Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Семестровая контрольная работа по ТФКП

Курс: 3, Вариант: 1,

осенний семестр 2001/2002 уч.г.

1. Разложить в ряд Лорана по степеням (z − i) функцию

f (z) =

2i + 1

(z − i − 1)(z + i)

в кольце, которому принадлежит точка z =

i

2

.

Указать границы

кольца сходимости.

2. Исследовать все особые точки функции

f (z) =

1

e

z

− 1

−

1

z

.

3. Вычислить

Z

+∞

−∞

sin(2 − 3x)

x

2

+ 4

dx .

4. Вычислить

I

|z+i|=2

z − 1

z

cos

1
z

− 1

dz .

5. Вычислить

Z

1

−2

10

q

(x + 2)

5

(1 − x)

5

dx .

6. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln(z

2

− 4z) в плоскости с

разрезом γ = γ

1

∪ γ

2

, γ

1

= {|z − 2| = 2 , Im z 6 0} , γ

2

= {− Re z =

= Im z , Im z > 0} , причем Im f (−5) = 0 . Вычислить

I

|z−2−2i|=1

dz

f (z) − ln 8 − 3πi

.

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Семестровая контрольная работа по ТФКП

Курс: 3, Вариант: 2,

осенний семестр 2001/2002 уч.г.

1. Разложить в ряд Лорана по степеням (z + 1) функцию

f (z) =

−4 − 2i

(z + 1 + 2i)(z − 3)

в кольце, которому принадлежит точка z = −1−5i . Указать границы
кольца сходимости.

2. Исследовать все особые точки функции

f (z) =

sin πz

cos

π

z

.

3. Вычислить

Z

+∞

−∞

x sin(1 − 2x)

x

2

+ 9

dx .

4. Вычислить

I

|z+i|=2

z · sin

1 −

1

z + i

dz .

5. Вычислить

Z

2

−2

14

s

(2 − x)

7

(x + 2)

7

dx .

6. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln(z

2

+ 4) в плоскости с

разрезом γ = γ

1

∪ γ

2

, γ

1

= {|z| = 2 , Re z 6 0} , γ

2

= {z = 2i + t ,

0 6 t < +∞} , причем Im f (−4) = 0 . Вычислить

I

|z−2|=1

dz

f (z) − ln 8 − 2πi

.

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Семестровая контрольная работа по ТФКП

Курс: 3, Вариант: 3,

осенний семестр 2001/2002 уч.г.

1. Разложить в ряд Лорана по степеням (z + i) функцию

f (z) =

4 + 3i

(z − 4)(z + 3i)

в кольце, которому принадлежит точка z = −2i . Указать границы
кольца сходимости.

2. Исследовать все особые точки функции

f (z) =

sin

2π

z

z

2

+ z − 6

.

3. Вычислить

+∞

Z

−∞

sin(3 − 4x)

x

2

+ 16

dx .

4. Вычислить

I

|z−i|=2

z + 1 − i

e

1

z−i

−i

dz .

5. Вычислить

Z

2

1

6

q

(x − 1)

3

(2 − x)

3

dx .

6. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln(z

2

− 4z) в плоскости с

разрезом γ = γ

1

∪ γ

2

, γ

1

= {|z − 2| = 2 , Im z > 0} , γ

2

= {z = it ,

−∞ < t 6 0} , причем Im f(−4) = 0 . Вычислить

I

|z−2+2i|=1

dz

f (z) − ln 8 + 3πi

.

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Семестровая контрольная работа по ТФКП

Курс: 3, Вариант: 4,

осенний семестр 2001/2002 уч.г.

1. Разложить в ряд Лорана по степеням (z − 1) функцию

f (z) =

−4 + 2i

(z − 1 − 2i)(z − 5)

в кольце, которому принадлежит точка z = 1 + 6i . Указать границы
кольца сходимости.

2. Исследовать все особые точки функции

f (z) =

sin

πi

z

e

πz

+ 1

.

3. Вычислить

+∞

Z

−∞

x sin(5 − x)

x

2

+ 25

dx .

4. Вычислить

I

|z−i|=2

z + 1

(e

1

z

+ 1)z

dz .

5. Вычислить

Z

1

−1

18

s

(x + 1)

9

(1 − x)

9

dx .

6. Пусть f (z) — регулярная ветвь функции Ln(z

2

+ 4) в плоскости с

разрезом γ = γ

1

∪ γ

2

, γ

1

= {|z| = 2 , Re z > 0} , γ

2

= {z = −2i + t ,

−∞ < t 6 0} , причем Im f(4) = 0 . Вычислить

I

|z+1|=1

dz

f (z) − ln 5 − 2πi

.