Zadania z rachunku prawdopodobieństwa dla WNE
Ćwiczenia 1, 5 X 2007
1. Udowodnić rachunkowe własności prawdopodobieństwa W1 W7, podane
na wykładzie.
2. F jest Ã-ciaÅ‚em, A, B "F. Wykazać, że A )" B "F.
3. Opisać najmniejsze Ã-ciaÅ‚o, do którego:
a) należy zbiór A;
b) należą zbiory A i B.
Zbadać, ile elementów może mieć Ã-ciaÅ‚o skoÅ„czone.
4. A, B, C są zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach zdarzenia
 zachodzi dokładnie k spośród wymienionych zdarzeń i  zachodzi co najmniej
k spośród wymienionych zdarzeń , gdzie k =0, 1, 2, 3.
1 1 2
5. Wiadomo, że P (A ) = , P (A )" B) = i P (A *" B) = . Obliczyć P (B )
3 4 3
i P (A )" B ).
6. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy dwie kule a) bez
zwracania; b) ze zwracaniem. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie kul
tego samego koloru, czy różnych kolorów?
7. W grupie ćwiczeniowej jest 23 studentów. Jaka jest szansa, że w tej grupie:
a) jest ktoÅ› obchodzÄ…cy urodziny 22 maja;
b) sÄ… osoby obchodzÄ…ce urodziny tego samego dnia?
8. 10 osób wsiada do (pustego) pociągu. Każdy wybiera jeden z 4 wagonów
losowo. Jaka jest szansa, że wszystkie wagony będą zajęte?
9. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że wśród wybranych kart jest a)
4; b) 6; c) 7 kart jednego koloru?
Uwaga. W niektórych z powyższych zadań prawdopodobnie należy zastoso-
wać klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Warto zbadać, czy zawsze jest to
uzasadnione.
Przydatne będą podstawowe schematy kombinatoryczne, znane pod hasłami:
permutacje, kombinacje, wariacje i wariacje z powtórzeniami.
1
Ćwiczenia 2, 12 X 2007
A. Kombinatoryka.
1. W zadaniu z wykładu o listach obliczyć
a) prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafi, gdzie trzeba.
b) średnią liczbę listów, trafiających do właściwej koperty.
2. Są 44 skarbonki zamykane na kluczyk, a każdy klucz pasuje dokładnie do
jednej skarbonki. Po zamknięciu skarbonek wymieszane losowo klucze powrzu-
cano po jednym do każdej skarbonki. Jaka jest szansa, że po rozbiciu dowolnie
wybranej skarbonki uda się otworzyć wszystkie?
3. Do n komórek wrzucono losowo n kul. Jaka jest szansa, że a) wszystkie
komórki będą zajęte; b) dokładnie jedna komórka pozostanie pusta?
4. Z 52 kart wybrano 13. Jaka jest szansa, że otrzymamy układ a) 5-4-3-1;
b) 5-3-3-2 (co oznacza: pięć kart w jednym kolorze, trzy w innym, etc.)
B. Prawdopodobieństwo geometryczne.
1. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo punkty A, B i C. Jaka jest szansa, że
A2. Z przedziału [0, 1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na
trzy odcinki. Jaka jest szansa, że uda się z nich zbudować trójkąt?
3. Jak gruba powinna być moneta, żeby upadała na kant z prawdopodobień-
1
stwem ?
3
4. Igła Buffona. Na podłogę z desek o szerokości d rzucamy igłę o długości
l. Jaka jest szansa, że igła nie przetnie krawędzi deski?
2
Ćwiczenia 3, 19 X 2007
A. Kombinatoryka.
1. W koszyczku jest 8 jabłek i 4 gruszki. Wybrano losowo próbkę złożoną z
3 owoców. Jaki jest najbardziej prawdopodobny skład próbki?
2. Z jeziora wyłowiono 120 ryb, oznakowano i wpuszczono z powrotem do
wody. Po pewnym czasie wyłowiono 80 ryb, w tym 12 oznakowanych. Oszacować
liczbÄ™ ryb w jeziorze.
3. Gospodyni rozdzieliła losowo 24 pączki pomiędzy 6 gości. Jaka jest szansa,
że a) ktoś nie dostanie pączka; b) że każdy dostanie co najmniej dwa?
4*. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z dziesięciu pięter.
Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2, i na dwóch
piętrach po jednej (w skrócie: 3-2-1-1-0-0-0-0-0-0)? Ile jest takich konfiguracji?
B. Prawdopodobieństwo warunkowe.
1. Wurnie jest b kul białych i c kul czarnych. Po wylosowaniu kuli zwracamy
ją do urny i dokładamy d kul tego samego koloru. Jaka jest szansa otrzymania
kolejno kuli białej, czarnej i białej? A czarnej, białej i białej? Jakie jest ogólne
twierdzenie?
2. Spośród rodzin z dwojgiem dzieci wylosowano jedną i okazało się, że a)
starsze dziecko jest chłopcem; b) co najmniej jedno dziecko jest chłopcem. Jaka
jest w obu przypadkach szansa na to, by rodzina miała dwóch synów? Czy
w b) przypadkiem uzyskana informacja, że jedno z dzieci ma na drugie imię
Kazimierz, zmieni ocenÄ™ szans?
3. Brydżysta dostał 13 kart z 52, obejrzał jedną i stwierdził, że nie ma asa.
Obejrzał kolejne 5 i znów nie trafił na asa. Obejrzał jeszcze 4 i nie zobaczywszy
asa stwierdził, że prawie na pewno wśród pozostałych kart nie ma asa. Odtwo-
rzyć rozumowanie brydżysty.
4. Ola i Jola umówiły się między 12 a 13 w centrum miasta; ta, która przyj-
dzie pierwsza, czeka 15 minut. Jola już wie, że przed 12:30 na pewno nie przyj-
dzie. Jaka jest szansa, że dojdzie do spotkania?
3
Ćwiczenia 4, 26 X 2007
A. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na pr. całkowite, wzór Bayesa.
1. W 2005 roku w Bolkowicach włamano się do 30% mieszkań w blokach i
do 10% domków, a w Nowych Bolkowicach  do 40% mieszkań w blokach i do
20% domków. Czy wynika stąd, że w Bolkowicach jest bezpieczniej (mniejsza
szansa włamania)?
2. Wykonano dwie serie po n rzutów symetryczną monetą. Jaka jest szansa,
że w obu seriach wypadło tyle samo orłów?
3. Są dwie kostki symetryczne i jedna obciążona, na której szóstka wypada
z prawdopodobieństwem 1/10, a pozostałe wyniki mają równe szanse. Wybrano
losowo kostkę i w 7 rzutach nie uzyskano ani jednej szóstki. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że kostka jest obciążona.
4. Rzucamy monetą do chwili uzyskania dwóch orłów z rzędu. Jaka jest
szansa, że gra zakończy się w parzystej liczbie rzutów?
B. Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
1. Losujemy kartę z talii 52 kart. Czy niezależne są pary zdarzeń:
a) A  wylosowano asa, B  wylosowano kartÄ™ czerwonÄ…; b) A  wylo-
sowano asa pik, B  wylosowano dwójkę karo. Czy odpowiedz
zmieni siÄ™, gdy
będziemy losować dwie karty? A więcej?
2. Tzw. tie-break w tenisie kończy się, gdy jeden z zawodników wygra 7 piłek.
Jaka jest szansa wygranej zawodnika, który prowadzi 4:2 i ma równorzędnego
przeciwnika, z którym umówił się, że nie ma gry  na przewagę .
3. Asesor, Rejent i x. Robak strzelili jednocześnie do niedz
wiedzia, który
padł, trafiony jedną kulą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił Asesor, jeśli
w podobnych warunkach uzyskuje 80% celnych strzałów, podczas gdy x. Robak
95%, zaÅ› Rejent tylko 70%.
4. Jaka jest szansa, że w schemacie Bernoulliego otrzymamy parzystą liczbę
sukcesów? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów?
4
Ćwiczenia 5, 9 XI 2007
A. Niezależność.
1. Wykazać twierdzenie z wykładu, charakteryzujące niezależność n zdarzeń
(stw. 11, s. 61 z podręcznika [JJ RS]).
2. Jest 95% kierowców ostrożnych, którzy powodują w ciągu roku wypadek
z prawdopodobieństwem 1% i 5% piratów, u których szansa na wypadek wynosi
20%. Zakładamy niezależność wypadków u tego samego kierowcy w kolejnych
latach. Wybrany losowo kierowca nie spowodował wypadku w roku 2004. Jaka
jest szansa, że spowoduje wypadek w roku 2005? Jak zmieni się odpowiedz
, jeśli
wiadomo, że kierowca nie miał wypadku w latach 2003 2004?
3. Dwie osoby przeprowadzają korektę książki. Pierwsza znalazła 122 błędy,
druga 163, przy czym było 67 błędów wykrytych przez obie. Obydwie osoby
zostały też zwolnione z pracy. Dlaczego?
4. Tenisista musi wygrać dwa kolejne mecze z trzech. Może grać a) z mi-
strzem, potem z kolegą klubowym i znów z mistrzem, albo b) z kolegą, z mi-
strzem, z kolegą. Który wariant powinien wybrać, jeśli wyniki kolejnych meczów
są niezależne, szansa wygranej z mistrzem jest równa p, z kolegą  r >p?
B. Schemat Bernoulliego.
1. Jaka jest szansa, że przy wielokrotnym rzucaniu parą kostek suma oczek
8 pojawi siÄ™ przed sumÄ… oczek 7?
2. Rozgrywający partię brydża ma wraz z tzw. dziadkiem 8 pików, zatem
u przeciwników jest ich razem 5. Rozgrywający uważa, że prawdopodobień-
stwo, iż przeciwnik po lewej ma k pików, jest równe prawdopodobieństwu k
sukcesów w schemacie Bernoulliego n niezależnych doświadczeń, gdzie n =5 i
k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Czy ma racjÄ™?
3. Rzucono monetą (niekoniecznie symetryczną) 10 razy. Zbadać niezależ-
ność zdarzeń: A   jeden lub więcej orłów w pierwszych 5 rzutach ; B 
 jedna lub więcej reszek w ostatnich 5 rzutach . podać inne przykłady zdarzeń
zależnych i niezależnych w tym doświadczeniu.
4. Ala i Bartek grają w ping-ponga i kończą seta grą na przewagę przy stanie
20:20. Jaką szansę wygrania seta ma Ala, jeśli wygrywa dwie piłki na trzy?
5. Gracze z zad. 4 umówili się, że grają do chwili, gdy ktoś wygra dwie
kolejne piłki. Jakie są teraz szanse wygranej? Jaka jest szansa, że rozgrywka
zakończy się w parzystej liczbie piłek?
6. Zastanowić się nad wyborem taktyki w następującej sytuacji: jesteśmy w
kasynie, mamy ostatnie 20 zł, taksówka do domu kosztuje 40 zł. Czy postawić
wszystko na czerwone-czarne, licząc na wygranie 40 zł, na co jest szansa p =
18/37, czy może ostrożnie stawiać po złotówce, dopóki nie uzbieramy 40 zł?
Gdyby p =1/2, czy miałoby to wpływ na taktykę?
5
Ćwiczenia 6, 16 XI 2007
A. Niezależność, lemat Borela-Cantelliego.
1. Z 52 kart wybrano 13. Czy as pik i dwójka trefl pojawiają się wśród
wybranych kart niezależnie?
2. Czy z niezależności parami zdarzeń A, B i C wynika niezależność zdarzeń
A \ B i C?
3*. W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z pr. sukcesu w pojedynczej
próbie równym p " (0, 1) zdarzenie An polega na pojawieniu się serii n sukcesów
w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2n a 2n+1 - 1. Zbadać w zależności
od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń An.
B. Twierdzenie Poissona.
1. W pewnym miasteczku 5000 osób zagrało w Toto-Lotka. Jaka jest szansa,
że
a) będzie więcej niż 3  trójki ;
b) będzie dokładnie jedna  czwórka ;
c) nie będzie  piątek ;
d) będzie jedna lub więcej  szóstek .
Przy obliczeniach przybliżonych podać błąd przybliżenia.
2. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba  czwórek przy założeniach
poprzedniego zadania?
6
Ćwiczenia 8, 30 XI 20071
1. Niech X oznacza liczbę prób, potrzebną do uzyskania k sukcesów w schemacie
Bernoulliego. Wyznaczyć rozkład X.
2. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem . Jaki
rozkład ma część całkowita T , a jaki część ułamkowa?
Uwaga. Część całkowita liczby x to największa liczba całkowita nie przekraczającą
x. Część ułamkową liczby x otrzymujemy odejmując od niej część całkowitą.
3. Czas rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem 1 (co ozna-
cza, że rozmowa trwa średnio minutę). Tak zwane impulsy naliczane są co minutę. Ile
zapłacimy średnio za rozmowę? A za minutę rozmowy? Jak zmieni się odpowiedz
, gdy
impulsy będzie się naliczać co 30 sekund?
4. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [-1, 1]. Jaki rozkład
1
ma a) - ln |X|; b) ctg Ä„X?
2
5. Rozkład Laplace a. Zmienna losowa X ma gęstość postaci
g(x) =Ce-|x-a|.
Wyznaczyć stałą C w zależności od parametrów  i a. Obliczyć P (|X - a| > 1).
6. Koincydencje. n osób wychodząc z baru zakłada losowo na głowę n kapeluszy.
Niech X oznacza liczbę kapeluszy, które trafiły na głowy właścicieli. Obliczyć wartość
oczekiwanÄ… i wariancjÄ™ X.
7. Wyznaczyć wartości oczekiwane dla znanych rozkładów prawdopodobieństwa.
8. Zmienna losowa Z przyjmuje wyłącznie wartości 0,1,2,. . . Wykazać, że
" "

EZ = P (Z n) = P (Z>n).
n=1 n=0
9. Który wzór na wartość średnią nieujemnej zmiennej losowej X jest prawdziwy:

" "
EX = P (X t)dt, czy EX = P (X>t)dt.
0 0
10*. Czas życia w siedemnastowiecznym Londynie ma z dobrym przybliżeniem
rozkład wykładniczy. Oznaczmy odpowiednią zmienną losową przez T .
a) Obliczyć
P (T " [t, t + h])
lim , t 0.
h0 hP (T > t)
b) Załóżmy, że ET =18 (lat). Jakie jest średnie dalsze trwanie życia osoby, która
przeżyła r lat?
c) W roku 1632 stwierdzono w Londynie ok. 9600 zgonów. Czy da się na tej pod-
stawie oszacować liczbę mieszkańców Londynu?
1
Na ćwiczeniach 7, 23 XI, była klasówka
7
Ćwiczenia 9, 7 XII 2007
A. Rocznik statystyczny jako generator liczb losowych.
Na ćwiczeniach wylosujemy ok. 100 liczb z rocznika statystycznego i zbadamy
rozkład pierwszej cyfry znaczącej. Kto chce, może eksperyment przeprowadzić
w domu i spróbować wyjaśnić wyniki. Pierwsza cyfra znacząca to pierwsza różna
od zera cyfra w zapisie dziesiętnym liczby (np. 3655, 0,0546). W główkach tabel
często występują liczby rozpoczynające się od 1, oznaczające lata. Należy je
zignorować.
B. Zmienne losowe, parametry rozkładów.
1. Zmienna losowa X ma gęstość g(x). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
aX + b, gdzie a = 0. Można dla wygody założyć, że funkcja g jest ciągła.

1
2. Zmienna losowa X ma gęstość g(x) = e-|x|.
2
a) wyznaczyć dystrybuantę i gęstość dla |X| oraz X2.
b) obliczyć funkcję tworzącą momenty dla X.
c) wyznaczyć wszystkie momenty X.
Niech Z =max(|X|, 2).
d) obliczyć EZ, P (Z 2), P (Z >2), P (Z =2) , P (Z = 2003).
3. W pewnym kraju wszyscy zarabiają co najmniej 100 talarów miesięcznie, a
co najwyżej 1000. Ponadto ułamek G(x) zarabiających ponad x talarów wyraża
siÄ™ wzorem
(x - 100)2
G(x) =1 - , 100 x 1000.
810000
Obliczyć średnią płacę.
8
Ćwiczenia 10, 14 XII 2007
Wariancja, kowariancja, współczynnik korelacji, nierówność Czebyszewa
1. Jaś i Małgosia grają w orła i reszkę symetryczną monetą (jeśli wypadnie
orzeł, Jaś wygrywa od Małgosi złotówkę, etc.). Jaś, mając przewagę fizyczną,
może wycofać się z gry w dowolnym momencie, gra się co najwyżej 4 razy.
Niech X oznacza wygraną Jasia. Wyznaczyć EX i D2X, jeśli
a) Jaś wycofuje się, gdy po raz pierwszy wygra k zł, k =0, 1, 2, 3, 4.
b) Jaś gra do końca.
2. W zadaniu o spotkaniu dwóch osób niech X oznacza czas przybycia osoby,
która przyszła wcześniej, zaś Y  tej, która przyszła póz
niej. Obliczyć
a) EX, EY ; b) D2X, D2Y ; c) cov(X, Y ) oraz współczynnik korelacji.
3. Wykazać, że gdy X 0, p >0, to

"
EXp = p tp-1P (X>t)dt.
0
4. Wypłata w grze losowej jest obliczana jako max(U - 3000, 0), gdzie U
ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 9000]. Wyznaczyć średnią i wariancję
wygranej.
5. Oszacować prawdopodobieństwo, że w serii n rzutów symetryczną monetą
liczba orłów przewyższy liczbę reszek o 5% lub więcej dla n = 1000, 10.000,
100.000 i 1.000.000.
9
Ćwiczenia 11, 4 I 2008
A. Niezależne zmienne losowe.
1. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład wykładniczy. Wyznaczyć
gęstość dla wektora losowego (X, Y ). Obliczyć EXY i EX2Y .
2. Zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład geometryczny G0(p) . Opisać
rozkład wektora losowego (X, Y ). Obliczyć P (X + Y < k) dla K =1, 2, . . .
3. X ma rozkład wykładniczy. Niech U będzie częścią całkowitą X, a V 
częścią ułamkową. Zbadać niezależność U i V .
B. Wielowymiarowe zmienne losowe i warunkowa wartość oczekiwana.
1. Rzucono 5 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
trzech pierwszych rzutach, z Y  łączną liczbę orłów we wszystkich rzutach.
a) sporządzić tabelkę rozkładu łącznego (X, Y );
b) wyznaczyć rozkłady brzegowe;
c) obliczyć Á(X, Y );
d) Obliczyć E(X|Y = k) dla k =0, 1, 2, 3, 4, 5. Jeśli to zadanie wydaje się
zbyt nudne, odgadnąć wynik i wyznaczyć E(X|Y );
e) Obliczyć E(E(X|Y )).
2. W sytuacji z zadania 1 niech Z będzie liczbą orłów w dwóch ostatnich
rzutach. Wykonać polecenia a e dla pary (X, Z).
3. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład jednostajny na prze-
dziale [0, 1].
a) Wyznaczyć gęstość dla (X, Y ). Jakie są rozkłady brzegowe? A warunkowe?
b) Obliczyć E(X|Y ), E(Y |X).
c) Niech U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznaczyć gęstość dla (U, V )
oraz rozkłady brzegowe.
d) Wyznaczyć rozkłady warunkowe U względem V i odwrotnie.
e) Obliczyć E(U|V ), E(V |U).
f) Wyznaczyć rozkład X + Y . Na ile sposobów można to zrobić?
4. Wykonać polecenia a) i b) dla X i Y o standardowym rozkładzie normal-
nym.
10
Ćwiczenia 12, 11 I 2008
A. Niezależność, rozkłady warunkowe.
1. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na trójkącie
"={(x, y) : 0 x y 1}.
Na ile sposobów można obliczyć EXY ?
Wsk. Skorzystać z własności warunkowej wartości oczekiwanej.
2. 20% klientów supermarketu płaci kartą i wtedy czas obsługi ma rozkład
wykładniczy z parametrem 1. Pozostali płacą gotówką; w tym przypadku czas
obsługi ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Wyznaczyć wartość oczeki-
waną i wariancję czasu obsługi.
3. Wektor losowy (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, przy czym
1
D2X = D2Y =1, cov(X, Y ) = . Wyznaczyć gęstość tego rozkładu, a także
2
gęstość warunkową dla X, gdy Y = t; obliczyć E(X|Y = t).
4. Liczba szkód zgłoszonych w ciągu roku przez klienta towarzystwa ubez-
pieczeniowego ma rozkład Poissona z parametrem . Ale sam parametr  zależy
od klienta. Przyjmijmy, że ma rozkład wykładniczy z parametrem 1. Jaki jest
rozkład liczby szkód?
5. Niezależne zmienne losowe X i Y mają ten sam rozkład a) jednostajny
na przedziale [0, 1], b) wykładniczy. Wyznaczyć gęstości dla X - Y , a także
wszystkie momenty.
6. Rzucono 100 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w
pierwszych 80 rzutach, a Y  w całej serii. Czy X i Y są niezależne? Wyznaczyć
kowariancjÄ™ X i Y .
7. Wektor losowy (X, Y ) ma stałą i różną od zera gęstość wyłącznie na
zbiorze
A = {(x, y) : x 0, 0 y x2 1}.
Wyznaczyć gęstości brzegowe i warunkowe, zbadać niezależność X i Y , obliczyć
cov(X, Y ), E(X|Y ) i E(Y |X).
8. Zbadać niezależność X +Y i X -Y , gdyX, Y są niezależne i mają rozkład
a) jednostajny na [-1, 1]; b) standardowy normalny.
11
Ćwiczenia 13, 18 I 2008
A
ańcuchy Markowa.
1. Niech (Un)" będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, przy
n=1
czym P (Un =1) =p, P (Un = -1) = 1 - p. Niech Xn = U1 + . . . + Un, n =
1, 2, . . ., X0 = 0. Wykazać, korzystając z definicji, że ciąg (Xn) jest łańcuchem
Markowa. Podać zbiór stanów i macierz przejścia.
2. Podać przykład łańcucha Markowa, który ma a) dwie różne macierze
przejścia; b) dwa różne rozkłady stacjonarne. Ile jest w tym przypadku rozkła-
dów stacjonarnych?
3. Wykazać, że w nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa wszystkie stany mają
ten sam okres.
4. Dziekan może być w humorze dobrym lub złym; jeśli jest w dobrym hu-
morze, następnego dnia na pewno będzie w złym; jeśli jest w złym, to są równe
szanse na humor dobry lub zły następnego dnia. Kolejne zmiany humoru można
uznać za niezależne. Jeśli dziekan jest w złym humorze, zawsze manifestuje go
1
na zewnątrz. Jeśli jest w dobrym, to i tak z prawdopodobieństwem manifestuje
4
humor zły. Czy obserwowalne stany dziekana tworzą łańcuch Markowa?
5. Seminarium odbywa się w Warszawie, Krakowie lub Wrocławiu, a decyzja
o wyborze następnego miejsca podejmowana jest w drodze uczciwego losowania
z dwóch możliwości. Pierwsze seminarium odbyło się w Krakowie. Po pewnym
czasie uczeni z Krakowa i Wrocławia zorientowali się, że ci z Warszawy używają
asymetrycznej monety. Jakie sÄ… konsekwencje tego faktu? Czy krakowiacy i wro-
cławianie mogą doprowadzić do sytuacji, w której seminaria będą się odbywać
jednakowo często w każdym mieście?
6. Chomik ma zwyczaj przebywania pod łóżkiem lub pod szafą. Mniej wię-
cej co minutÄ™ podejmuje decyzjÄ™ o ewentualnej zmianie miejsca pobytu. Gdy
jest pod szafą, to pozostaje tam z prawdopodobieństwem 0,1, a gdy jest pod
łóżkiem, to pozostaje na miejscu z prawdopodobieństwem 0,2. Ponieważ ma
krótką pamięć, kolejne decyzje można uważać za niezależne. Jaka jest po paru
godzinach szansa znalezienia chomika pod łóżkiem?
7. W pudełkach A i B jest razem n ponumerowanych kolejno kul. Co mi-
nutę losuje się numer kuli i przekłada wylosowaną kulę do drugiego pudełka.
Zbadać odpowiedni łańcuch Markowa. Jaki jest rozkład stacjonarny (łatwo to
stwierdzić dla niedużych n). Czy kolejne stany układu zmierzają do rozkładu
stacjonarnego?
8. Ala i Bartek rzucajÄ… monetÄ…. Ala wygra, gdy pierwsza doczeka siÄ™ ciÄ…gu
OOR, Bartek  gdy doczeka siÄ™ ciÄ…gu ORO. Jakie sÄ… szanse wygranej dla Ali?
A średni czas gry?
12
Ćwiczenia 14, 25 I 2008
1. Do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa przystąpiło 400 osób, a
szansa zdania egzaminu jest równa 0,3. Oszacować prawdopodobieństwo, że eg-
zamin zda a) mniej niż 110 osób; b) więcej niż 135 osób.
2. W celu oszacowania prawdopodobieństwa zdania egzaminu, o którym
mowa w zadaniu 1, można przejrzeć wyniki z zeszłych lat.
a) Wyniki ilu osób należy uwzględnić, żeby błąd oszacowania nie przekroczył
µ =0,01 z prawdopodobieÅ„stwem Ä… =0,95 lub wiÄ™kszym?
b) Jaka jest szansa przekroczenia podanej granicy błędu, jeśli zbadamy wy-
niki tylko 500 osób?
3. Klient wydaje w supermarkecie średnio X zł, gdzie X jest zmienną losową
o średniej 200 (zł) i odchyleniu standardowym 50 (zł). Jaka jest szansa, że 1000
klientów wyda łącznie ponad 202000 zł?
4. Po przyjęciu Paflagonii do UE w supermarkecie zaczyna się pojawiać
średnio 2% klientów z tego kraju. Wydają oni średnio 500 zł z odchyleniem
standardowym 100 zł. Jaka jest teraz szansa, że 1000 klientów wyda ponad
202000 zł?
5. Ośmioł porusza się skokami na przemian w przód i w tył. Skoki są nie-
zależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym, przy czym skoki w
przód mają średnio 1 metr, a w tył  25 cm. Jaka jest szansa, że po wykonaniu
400 skoków ośmioł oddali się od punktu startowego o 180 metrów lub więcej?
6. Poddano ankiecie n = 4096 osób i okazało się, że wśród nich jest 1410
palaczy. Podać przedział ufności dla frakcji p palaczy na poziomie ufności ą =
0,95.
7. Są dwa kioski z gazetami, wybierane losowo przez klientów. Jeśli 200 osób
chce kupić gazetę, każdy kioskarz ma po 110 egzemplarzy, jaka jest szansa, że w
kiosku A zabraknie gazet? Po ile egzemplarzy powinni zamówić kioskarze, żeby
ta szansa nie przekroczyła 0, 05?
13