TEST PRZED MATUR
2007
MODELE ODPOWIEDZI
DO PRZYKA
ADOWEGO ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO
Z MATEMATYKI
ZAKRES ROZSZERZONY
Numer Modele odpowiedzi i schemat punktowania Liczba punktów
zadania
1. Sprawdzenie, czy warunki zadania są spełnione, gdy a = 0 : dla 1
m = 1 funkcja jest stała, stale dodatnia.
Zapisanie warunków, kiedy trójmian kwadratowy przyjmuje 1
a > 0
Å„Å‚
zawsze wartości dodatnie:
òÅ‚" < 0
ół
1
Obliczenie wyró\
nika trójmianu: " = -3m2 + 2m +1
1
Rozwiązanie układu nierówności: m "(1+ ")
1
Podanie odpowiedzi: m " 1,+" )
2. 1
x
2
Zapisanie równania wykładniczego: (23 16) = , gdzie x to
8
wartość szukanego logarytmu.
7 5
1
x -
2
Przekształcenie równania do postaci: 23 = 2
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: 1
2 15
log2 16 = -
3
8 14
3. Zapisanie wzoru funkcji bez u\
ycia wartości bezwzględnej: 1
1
Å„Å‚
dla x e" 0
y =
òÅ‚
x
ół4 dla x < 0
Naszkicowanie wykresu funkcji: suma półprostej i fragmentu 1
krzywej wykładniczej.
Podanie odpowiedzi: równanie ma przynajmniej jedno 1
rozwiÄ…zanie dla m "(0,1
4. Zapisanie wzoru wielomianu spełniającego warunki zadania: : 1
W (x) = x2 + qx2 + q2 x + q3
1
UÅ‚o\
enie równania: 1+ q + q2 + q3 = 15
Rozwiązanie równania: q = 2 1
1
Podanie odpowiedzi: W (x) = x2 + 2x2 + 4x + 8
5. Zapisanie liczby pod pierwiastkiem w postaci kwadratu liczby: 1
2
a = (3 - 2 5) - 2 5
1
1
Zapisanie liczby a bez u\
ycia pierwiastka: a = 3 - 2 5 - 2 5
Zapisanie liczby bez u\
ycia wartości bezwzględnej, co 1
wykazuje tezÄ™ zadania: a = -3
6. Opis zdarzeń losowych potrzebnych do rozwiązania zadania: 1
A - wylosowanie kuli białej, B1, B2 - odpowiednio wyrzucenie
dwóch orłów, wyrzucenie innej liczby orłów, ni\
dwa w rzucie
trzema monetami.
Obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 1
3 5
B1, B2 : P(B1) = , P(B2 ) =
8 8
Obliczenie prawdopodobieństw warunkowych: 1
5 4
P(A / B1) = , P(A / B2 ) =
12 12
Skorzystanie ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i 1
35
obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A : P(A) =
96
7. Zauwa\
enie, \
e w mianowniku ułamka jest suma ciągu 1
arytmetycznego i podanie parametrów tego ciągu:
a1 = 4,r = 4, n - liczba wyrazów.
1
n2
Zapisanie wzoru ciÄ…gu w najprostszej postaci: an =
2n + 2n2
1
n2 1
Obliczenie granicy: lim =
n+"
2n + 2n2 2
1
8. b
Rozwiązanie równania dla a `" -5 : x =
a + 5
Rozwiązanie równania dla a = -5 '" b = 0 : x " R 1
Rozwiązanie równania dla: a = -5 '" b `" 0 :równanie sprzeczne. 1
9. SporzÄ…dzenie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1
dokładnie opisanych oznaczeń: ABC - dany trójkąt, ą - kąt
przy wierzchołku A, AD  dwusieczna tego kąta, x, y 
długości odcinków, na jakie ta dwusieczna dzieli bok
przeciwlegÅ‚y, ²  kÄ…t miÄ™dzy tym bokiem i dwusiecznÄ…, c,b 
boki trójkąta odpowiadające odcinkom x, y
Zastosowanie twierdzenia sinusów dla trójkąta 1
x c
ABD : =
Ä…
sin ²
sin
2
Zastosowanie twierdzenia sinusów dla trójkąta 1
y b
ACD : =
Ä…
sin(1800 - ² )
sin
2
2
1
Ä…
Wyznaczenie np sin z pierwszego równania i podstawienie
2
yc b
do drugiego: =
xsin ² sin(1800 - ²)
Wykorzystanie wzoru redukcyjnego i wykazanie tezy zadania: 1
y b
=
x c
10 SporzÄ…dzenie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1
dokładnie opisanych oznaczeń: ABC - dany trójkąt, r -
wysokość trójkąta poprowadzona na najdłu\
szy bok ( promień
sto\
ków "sklejonych" podstawami), h1,h2 - wysokości
powstałych sto\
ków
1
Obliczenie pola trójkąta: P = 6 11
1
9r
UÅ‚o\
enie równania z niewiadomą r : = 6 11
2
1
4 11
Obliczenie długości promieni powstałych sto\
ków: r =
3
Zapisanie objętości bryły jako sumy objętości dwóch sto\
ków: 1
1
2
V = Ä„r (h1 + h2 )
3
1
176Ä„
Obliczenie objętości bryły: V =
3
11 SporzÄ…dzenie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1
dokładnie opisanych oznaczeń: narysowanie paraboli, stycznej
do niej w punkcie o odciętej x0 , ABO - powstały trójkąt, O -
początek układu współrzędnych.
1
Wyznaczenie równania stycznej: y = -2x0 x + x0 2 + 4
Obliczenie współrzędnych punktów przecięcia stycznej z 1
ëÅ‚ öÅ‚
x0 2 + 4
ìÅ‚
osiami ukÅ‚adu współrzÄ™dnych: A = (0, x0 2 + 4), B = ,0÷Å‚
ìÅ‚
2x0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczenie pola trójkąta w zale\
ności od 1
2
(x0 2 + 4)
x0 : P(x0 ) = , x0 "(0,2)
4x0
Wyznaczenie pochodnej funkcji opisujÄ…cej pole: 1
(x0 2 + 4)(3x0 2 - 4)
x0 : P'(x0 ) = , x0 "(0,2)
4x0 2
1
2 3
Wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej: x0 =
3
3
Uzasadnienie, ze w znalezionym punkcie jest najmniejsza 1
wartość funkcji i podanie odpowiedzi: funkcja stale maleje na
lewo od ekstremum i stale rośnie na prawo, więc minimum
funkcji jest jej najmniejszą wartością. Styczną nale\
y więc
2 3
poprowadzić w punkcie o odciętej x0 = .
3
12 Przekształcenie lewej strony równania z wykorzystaniem 1
wzorów na sumę sinusów i ró\
nicę sinusów:
Ä… - ² Ä… + ² Ä… + ² Ä… - ²
sin(Ä… - ² ) = 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2
Doprowadzenie prawej strony do najprostszej postaci z 1
wykorzystaniem wzoru na sinus kÄ…ta podwojonego:
sin(Ä… - ² ) = sin(Ä… + ² )sin(Ä… + ² )
Obliczenie sinusa sumy dwóch ró\
nych kątów trójkąta: 1
sin(Ä… + ² ) = 1
1
WyciÄ…gniÄ™cie wniosku: Ä… + ² = 900 Ò! trzeci kÄ…t trójkÄ…ta jest
prosty, więc trójkąt jest prostokątny.
4