Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych
~ ( p (" q) Ô! (~ p'" ~ q)
~ ( p '"q) Ô! (~ p(" ~ q)
Zaprzeczenie implikacji
~ ( p Ò! q) Ô! ( p'" ~ q)
Pytanie 4
Prawo kontr pozycji
Definicja kresu dolnego i górnego,
( p Ò! q) Ô! (~ p Ò!~ q)
twierdzenie o istnieniu kresów:
Pytanie 2
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów
góry gdy
~ ("x _Õ(x) Ò! "x _(~ Õ(x))
istnieje liczba (zwana
M " R
~ ("x _Õ(x) Ò! "x _(~ Õ(x))
ograniczeniem górnym
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
("x " A)
zbioru A) taka, że: x d" M
"x _ "yÈ (x, y) Ô! "y _ "x _È (x, y)
Kresem górnym zbioru A nazywamy
"x _ "yÈ (x, y) Ô! "y _ "x _È (x, y)
najmniejsze z
"x _ "yÈ (x, y) Ô! "y _ "x _È (x, y)
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy
Pytanie 3
kres górny
Działania na zbiorach
przez symbol supA (supremum A)
A, B ‚" X .
Niech Możemy zdefiniować
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z
następujące
dołu gdy
działania na zbiorach
istnieje liczba m" R (zwana
Suma zbiorów A i B
ograniczeniem dolnym
("x " A) m d" x
zbioru A) taka, że:
A*" B= {x" X:(x" A)(" (x" B)
Kresem dolnym zbioru A nazywamy
największe z
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B
ograniczeń dolnych zbioru A i
oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów:
A)" B= {x" X:(x" A)'" (x" B)
1) Każdy zbiór niepusty A ‚" R
ograniczony z
Różnica zbiorów A i B
góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty A ‚" R
ograniczony z
A\B={x" X:(x" A)'" (x " B)
dołu posiada dokładnie jeden kres dolny
Dopełnienie zbioru A do X
Pytanie 5
A'={x "X : x "A}
Wartość bezwzględna i jej własności:
Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to
x " R
Dla definiujemy jej wartość
można
bezwzględną wzorem:
utworzyć zbiór, który oznaczamy
A× B
Å„Å‚ x, _ dla _ x e" 0
| X |=
òÅ‚
złożony
- x, _ dla _ x < 0
ół
ze wszystkich par uporzÄ…dkowanych
Własności:
x, y
, gdzie
y " B
x " A i . Zbiór ten nazywamy
iloczynem (produktem) kartezjańskim
zbiorów A i B.
| x |e" 0
Õ(n)
to zachodzi dla każdej liczby
x + y d" x + y
naturalnej u.
x Å" y = x Å" y
x
x
= dla _ y `" 0
y y
x - y d" x - y
- x d" x d" x
Pytanie 6 Pytanie 8
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja, Definicja ciÄ…gu liczbowego,
bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja monotoniczność, ograniczoność:
funkcji: Ciągiem liczbowym (nieskończonym)
nazywamy każdą funkcje f określoną na
f ‚" X × Y
X `" 0 Y `" 0
Niech , . Zbiór
zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej
nazywamy
funkcji nazywamy wyrazami ciÄ…gu i
x " X
funkcją, gdy dla każdego istnieje
f (n) a" an, n " N
oznaczamy a ciÄ…g o
dokładnie
an an
wyrazach zapisujemy symbolem ( )
y " Y
jeden element taki, że x, y " f
lub a , a , a ...
1 2 3
(an)
Monotoniczność: Mówimy, że ciąg
W skrócie: ("x " X)("! y " Y) x, y " f
jest:
f : X Y
Piszemy oraz zamiast x, y " f
("n " N )an+1 e" an
1) niemalejÄ…cy gdy
piszemy y = f(x)
(" "N )an+ >an
n
rosnÄ…cy gdy 1
Niech f : X Y . Mówimy, że:
(" "N )an+ d"an
n
2) nierosnÄ…cy gdy 1
n
a) f jest iniekcjÄ… (albo inaczej funkcjÄ… (" "N )an+ malejÄ…cy gdy 1
różnowartościową), gdy
Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący
to nazywa siÄ™ monotonicznym.
("x1, x2 " X )x1 `" x2 Ò! f ( x1) `" f (x2)
(an)
(Uwaga: korzystając z prawa Ograniczoność: Ciąg nazywa się
kontrapozycji, można powyższy warunek
ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów
zapisać w postaci
{an , n " N}
jest zbiorem ograniczonym w
("x1, x2 " X ) f ( x1) = f ( x2) Ò! x1 = x2)
zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to,
b) f jest suriekcjÄ… (albo inaczej funkcjÄ…
 na ), gdy
("K " R)("n " N)an e" K
że (*)
("y "Y)("x " X ) f(x) = y
("L " R)("n " N)an d" L
c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie
Warunek (*) można zastąpić przez:
iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
("M e" 0)("n " N) an d" M
Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech Õ(n) bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…,
której dziedziną jest zbiór liczb
naturalnych N. Jeśli:
Õ(1)
1) zachodzi
2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi
wynikanie Õ(n) Ò! Õ(n +1)

Pytanie 9 Pytanie 10
Ciągi zbieżne i ich własności: Twierdzenie o trzech ciągach:
Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę
("n "N ) an d" bn d" cn
Jeśli
(gdy istnieje liczba g taka że granica
oraz limn" an = limn" cn = a , to
limn" an = g
). Gdy taka liczba nie
limn" bn = a
istnieje to ciąg nazywa się rozbieżnym.
Dowód: Niech µ > 0. Z zaÅ‚ożenia mamy
Własności:
("k " N)("n e" k)
(an)
1) Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma
dokÅ‚adnie jednÄ… granicÄ™. an - a < µ '" cn - a < µ
(an )
2) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest
Koniunkcja nierówności
ograniczony.
an - a < µ '" cn - a < µ
implikuje
Z tego wynika:
a - µ < an '" cn < a + µ
limn" an = 0 Ô! limn" an = 0
a)
I z założenia
limn" an = g Ò! limn" an = g
b)
a - µ < an d" bn d" cn < a + µ
limn" an = a
Jeśli i
SkÄ…d mamy
a - µ < bn < a + µ
a,b " R
limn" bn = b
gdzie to
zatem
limn" (an Ä… bn ) = a Ä… b
1)
("n e" k) bn - a < µ
limn" (an Å" bn ) = a Å" b
2)
Co daje tezÄ™.
Uwaga: Twierdzenie pozostaje
an a
limn" ( ) =
3)
prawdziwe, jeśli zakładać, że
bn b
an d" bn d" cn dla prawie wszystkich
bn `" 0,b `" o, n " N
n " N