NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM PODSTAWOWY+
12 MARCA 2011
CZAS PRACY: 170 MINUT
Zadania zamknięte
ZADANIE 1 (1 PKT.)
"
Liczba | 5 - 2, 24| - |3, 14 - Ä„| jest
" "równa " "
A) -0, 9 - 5 - Ä„ B) 5, 38 - 5 - Ä„ C) Ä„ - 5 - 0, 9 D) 0, 9 + 5 - Ä„
ROZWI
ZANIE
"
Ponieważ 5 H" 2, 236, oraz Ą H" 3, 1415 mamy
"
| 5 - 2, 24| - |3, 14 - Ä„| =
"
= (2, 24 - 5) - (Ä„ - 3, 14) =
"
5, 38 - 5 - Ä„.
Odpowiedz
: B
ZADANIE 2 (1 PKT.)
"
1
"
Iloczyn · 813 · 3 jest równy
95· 27
3 1
A) 32 B) 3-1 C) 31 D) 32
ROZWI
ZANIE
Liczymy
"
1 1 1
" · 813 · 3 = · (34)3 · 32 =
1
95 · 27
(32)5 · (33)2
1
25
312+ 2 - 23
2 2
= = 3 = 3.
3
310+ 2
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 3 (1 PKT.)
Jeżeli liczba 3b jest o 50% większa od połowy liczby 2a + b, to liczba a jest większa od b o
A) 100% B) 150% C) 50% D) 200%
ROZWI
ZANIE
Zapisujemy podany warunek
2a + b 3 4
3b = 1, 5 · = (2a + b) / ·
2 4 3
4b = 2a + b
3b = 2a Ò! a = 1, 5b.
Zatem a jest większe od b o 50%.
Odpowiedz
: C
PodobajÄ… Ci siÄ™ nasze rozwiÄ…zania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (1 PKT.)
Zbiór rozwiązań nierówności |x - 2| < 3 jest taki sam jak zbiór rozwiązań nierówności
A) (x - 1)(x + 5) < 0
B) (x - 2)(x + 3) < 0
C) (x + 1)(5 - x) > 0
D) (x - 1)(5 - x) > 0
ROZWI
ZANIE
Zbiorem rozwiązań nierówności |x - 2| < 3 jest zbiór liczb odległych od 2 o mniej niż 3,
czyli przedział
(2 - 3, 2 + 3) = (-1, 5).
Ten sam przedział jest zbiorem rozwiązań nierówności
(x + 1)(x - 5) < 0,
która jest równoważna nierówności
(x + 1)(5 - x) > 0.
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 5 (1 PKT.)
" "
3
Prosta l ma równanie y = x log3 3 3 + 3. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.
"
A) y = -x log3 31 + 3
3
"
B) y = x log3 31 + 3
3
"
C) y = -3x - log3 31
3
"
D) y = 3x - log3 31
3
ROZWI
ZANIE
Ponieważ
"
1 1
log3 3 3 = log3 33 = ,
3
prosta prostopadła do l musi mieć współczynnik kierunkowy -3.
Odpowiedz
: C
ZADANIE 6 (1 PKT.)
Iloczyn wielomianów W(x) = (x - 1)4 + x3 i P(x) = (2 - x + 3x2)3 - 2x4 jest wielomianem
stopnia
A) 24 B) 10 C) 12 D) 7
ROZWI
ZANIE
Zauważmy, że wymnażając nawiasy
(x - 1)(x - 1)(x - 1)(x - 1)
otrzymamy wielomian stopnia 4, czyli W(x) jest wielomianem stopnia 4.
Podobnie, wyrażenie
(2 - x + 3x2)(2 - x + 3x2)(2 - x + 3x2)
jest wielomianem z najwyższą potęgą x postaci: (x2)3 = x6, czyli P(x) jest wielomianem
stopnia 6. Zatem iloczyn W(x) · P(x) bÄ™dzie wielomianem stopnia 4 + 6 = 10 (bo x4 · x6 =
x10).
Odpowiedz
: B
ZADANIE 7 (1 PKT.)
Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Stosunek
pól trójkątów ABC i ABD jest równy
C
D
E
A B
3 2 9 4
A) B) C) D)
2 3 4 9
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Wysokość opuszczona z wierzchołka A w trójkącie ABC jest jednocześnie wysokością w
trójkącie ABD.
C
D
h
E
A B
Jeżeli oznaczymy jej długość przez h to mamy
1 1 2 2 1 2
PABD = DB · h = · BC · h = · BC · h = PABC.
2 2 3 3 2 3
Zatem
PABC 3
= .
PABD 2
Odpowiedz
: A
ZADANIE 8 (1 PKT.)
" "
Wykres funkcji y = mx2 - 2mx + 3 przechodzi przez punkty (- 3, 3), ( 3, 3), (1, 3). Wtedy
A) m = 3 B) m = -3 C) m = 2 D) m = 0
ROZWI
ZANIE
Zauważmy, że wszystkie trzy podane punkty leżą na prostej y = 3. Ponieważ parabola nie
może mieć trzech punktów wspólnych z poziomą prostą, wykresem danej funkcji musi być
prosta, czyli m = 0.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 9 (1 PKT.)
Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f (x).
y
6
5
4
3
2
1
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Wskaż wykres funkcji g(x) = 1 + f (x - 2).
A) y B) y
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 -1
-2 -2
-3 -3
C) y D) y
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
x x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 -1
-2 -2
-3 -3
ROZWI
ZANIE
Wykres funkcji h(x) = f (x - 2) powstaje z wykresu funkcji y = f (x) przez przesunięcie o 2
jednostki w prawo, a wykres g(x) = 1 + h(x) = 1 + f (x - 2) powstaje z wykresu y = h(x)
przez przesunięcie o 1 jednostkę do góry. Zatem wykres y = g(x) powstaje z wykresu y =
f (x) przez przesunięcie od 2 jednostki w prawo i jedną do góry.
Odpowiedz
: B
ZADANIE 10 (1 PKT.)
Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f (x) = -x + m2 + m4x + 2 jest malejąca.
1
A) m = -2 B) m = -1 C) m = D) m = 2
2
ROZWI
ZANIE
Ponieważ
f (x) = (m4 - 1)x + (m2 + 2),
1
funkcja f jest malejąca jeżeli m4 - 1 < 0. Widać, że z podanych liczb tylko m = spełnia ten
2
warunek.
Odpowiedz
: C
ZADANIE 11 (1 PKT.)
W ciągu arytmetycznym (an) wyraz a29 jest dwa razy większy od wyrazu a15 oraz a11 = 0.
a31
Wtedy iloraz jest równy
a11
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Ze wzoru an = a1 + (n - 1)r na n-ty wyraz ciÄ…gu arytmetycznego mamy
a29 = 2a15
a1 + 28r = 2(a1 + 14r)
a1 + 28r = 2a1 + 28r
0 = a1.
Zatem
a31 a1 + 30r 30r
= = = 3.
a11 a1 + 10r 10r
Odpowiedz
: C
ZADANIE 12 (1 PKT.)
Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania 2x2 + 4x + 1 = 0 i x1 < x2. Oblicz x1 - x2.
" " "
A) 2 B) - 2 C) -2 D) - 8
ROZWI
ZANIE
Rozwiązujemy dane równanie
2x2 + 4x + 1 = 0
" = 42 - 4 · 2 = 16 - 8 = 2 · 22
" " " "
-4 - 2 2 -2 - 2 -4 + 2 2 -2 + 2
x1 = = , x2 = = .
4 2 4 2
Zatem
" " "
"
-2 - 2 -2 + 2 -2 2
x1 - x2 = - = = - 2.
2 2 2
Odpowiedz
: B
ZADANIE 13 (1 PKT.)
tg 12,5ć%·tg 77,5ć%
Wartość wyrażenia jest równa
sin 25ć% cos 65ć%+cos 25ć% sin 65ć%
"
1 1
"
A) 1 B) C) 2 D)
2
2
ROZWI
ZANIE
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Korzystamy ze wzorków
sin(90ć% - ą) = cos ą
cos(90ć% - ą) = sin ą
1
tg(90ć% - ą) = ctg ą = .
tg Ä…
Liczymy
tg 12, 5ć% · tg 77, 5ć%
=
sin 25ć% cos 65ć% + cos 25ć% sin 65ć%
tg 12, 5ć% · tg(90ć% - 12, 5ć%)
= =
sin 25ć% cos(90ć% - 25ć%) + cos 25ć% sin(90ć% - 25ć%)
1
tg 12, 5ć% ·
tg 12,5ć%
= =
sin 25ć% sin 25ć% + cos 25ć% cos 25ć%
1
= = 1.
sin2 25ć% + cos2 25ć%
Mianownik mogliśmy też obliczyć korzystając ze wzoru
sin(Ä… + ²) = sin Ä… cos ² + sin ² cos Ä….
Odpowiedz
: A
ZADANIE 14 (1 PKT.)
Dany jest trapez równoramienny (patrz rysunek). Wtedy tg ą jest równy
7
10 10
Ä…
19
4 3 4 3
A) B) C) D)
3 4 5 5
ROZWI
ZANIE
Dorysujmy wysokości trapezu.
7
10 10
8 8
Ä…
6 7 6
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy długość wysokości.
"
h = 102 - 62 = 64 = 8.
Zatem
8 4
tg Ä… = = .
6 3
Odpowiedz
: A
ZADANIE 15 (1 PKT.)
W malejÄ…cym ciÄ…gu geometrycznym (an) mamy a1 = -3 i a2a3a4 = -27. Iloraz tego ciÄ…gu
2 2
równy
" " " "
6 3 3
A) - 2 B) - 2 C) - 2 D) 2
ROZWI
ZANIE
Ponieważ a2 = a1q, a3 = a1q2, a4 = a1q3 mamy równanie
a2a3a4 = a1q · a1q2 · a1q3 = a3q6
1
3
27 3 27 8
- = - · q6 = - · q6 / · -
2 2 8 27
4 = q6
" " " "
6 3 6 3
q = 4 = 2 (" q = - 4 = - 2.
"
3
Ponieważ ciąg ma być malejący mamy q = 2 (bo a1 < 0).
Odpowiedz
: D
ZADANIE 16 (1 PKT.)
Ciąg (an) określony jest wzorem an = n2 - 11n + 28, gdzie n 1. Liczba niedodatnich
wyrazów tego ciągu jest równa
A) 2 B) 3 C) 4 D) 7
ROZWI
ZANIE
Rozwiązujemy nierówność
n2 - 11n + 28 0
" = 121 - 4 · 28 = 9
11 - 3 11 + 3
n = = 4 (" n = = 7
2 2
n " 4, 7 .
Zatem wyrazy niedodatnie to wyrazy o numerach 4,5,6,7.
Odpowiedz
: C
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 17 (1 PKT.)
Wskaż równanie okręgu stycznego do osi Oy.
A) (x - 3)2 + (y - 3)2 = 3
B) (x - 3)2 + (y - 9)2 = 3
C) (x - 9)2 + (y - 3)2 = 9
D) (x - 3)2 + (y - 9)2 = 9
ROZWI
ZANIE
Szkicując kolejne okręgi, łatwo zauważyć, że styczny do osi Oy jest tylko okrąg
(x - 3)2 + (y - 9)2 = 32,
który ma środek (3, 9) i promień 3.
y
+10
+5
+1
-5 -1 +3 +5 x
-1
Odpowiedz
: D
ZADANIE 18 (1 PKT.)
W kwadracie ABCD o boku długości 20 połączono punkty E i F na bokach AB i AD w ten
sposób, że odcinek EF jest równoległy do przekątnej BD i jest od niej 5 razy krótszy.
D C
F
A B
E
Długość odcinka EB jest równa
A) 12 B) 15 C) 14 D) 16
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
1
Ponieważ odcinek EF stanowi odcinka BD, więc trójkąt AEF jest 5 razy mniejszy od trój-
5
kÄ…ta ABD. Zatem
1
AE = AB = 4.
5
StÄ…d EB = 20 - 4 = 16.
Odpowiedz
: D
ZADANIE 19 (1 PKT.)
Punkty A, B, C, D, E, F, G są wierzchołkami siedmiokąta foremnego.
F
E
G
D
A
C
B
Miara zaznaczonego na rysunku kąta AFC jest równa
360ć% 360ć% 300ć% 300ć%
A) B) C) D)
14 7 14 7
ROZWI
ZANIE
Dorysujmy okrąg opisany na siedmiokącie i powiedzmy, że jego środkiem jest punkt S.
F
E
G
S
D
A
C
B
Widać teraz, że na mocy zależności między kątami: środkowym i wpisanym opartymi
na tym samym Å‚uku, mamy
1 1
AFC = ASC = ASB = · 360ć%.
2 7
Odpowiedz
: B
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 20 (1 PKT.)
Pan Eugeniusz szykując się rano do pracy wybiera jeden spośród swoich 12 zegarków oraz
dwa spośród 22 wiecznych piór, przy czym jedno z nich traktuje jako pióro zapasowe. Na
ile sposobów może wybrać zestaw składający się z zegarka i dwóch piór, głównego i zapa-
sowego?
A) 2777 B) 34 C) 5544 D) 5808
ROZWI
ZANIE
Zegarek wybiera na 12 sposobów, pierwsze pióro na 22 sposoby, a pióro zapasowe na 21
sposobów (bo jedno już wybrał). Zatem w sumie może to zrobić na
12 · 22 · 21 = 5544
sposoby (zasada mnożenia).
Odpowiedz
: C
ZADANIE 21 (1 PKT.)
Jeżeli dodamy do siebie liczby wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa otrzymamy 58. Ile
krawędzi ma ten ostrosłup?
A) 29 B) 14 C) 28 D) 15
ROZWI
ZANIE
Jeżeli w podstawie ostrosłupa jest n kąt, to ma on n + 1 ścian, n + 1 wierzchołków i 2n
krawędzi. Mamy zatem równanie
n + 1 + n + 1 + 2n = 58
4n = 56 Ò! n = 14.
Zatem ostrosłup ten ma 2n = 28 krawędzi.
Odpowiedz
: C
ZADANIE 22 (1 PKT.)
Prostopadłościan dzielimy na części prowadząc dwie płaszczyzny równoległe do jego pod-
staw, które dzielą krawędz
boczną w stosunku 5:1:2. Jaki procent objętości całego prostopa-
dłościanu stanowi objętość największej z utworzonych części?
A) 62,5% B) 37,5% C) 65% D) 75%
Materiał pobrany z serwisu
11
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Wysokość największej części stanowi
5 5
= = 62, 5%
5 + 1 + 2 8
wysokości prostopadłościanu.
Ponieważ oba prostopadłościany mają takie same pola podstaw, objętość mniejszego z
nich stanowi 62,5% objętości większego.
Odpowiedz
: A
Zadania otwarte
ZADANIE 23 (2 PKT.)
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = -(x - 1)(x + 2) w przedziale
-1; 2 .
ROZWI
ZANIE
Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc wartość największa jest przyjmowana w jej
wierzchołku (jeżeli jest w podanym przedziale), a wartość najmniejsza w jednym z końców
przedziału. W którym?  policzymy i sprawdzimy.
Wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie pomiędzy pierwiastkami, czyli w punkcie
1 - 2 1 3 3 9
xw = = - Ò! f (xw) = · = .
2 2 2 2 4
Sprawdz
my jeszcze końce przedziału.
f (-1) = -(-2) · 1 = 2
f (2) = -1 · 4 = -4.
Na koniec obrazek.
Materiał pobrany z serwisu
12
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
y
+5
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
9
Odpowiedz
: fmax = f (-1) = , fmin = f (2) = -4
2 4
ZADANIE 24 (2 PKT.)
Rozwiąż równanie 4x3 + 2x2 - 10x - 5 = 0.
ROZWI
ZANIE
Gdy się przyjrzymy równaniu to można zauważyć, że z lewej strony możemy wyłączyć
(2x + 1) przed nawias.
4x3 + 2x2 - 10x - 5 = 0
2x2(2x + 1) - 5(2x + 1) = 0
(2x2 - 5)(2x + 1) = 0
5 1
4 x2 - x + = 0
2 2
5 5 1
4 x - x + x + = 0
2 2 2
" "
10 10 1
4 x - x + x + = 0
2 2 2
" "
10 10
Odpowiedz
: - , -1,
2 2 2
ZADANIE 25 (2 PKT.)
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 90 jest liczbą całkowitą i
jest o 1 większa od długości jednej z przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta.
Materiał pobrany z serwisu
13
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Jeżeli oznaczymy długość przeciwprostokątnej przez c to jedna z przyprostokątnych ma
długość c - 1, a druga
90 - c - (c - 1) = 91 - 2c.
c
91-2c
c-1
Zapisując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy równanie
(c - 1)2 + (91 - 2c)2 = c2
c2 - 2c + 1 + 8281 - 364c + 4c2 = c2
4c2 - 366c + 8282 = 0 / : 2
2c2 - 183c + 4141 = 0
" = 1832 - 8 · 4141 = 361 = 192
183 - 19 183 + 19 101
c = = 41 (" c = = .
4 4 2
Ponieważ przeciwprostokątna ma mieć długość całkowitą, odrzucamy drugie rozwiązanie.
Zatem c = 41 i przyprostokątne mają długości 9 i 40. Pole jest więc równe
1
P = · 9 · 40 = 180
2
Odpowiedz
: 180
ZADANIE 26 (2 PKT.)
tg Ä…
1
Kąt ą jest kątem ostrym. Wiedząc, że sin ą cos ą = , oblicz wartość wyrażenia .
3
sin2 Ä…
ROZWI
ZANIE
Liczymy
sin Ä…
tg Ä… sin Ä… 1 1
cos Ä…
= = = = = 3.
1
sin Ä… cos Ä…
sin2 Ä… sin2 Ä… sin2 Ä… cos Ä…
3
Odpowiedz
: 3
ZADANIE 27 (2 PKT.)
Odcinki AD i BE są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC, a punkt H jest punktem ich
przecięcia. Uzasadnij, że punkty H, D, C i E leżą na jednym okręgu.
Materiał pobrany z serwisu
14
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
C
D
E
H
A B
Zauważmy, że ponieważ CEH = CDH = 90ć% punkty E i D leżą na okręgu o średnicy
CH. To oznacza, że okrąg ten przechodzi przez wszystkie cztery punkty H, D, C, E.
ZADANIE 28 (2 PKT.)
Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 6 cm2. Oblicz pole koła opisanego na
tym sześciokącie.
ROZWI
ZANIE
Sześciokąt składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych, oznaczmy ich bok
przez a.
a
A
F
a
a
B
E
S
D
C
Jeżeli narysujemy obrazek, to widać, że promień okręgu opisanego na sześciokącie jest
równy a, a promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego.
Sposób I
Z powyższej uwagi mamy równanie.
"
2
a 3
Ä„ = 6 / : Ä„
2
"
2
a 3 6
"
= / :
2 Ä„
" "
a 3 6 2
= " / · "
2
Ä„
3
"
2 2
"
a = .
Ä„
Materiał pobrany z serwisu
15
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zatem pole koła opisanego wynosi
8
Ä„a2 = Ä„ · = 8.
Ä„
Sposób II
Jak już zauważyliśmy, stosunek promieni kół opisanego i wpisanego jest równy
"
a 2 2 3
" "
= = .
a 3
3
3
2
Zatem stosunek pól tych kół jest kwadratem tej liczby
12 4
= .
9 3
Tak więc pole koła opisanego jest równe
4
· 6 = 8.
3
Odpowiedz
: 8 cm2
ZADANIE 29 (4 PKT.)
Oblicz pole pięciokąta ABCDE, którego wierzchołki mają współrzędne A = (-3, 3), B =
(1, -3), C = (4, 1), D = (3, 5), E = (1, 1).
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
y
D
+5
A
E
+1
C
+3 +4
-3 -1 x
-1
-3
B
Materiał pobrany z serwisu
16
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zauważmy, że interesujący nas pięciokąt składa się z trzech trójkątów: ABE, BCE i ECD,
których pola jest dość łatwo obliczyć.
Trójkąty ABE i BCE mają wspólną podstawę BE, która ma długość
BE = yE - yB = 1 - (-3) = 4.
Wysokość trójkąta ABE jest równa
xE - xA = 1 - (-3) = 4,
a wysokość trójkąta BCE jest równa
EC = xC - xE = 4 - 1 = 3.
Zatem pola tych trójkątów są równe
1
PABE = · 4 · 4 = 8
2
1
PBCE = · 4 · 3 = 6.
2
Pozostało policzyć pole trójkąta ECD. Wiemy już, że EC = 3, a wysokość opuszczona na tę
podstawę jest równa
yD - yC = 5 - 1 = 4.
Zatem
1
PECD = · 3 · 4 = 6.
2
StÄ…d
PABCDE = PABE + PBCE + PECD = 8 + 6 + 6 = 20.
Odpowiedz
: 20
ZADANIE 30 (6 PKT.)
Linia kolejowa między miastami A i B ma długość 711 km. Pociąg jadący z miasta A do
miasta B wyrusza 45 minut póz
niej niż pociąg jadący z miasta B do A. Pociągi te spotykają
się w odległości 450 km od miasta B. Średnia prędkość pociągu, który wyjechał z miasta A,
liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 34 km/h mniejsza od śred-
niej prędkości drugiego pociągu liczonej od chwili wyjazdu z miasta B do chwili spotkania.
Oblicz średnią prędkość każdego z pociągów w chwili spotkania.
ROZWI
ZANIE
Oznaczmy szukane średnie prędkości pociągów przez v1 i v2 odpowiednio. Do chwili spo-
tkania pierwszy pociąg przejechał 711 - 450 = 261 kilometrów, a drugi 450 kilometrów. To
Materiał pobrany z serwisu
17
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
261 450
oznacza, że pierwszy jechał przez , a drugi przez godzin. Wiemy, że pierwszy pociąg
v1 v2
3
wyruszył o godziny póz
niej niż drugi pociąg, co daje równanie
4
261 3 450 4
+ = / · v1v2
v1 4 v2 3
348v2 + v1v2 = 600v1.
Wiemy ponadto, że v1 = v2 - 34, co po podstawieniu do powyższego równania daje
348v2 + (v2 - 34)v2 = 600(v2 - 34)
348v2 + v2 - 34v2 = 600v2 - 20400
2
v2 - 286v2 + 20400 = 0
2
" = 2862 - 4 · 20400 = 196 = 142
286 - 14 286 + 14
v2 = = 136 (" v2 = = 150.
2 2
Daje to odpowiednio v1 = 102 lub v1 = 116.
Odpowiedz
: 102 km/h i 136 km/h, lub 116 km/h i 150 km/h
ZADANIE 31 (6 PKT.)
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDA B C D o podstawach ABCD i
A B C D , oraz krawędziach bocznych AA , BB , CC i DD . Oblicz pole trójkąta BDC wie-
dząc, że przekątna ściany bocznej ma długość 13 i jest nachylona do podstawy pod ą takim
12
kątem, że tg ą = .
5
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
D'
C'
B'
A'
b
13
b
D
C
Ä…
E a
A
B
a
Z podanego tangensa i długości przekątnej ściany obliczymy długości krawędzi a i b
graniastosłupa. Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCC mamy
b = 132 - a2 = 169 - a2.
Materiał pobrany z serwisu
18
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Teraz korzystamy z podanego tangensa.
b
tg Ä… =
a
"
12 169 - a2
=
5 a
12a = 5 169 - a2 /()2
144a2 = 25 · 169 - 25a2
169a2 = 25 · 169 / : 169
a2 = 25
a = 5.
"
Zatem b = 169 - a2 = 12.
Znamy więc długość podstawy trójkąta równoramiennego BDC :
" "
BD = a 2 = 5 2.
Wysokość tego trójkąta obliczamy patrząc na trójkąt prostokątny ECC .
"
2
a 2
EC = EC2 + (CC )2 = + b2 =
2
25 313
= + 144 = .
2 2
Zatem interesujące nas pole trójkąta BDC jest równe
" "
1 1 313 5
PBDC = · BD · EC = · 5 2 · = 313.
2 2 2 2
"
5
Odpowiedz
: 313
2
Materiał pobrany z serwisu
19