"

nn
1. Zbadać monotoniczność ciągu:
(c) (rozb.)
n!
n=1
n
(a) an = (odp: an ) "
n
2
4n
(d) (zb.)
n + 2
(b) an = 2n - n (odp: an )
n=1
n + 3
4. Korzystając z kryterium Cauch ego zbadać
(c) an = (odp: an )
n(n + 1)(n + 2)
zbieżność szeregu:
6n
(d) an = (odp: an ) "

5n
n!
(a) (zb.)
3n 4n
n=1
(e) an = (odp: an )
2
n
3n + 4 "

2
(b) n (zb.)
(f) an = ln(n!) (odp: an )
Ą
n=1
"

3n + 1 2n
2. Obliczyć granice ciągów:
(c) (rozb.)
2n + 3
n=1
(2n3 + 1)5
"
1
"
5

(a) lim (odp: )
n
2
n"
n9 (2n + 1)6 (d) (rozb.)
(0, 9)n
n=1
(3n - 2)3
"

(b) lim (odp: +") n2n
n"
(2n - 1) (5n + 2) (e) (zb.)
(2n2 + 1)n
n=1
1 - 4n 2015
(c) lim (odp: -1)
5. Korzystając z kryterium porównawczego lub ilo-
n"
4n + 3
"
"
razowego zbadać zbieżność szeregu:
4n + 1 + n
1
"
(d) lim (odp: )
3
n"
n + 3 "

1

"
"
(a) (rozb.)
3
(e) lim n2 - n4 + n (odp: 0)
n2 + 4
n=1
n"

" "
"

1
(f) lim 4n + 1 - 4n + 2n+1 (odp: 1)
"
(b) (zb.)
n"
4n + 1

n=1
n - 1 n
"
(g) lim (odp: e-4)

n! + 1
n"
n + 3
(c) (rozb.)

(n + 1)!
2n - 1 n
n=1
(h) lim (odp: +")
"
n"

n + 3 cos2 n
n
(d) (zb.)
n - 1
n2 + sin2 n
n=1
(i) lim (odp: 0)
n"
2n + 3 "

2n
"
(e) (zb.)
(n + 1)2n
9n - 7
(j) lim (odp: e2) n=1
n"
(n2 + 1)n
6. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową sze-
(n + 2)!
1
(k) lim (odp: )
3 regu:
n"
n2n! + 2n(n + 1)!
"
n
"

(l) lim 2n + ln n (odp: 2)
(-n)2n
n"
(a) (zb. bzw.)

" (n3 + 1)n
n n=1
(m) lim 1 + n (odp: 1)
n" "

(-1)n
"
(b) (zb. war.)
4n - (-1)n
4n + 1
(n) lim (odp: 16)
n=1
n"
4n-2 - cos2 n
"

(-1)n n
(c) (zb. war.)
3. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać
n2 + 1
n=1
zbieżność szeregu:
"

(-0, 1)n
(d) (zb. bzw.)
"

n
2n + 1
n=1
(a) (zb.)
"
4n
(2n)!
n=1
(e) (rozb.)
"

(2n)! (-2)nn!
n=1
(b) (rozb.)
n!(n + 1)!
n=1