Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karuscha

2

1

2

2

2

1

2

1

*

5

.

0

*

)

(

min

x

x

x

x

x

x

f

−

−

+

+

=

∈

x

X

x

[

]

2

)

(

2

,

2

=

−

=

∧

∧

x

x

f

T













≥

≤

+

=

2

0

:

2

2

1

x

x

x

x

X

Przykład I

Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych X

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej PN

z ograniczeniami dodatkowo na zmienne decyzyjne x :

m

i

R

R

x

g

R

R

x

f

m

i

g

X

f

f

n

i

n

i

X

,...,

1

,

:

)

(

oraz

:

)

(

},

,...,

1

,

0

,

0

)

(

:

{

:

gdzie

),

(

min

)

ˆ

(

1

1

=

→

→

=

≥

≤

=

=

∈

x

x

x

x

x

x

.

)

(

)

(

)

(

1

∑

=

+

=

m

i

i

i

g

f

L

x

x

λ

x,

λ

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Warunki Lagrange’a dla ZPN z ograniczeniami na zmienne decyzyjne

x≥0

0

,

,

=













∇

∧

∧

∧

λ

x

L

x

x

0

≥

∧

x

0

,

≥













∇

∧

∧

λ

x

L

x

0

,

≤













∇

∧

∧

λ

λ

x

L

0

,

,

=













∇

∧

∧

∧

λ

λ

λ

x

L

0

≥

∧

λ

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karuscha

2

1

2

2

2

1

2

1

*

5

.

0

*

)

(

min

x

x

x

x

x

x

f

−

−

+

+

=

∈

x

X

x

[

]

2

)

(

0

,

2

=

=

∧

∧

x

x

f

T













≥

≤

+

=

0

0

:

2

2

1

x

x

x

x

X

Przykład II

Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych oraz
ograniczeniach na znak zmiennej decyzyjnej

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej PN

z ograniczeniami mniejszościowymi i równościowymi:

m

p

i

R

R

X

x

h

p

i

R

R

X

x

g

R

R

X

x

f

n

i

n

i

n

,...,

1

,

:

)

(

,...,

1

,

:

)

(

:

)

(

1

1

1

+

=

→

=

=

→

=

→

=

},

,...,

1

,

0

)

(

,

,...,

1

,

0

)

(

:

{

:

gdzie

m

p

i

x

h

p

i

g

X

i

i

+

=

=

=

≤

=

x

x

.

)

(

)

(

)

(

1

∑

=

+

=

m

i

i

i

g

f

L

x

x

λ

x,

λ

gdzie

)

(

min

)

(

x

f

x

f

X

x∈

∧

=

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Warunki Kuhn’a-Tuckera dla ZPN z ograniczeniami

mniejszościowymi i równościowymi

m

p

i

i

,...,

1

,

+

=

∧

λ

a) funkcje

są różniczkowalne;

b) jest lokalnym minimum ZPN,

To istnieją

oraz istnieją

o nieograniczonym znaku, takie że:

p

i

i

,...,

1

, =

∧

λ

p

1,...,

i

,

0

)

ˆ

(

ˆ

0

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

1

=

=

=

∇

+

∇

∑

=

x

x

λ

x

i

i

m

i

i

i

g

g

f

λ

Jeśli

i

g

f

i

xˆ

Teoria i metody optymalizacji
Dr inż. Ewa Szlachcic

Wydział Elektroniki studia II st.

kier. Automatyka i Robotyka

Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karusch’a

2

2

2

1

2

1

*

)

(

min

x

x

x

x

f

+

+

=

∈

x

X

x

[

]

19

)

(

2

,

3

=

=

∧

∧

x

x

f

T

Przykład III

Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych oraz
zbiorze ograniczeń równościowych













=

≥

−

=

0

4

*

2

:

2

2

1

x

x

x

x

X