Analiza Matematyczna - I Rok Informatyki
Lista 14 - Zastosowania geometryczne całek z funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Obliczyć długości łuków następujących krzywych:
(1) krzywej y = x2, 0 x 2;
x x
a a
x
(2) linii łańcuchowej y = a cosh = ae +e- dla 0 x t;
a 2
" "
(3) krzywej logarytmicznej y = ln x w przedziale 3 x 2 2;
"
(4) krzywej y = arc sin x + 1 - x2 dla -1 x 1;
(5) okręgu o równaniach parametrycznych: x = r cos t, y = r sin t, r > 0, 0 t 2Ą;
(6) cykloidy: x = r(t - sin t), y = r(1 - cos t), gdzie r > 0, 0 t 2Ä„;
(7) asteroidy: x = a cos3 t, y = a sin3 t, gdzie a > 0, 0 t 2Ä„;
(8) ewolenty (rozwijającej) okręgu: x = a cos t + at sin t, y = a sin t - at cos t, a > 0,
0 t 2Ä„;
(9) spirali logarytmicznej r = aek¸, gdzie a > 0, k > 0, 0 ¸ Ä…;
(10) spirali Archimedesa: r = a¸, a > 0, 0 ¸ 2Ä„;
(11) kardioidy: r = a(1 + cos ¸), gdzie a > 0, 0 ¸ 2Ä„;
(12) lemniskaty r2 = 2a2 cos(2¸);
(13) linii śrubowej (krzywa przestrzenna): x = R sin2 t, y = R sin t cos t, z = R cos t,
0 t 2Ä„.
Zadanie 2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych następującymi krzywymi:
(1) okręgiem: x = R cos t, y = R sin t, gdzie R > 0, 0 t 2Ą;
(2) elipsÄ…: x = a cos t, y = b sin t, gdzie a, b > 0, 0 t 2Ä„;
(3) odcinkiem osi OX i łukiem cykloidy określonej w Zadaniu 1;
(4) asteroidą określoną w Zadaniu 1.;
" "
"
(5) osiami współrzędnych i parabolą: x + y = a, a > 0;
(6) spiralą logarytmiczną określoną w Zadaniu 1 oraz promieniami wodzącymi o ampli-
tudach 0 i Ä…, gdzie 0 Ä… 2Ä„;
(7) lemniskatą określoną w Zadaniu 1;
(8) rozetÄ… trójkÄ…tnÄ…: r = a sin 3¸, a > 0;
(9) pÄ™tlÄ… spirali Archimedesa: r = a¸, a > 0, 0 ¸ 2Ä„;
a Ä„
(10) spiralÄ… hiperbolicznÄ…: r = , a > 0, ¸ 2Ä„;
¸ 4
(11) kardioidą określoną w Zadaniu 1.
Zadanie 3. Obliczyć objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R.
Zadanie 4. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej z obrotu dookoła osi
OX:
(1) Å‚uku paraboli y2 = 4x w granicach 0 x 3;
(2) łuku cykloidy określonej w Zadaniu 1;
(3) elipsy określonej w Zadaniu 2;
(4) asteroidy określonej w Zadaniu 1;
R
(5) prostej o równaniu y = x dla 0 x h, ( stożka kołowego o wysokości h i
h
promieniu podstawy R);
(6) sinusoidy y = sin x, 0 x Ä„;
"
(7) hiperboli x2 - y2 = a2, a > 0, a x a 2.
Patrz też:
(1) W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza Matematyczna w Zadaniach. Część I, str. 381-416
(2) G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 2, str. 145-220