić układ regulacji P poziomu pierwszego zbiornika. Dla dwóch wartości
wzmocnienia regulatora (k
p
= 2,72 i k
p
= 6,01) odczytać błąd w stanie ustalonym dla
obu punktów pracy. Porównać wyniki z zależnościami uzyskanymi analitycznie.
Wyznaczyć warunki stabilności układu oraz stopień stabilności.
6. Badanie układu z regulatorem PI:
Uruchomić układ regulacji PI poziomu pierwszego zbiornika. Dla obu punktów pracy
dobrać nastawy regulatora zapewniające przebiegi oscylacyjne a następnie
aperiodyczne. Wyprowadzić warunek aperiodyczności przebiegów i porównać z nim
wartości dobranych nastaw regulatora. Wyprowadzić warunki stabilności układu oraz
obliczyć stopień oscylacyjności.
4. Badanie obiektu regulacji:
Ad 1.
Tabela 1. Wartości odpowiednich sygnałów w stanie ustalonym.
u
r
[V]
q [m
3
/s]
u
q
[V]
h
1
[m]
u
h1
[V]
1,367
3,33E-06
0,106
0,004
2,500
1,820
5,00E-06
0,810
0,016
3,000
2,054
6,67E-06
1,117
0,029
3,494
2,228
9,17E-06
1,303
0,040
3,988
2,354
1,00E-05
1,493
0,055
4,511
2,601
1,25E-05
1,622
0,067
4,994
2,707
1,33E-05
1,740
0,081
5,510
2,851
1,42E-05
1,911
0,093
6,004
2,927
1,50E-05
1,985
0,105
6,496
3,044
1,58E-05
2,107
0,119
7,005
3,185
1,67E-05
2,270
0,013
7,495
3,292
1,75E-05
2,327
0,144
7,996
3,355
1,83E-05
2,441
0,158
8,506
3,470
1,92E-05
2,526
0,170
9,004
3,504
1,97E-05
2,602
0,182
9,503
W tabeli 1 zaznaczono zadane punkty pracy używane w dalszych rozważaniach.
Ad 2.
Rysunek 2.
Rysunek 3.
Rysunek 4.
Charakterystyka statyczna pompy
q = f(u
r
)
y = 8E-06x - 9E-06
0,00E+00
5,00E-06
1,00E-05
1,50E-05
2,00E-05
2,50E-05
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
u
r
[V]
q
[
m
3
/s
]
Charakterystyka przetwornika
pomiaru przepływu u
q
= f(q)
y = 132492x + 0,0232
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
0,00E+00 5,00E-06
1,00E-05
1,50E-05
2,00E-05
2,50E-05
q [m
3
/s]
u
q
[
V
]
Charakterystyka zbiornika h
1
= f(q)
y = 5E+08x
2
- 328,37x + 0,0045
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,00E+00 5,00E-06
1,00E-05
1,50E-05
2,00E-05
2,50E-05
q [m
3
/s]
h
1
[
m
]
Rysunek 5.
Rysunek 6.
Rysunek 7.
Charakterystyka zbiornika u
h1
= f(u
q
)
y = 1,1648x
2
- 0,3676x + 2,5144
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
u
q
[V]
u
h
1
[
V
]
Charakterystyka przetwornika
pomiaru poziomu u
h1
= f(h
1
)
y = 39,052x + 2,3712
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
h1 [m]
u
h
1
[
V
]
Charakterystyka układu otwartego
u
h1
= f(u
r
)
y = 1,1708x
2
- 2,5253x + 3,7676
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
u
r
[V]
u
h
1
[
V
]
Na charakterystykach zamieszczono linie trendów oraz odpowiadające im równania. W
przypadku charakterystyk oznaczonych jako rysunek 2, 3 oraz 6 spodziewaną charakterystyką była
prosta, co wynika z charakteru zastosowanych urządzeń (pompy i przetworników). Natomiast w
pozostałych przypadkach spodziewano się otrzymać wielomian rzędu drugiego ze względu na
kwadratową zależność h
10
= f (q
0
) w stanie ustalonym.
Ad 3.
●
Wyznaczenie pola powierzchni lustra cieczy w zbiorniku:
Korzystamy z następujących zależności:
V =A⋅h
V =q⋅t
Uzyskujemy wzór do wyznaczenia szukanej wielkości:
A=
q⋅t
h
Odczytane wartości wielkości w czasie laboratorium:
h=150 mm=0,15 m
q=2,8
l
min
=
4,67⋅10
−
5
m
3
s
t=30,27 s
Wyznaczona wartość pola powierzchni lustra cieczy w zbiorniku: A=9,42⋅10
−
3
m
2
●
Wyznaczenie stałej zaworu „c
1
”:
Wykorzystując równanie określające stałą zaworu: c
1
=
q
0
h
10
wyznaczono tą stałą w
każdym z punktów równowagi a następnie a uzyskane wyniki uśredniono.
Wyznaczona wartość stałej zaworu: c
1
=
4,56⋅10
−
5
m
5
2
s
●
Wyznaczenie parametrów k
1
i T
1
dla dwóch punktów pracy zaznaczonych w punkcie 1:
W tym celu wykorzystaliśmy model matematyczny prostego zbiornika o powierzchni z
zaworem, do którego dostarczana jest ciecz z przepływem q. Poprzez linearyzację tego
nieliniowego modelu i wyprowadzenie transmitancji dla małych przyrostów zmiennych określono
wzory na szukane parametry. Przebieg wyprowadzony zamieszczono poniżej.
A⋅
dh
1
dt
=
q−c
1
⋅
h
1
A⋅
d h
1
dt
=
q−
c
1
2⋅
h
10
⋅
h
1
H
1
s⋅
A⋅s
c
1
2⋅
h
10
=
Q s
H
1
s
Q s
=
2⋅
h
10
c
1
1s⋅
2⋅A⋅
h
10
c
1
=
k
1
1s⋅T
1
Stąd :
k
1
=
2⋅
h
10
c
1
;
T
1
=
2⋅A⋅
h
10
c
1
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494): k
1
=
7469
s
m
2
;
T
1
=
70,36 s
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
k
1
=
10286
s
m
2
;
T
1
=
96,89 s
●
Wyznaczenie stałych k
pom
, k
q
, k
h
:
Stałe te wyznaczono jako współczynniki kierunkowe aproksymowanych równań
liniowych odpowiednich charakterystyk statycznych. Składniki stałe w tych równaniach obrazują
błędy zera przetworników i nieczułość pompy.
Odpowiednio wartości stałych:
k
pom
=
8⋅10
−
6
m
3
s⋅V
k
q
=
132492
s⋅V
m
3
k
h
=
39,05
V
m
●
Wyznaczenie transmitancji układu otwartego w zadanych punktach pracy:
Transmitancję tą wyznaczamy z następującego wzoru:
K
o
s=
U
h1
s
U
r
s
=
k
pom
⋅
k
h
⋅
[
H
1
s
Q s
]
w punkcie pracy
=
k
o
1s⋅T
1
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494): k
o
=
2,333 ;
T
1
=
70,36 s
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
k
o
=
3,213 ;
T
1
=
96,89 s
Ad 4.
Rysunek 8. Schemat do badania odpowiedzi skokowych.
Wartości wzmocnień wyznaczono jako stosunek przyrostów
u
h1
t
u
r
t
w stanie
ustalonym. Natomiast wartości stałych czasowych wyznaczono jako czas osiągnięcia 63,2%
wartości przyrostu u
h1
t w stanie ustalonym od momentu zmiany wymuszenia.
Rysunek 9.
Zidentyfikowane parametry układu otwartego:
Dla pierwszego skoku wymuszenia:
k
o
=
1,71 ;
T
1
=
51 s
Dla drugiego skoku wymuszenia:
k
o
=
2,33 ;
T
1
=
78 s
Uzyskane wyniki co do wartości są mniejsze od tych otrzymanych z analizy charakterystyk
statycznych. Wiąże się to z faktem że do stanu ustalonego dochodziliśmy od mniejszych wartości
poziomu cieczy oraz postaci charakterystyki statycznej badanego obiektu (ze wzrostem h
1
rosną
zarówno stała czasowa jak i wzmocnienie). Niewątpliwie uzyskane przez nas wyniki obarczone są
błędami odczytu, pomiaru, a także błędami wynikającymi bezpośrednio z zastosowania linearyzacji
obiektu (przyrosty nie są znikomo małe). Jednakże wyznaczone parametry w znacznym stopniu nie
odbiegają od siebie.
5. Badanie układu regulacji:
Ad 5.
Badania przeprowadzono dla dwóch nastaw regulatora P (k
p
= 2,72 i k
p
= 6,01).
●
Uchyby regulacji:
Wartości uchybów dla k
p
= 2,72 wynosiły:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
e
ust
=
0,630 mV
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
e
ust
=
0,787 mV
Wartości uchybów dla k
p
= 6,01 wynosiły:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
e
ust
=
0,310 mV
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
e
ust
=
0,370 mV
Stosując twierdzenie graniczne na wcześniej wyprowadzonej funkcji przejścia uzyskaliśmy
analityczną postać uchybu regulacji w stanie ustalonym:
e
ust
=
h
1k
p
⋅
k
o
gdzie:
k
p
– wzmocnienie regulatora P
k
o
– wzmocnienie obiektu w punkcie pracy
h – wartość zadana
Odpowiedzi układu na skok
∆
u
r
[V]
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0
200
400
600
800
1000 1200
t [s]
u
h
1
[
m
V
]
Wyznaczone analitycznie wartości uchybów dla k
p
= 2,72:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
e
ust
=
0,476 mV
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
e
ust
=
0,463 mV
Wyznaczone analitycznie wartości uchybów dla k
p
= 6,01:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
e
ust
=
0,233 mV
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
e
ust
=
0,222 mV
Jak widać wyznaczone analitycznie wielkości są mniejsze od mierzonych co wynika z faktu
wpływu zakłóceń na rzeczywisty obiekt regulacji. Zauważono że zarówno ze wzrostem nastawy
regulatora jak również z przesuwaniem się w prawo punktu pracy po charakterystyce statycznej
wartość teoretyczna e
ust
maleje. Wiąże się to ze wzrostem wzmocnienia k
p
jak również k
o
.
●
Wyznaczono warunki stabilności układu korzystając z równania charakterystycznego obiektu
oraz kryterium Hurwitza:
Równanie charakterystyczne:
s⋅T
1
1k
o
⋅
k
p
=
0
Warunki stabilności:
T
1
0
k
o
⋅
k
p
−
1
Przyjmując że parametry występujące w równaniu charakterystyczny są dodatnie stwierdzamy
że układ regulacji z regulatorem P jest stabilny strukturalnie.
●
Wyznaczono stopień stabilności układu regulacji:
Jak wynika z równania charakterystycznego istnieje tylko jeden jego pierwiastek:
s=−
1k
o
⋅
k
p
T
1
Wynika z tego, że stopień stabilności równy jest modułowi tego pierwiastka (bo
pierwiastek jest rzeczywisty ujemny):
=
1k
o
⋅
k
p
T
1
Jak widać ze wzrostem wzmocnienia regulatora P rośnie stopień stabilności. Z przesunięciem
punktu pracy w prawo na charakterystyce statycznej obiektu również wartość tego parametru
wzrasta.
Ad 6.
Badania przeprowadzono dla dwóch nastaw regulatora PI:
●
k
p
= 2,72; k
i
= 6,01
– obserwowano przebiegi periodyczne
●
k
p
= 6,01; k
i
= 2,72
– obserwowano przebiegi periodyczne
●
Nie obserwowano przebiegów aperiodycznych (zabrakło czasu na lab.)
●
Wyprowadzenie szukanych zależności:
Równanie charakterystyczne:
s
2
⋅
T
1
s⋅1k
o
⋅
k
p
k
o
⋅
k
i
=
0
Przyjmując, że wszystkie parametry równania charakterystycznego są wartościami dodatnimi
stwierdzamy, że układ jest stabilny strukturalnie.
Aby wystąpiły w układzie oscylacje, to Δ < 0 – para sprzężonych pierwiastków zespolonych.
Warunek aperiodyczności:
=
1k
o
⋅
k
p
2
−
4⋅T
1
⋅
k
o
⋅
k
i
0
Pierwiastki:
s
1,2
=
−
1k
o
⋅
k
p
±
1k
o
⋅
k
p
2
−
4⋅T
1
⋅
k
o
⋅
k
i
2⋅T
Stopień oscylacyjności:
=
1k
o
⋅
k
p
2
−
4⋅T
1
⋅
k
o
⋅
k
i
1k
o
⋅
k
p
Porównanie wyników z zależnościami analitycznymi:
k
p
= 2,72; k
i
= 6,01:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
=−
3892,2
=
8,493
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
=−
7388,98
=
8,826
Wyznaczone wartości wskazują, iż powinniśmy obserwować przebieg oscylacyjny.
k
p
= 6,01; k
i
= 2,72:
Dla pierwszego punktu pracy (u
h1
= 3,494):
=−
1560,31
=
2,630
Dla drugiego punktu pracy (u
h1
= 4,511):
=−
2974,52
=
2,685
Wyznaczone wartości wskazują, iż powinniśmy obserwować przebieg oscylacyjny.
Jak widać ze zmniejszaniem wartości k
i
spada stopień oscylacyjności co
zaobserwowano w trakcie laboratorium.
6. Wnioski:
●
Badany obiekt regulacji jest nieliniowy. Nieliniowość ta wynika z kwadratowej zależności
pomiędzy wysokością słupa cieczy h
1
a przepływem q. Potwierdzają to charakterystyki
statyczne.
●
Parametry k
1
, T
1
, k
o
, e
ust
, η, μ zależą od punktu pracy układu.
●
Układ regulacji z regulatorem P charakteryzuje się przebiegami aperiodycznymi jednakże
uchyb w stanie ustalonym jest niezerowy.
●
Układ regulacji z regulatorem PI charakteryzuje się w zależności od punktu pracy układu
oraz nastaw regulatora, przebiegami aperiodycznymi bądź periodycznymi. W układzie
występuje teoretycznie zerowy uchyb regulacji w stanie ustalonym (zakłócenia powodują,
występowanie oscylacji i drgań przypadkowych).
●
Spodziewamy się różnych parametrów wyznaczonych z rejestrowanych przebiegów przy
przejściu z jednego stanu ustalonego do drugiego a przejściu odwrotnym.