ANALIZA MATEMATYCZNA 1B
Lista zadań
Semestr zimowy 2008/2009
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista pierwsza
1.1
Zbadać, czy podane sformułowania są zdaniami w logice. Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
a)  Paryż jest stolicą Francji ; b)  Liczba 101000 + 1 jest podzielna przez 2 ;
c)  a2 + b2 = c2 ; d)  Piotr nie jest moim bratem ;
e)  25 32 ; f)  " = b2 - 4ac .
1.2
Ocenić prawdziwość podanych niżej zdań złożonych:
a)  nieprawda, że funkcja f(x) = x2 jest rosnąca na R ;
b)  (-1)44 = -1 lub 2008 jest liczbÄ… parzystÄ… ;
c)  funkcja g(x) = sin x jest okresowa, a funkcja f(x) = 3x jest nieparzysta ;
d)  jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest straszy od Piotra .
1.3
Zbadać, czy prawami logicznymi są funkcje zdaniowe:
a) Ź (p (" q) =Ò! [(Źp) '" (Źq)] ; b) p =Ò! [(q '" Źq) =Ò! r] ;
c) (p =Ò! q) =Ò! [(Źp) (" q] ; d) [p '" (Źq)] (" [(Źp) '" q] .
1.4
Zbiory określone za pomocą formy zdaniowej zapisać w prostszej postaci:

a) x " R : x2 = 4 ; b) {k " {c&, f&, e&, `&} : w brydżu kolor k jest starszy od f&};
c) {x " R : (x < 3) (" (x 5)}; d) {n " N : n jest podzielne przez 5};

e) x " R : (x > 0) =Ò! x2 > 0 ; f) {(x, y, z) : x, y, z " N '" x < y < z '" xyz = 16}.
1.5
Podać przykłady warunków, które spełniają tylko elementy zbiorów:
a) [-1, 7] ; b) {As, Król, Dama, Walet};

1 1 1 1 1
c) {2, 4, 6, . . .}; d) , , , , , . . . ;
2 3 5 7 11

e) Żelisław, Żytomir, Żywisław ; f) {-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15}.
1.6
Zbadać, czy są prawdziwe formy zdaniowe z kwantyfikatorami :

1
a) sin x = ; b) x2 + 4x + 3 > 0;
2
x"R x"R

c) x2 - y2 = 0; d) xy = 0.
x"R y"R y"R x"R
1
1.7
Dla par zbiorów A, B ‚" R wyznaczyć A *" B, A )" B, A \ B, B \ A, Ac, Bc, AÅ‚%B, jeżeli:
a) A = (0, 5), B = [0, 7]; b) A = (-", 3), B = (-1, ");

1 2
c) A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}; d) A = : n " N , B = : n " N .
n n
Wskazać te pary A, B, dla których A ‚" B.
1.8
Okreslić relację zawierania między zbiorami A, B, jeżeli:
a) A *" B = A; b) A *" B ‚" A;
c) A \ B = A; d) B ‚" A )" B.
Lista druga
2.1
Określić i narysować dziedziny funkcji:

x x - 2
a) f(x) = ; b) f(x) = ; c) f(x) = 16 - x2;
x2 - 2x - 3 x2 + 4

x - 1 x - 4
d) f(x) = -(x + 3)4; e) f(x) = " ; f) f(x) = .
x2 - 8x + 16
x - 1
2.2
Wyznaczyć zbiory wartości funkcji:
"
a) f(x) = x2 + 2x; b) f(x) = - x + 2;
x2 1
c) f(x) = ; d) f(x) = 1 + .
x2 + 1 x + 1
2.3
Wskazać przedziały, na których przedstawione na wykresach funkcje są rosnące, a na których malejące:
y y y
a) b) c)
x
-1 1
3
x
1
2
1
x
-1 2
2
y y y
d) e) f)
x
-2 2
x
-1 1 3
x
-1 1
2.4
Na podanych przedziałach uzasadnić monotoniczność funkcji:
"
a) f(x) = x2, (-", 0] ; b) f(x) = x - 1, [1, ");
1
c) f(x) = , [0, ") ; d) f(x) = x + |x|, R.
1 + x2
2
2.5
Wyznaczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz wolny b funkcji liniowych y = ax + b:
a) y = 1; b) y - x = 0; c) y = -x + 4;
d) y + 2x = 2; e) 3x + 4y - 2 = 0; f) x - 5y = 3.
2.6
Podać wzory funkcji liniowych, których wykresy przedstawiono poniżej:
y y y y
a) b) c) d)
1 1 1 1
1 1
x 1 x 1 x x
2.7
W podanych przedziałach uprościć wyrażenia:
a) x + |2 - x| + 3|1 - x|, gdzie x " (1, 2); b) |2x| - |x + 1| + 2|x - 2|, gdzie x " (2, ");

|x - 1|
|1
c) - |2 - 3x|, gdzie x " (-", -1); d) - x| - 1 - 2|x - 2|, gdzie x " (0, 1).
|x + 1|
2.8
Korzystając z interpretacji geometrycznej |x - a| zaznaczyć na osi liczbowej R rozwiązania nierówności:
1
a) |3x - 1| 2; b) |2 - x| < 1;
2
c) |5 - 4x| > 3; d) |2 - 3x| 4.
2.9
Sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) funkcje kwadratowe i naszkicować ich wykresy:
1
a) f(x) = -x2 + x; b) f(x) = 2x2 + 1; c) f(x) = x2 + x + ;
4
3 9
d) f(x) = x2 + 2x - 3; e) f(x) = -2x2 - 2x + ; f) f(x) = -x2 - 3x - .
2 4
2.10
Wyznaczyć współczynniki oraz określić stopień funkcji wielomianowych:
a) W (x) = (x + 1)3 - x(x - 1)2; b) W (x) = x4 + 4x3 - x2(x + 2);
c) W (x) = (x + 2)3 - (x - 2)2; d) W (x) = (x + 1)2 - (2x + 3)3 - 2x.
2.11
Do funkcji wielomianowych:
a) W (x) = 0.5x4 - 0.5x3 - 2x2 + 2x; b) W (x) = x4 + 2x3 - x2 - 2x;
c) W (x) = x4 - 2x3 - x2 + 2x; d) W (x) = 0.5x4 + 0.5x3 - 2x2 - 2x.
wskazać odpowiadające im wykresy
y y
A) B)
10 10
5 5
x x
O
-2 -1 1 2 -2 -1
O 1 2
3
y y
C) D)
10 10
5 5
x x
-2 -1 -2 -1
O 1 2 O 1 2
* 2.12
Naszkicować przykład wykresu funkcji wielomianowej, dla której podano jej pierwiastki, ich krotności oraz znak
współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x:
a) x1 = -2 (2 krotny), x2 = 0, x3 = 2, a4 > 0;
b) x1 = -2, x2 = 1 (3 krotny), x3 = 2, a5 < 0;
c) x1 = -2 (4 krotny), x2 = 0 (2 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0;
d) x1 = -2 (3 krotny), x2 = 0 (3 krotny), x3 = 2 (2 krotny), a8 > 0.
2.13
Do funkcji wymiernych:
3x 2
a) w1(x) = ; b) w2(x) = ;
x4 + 2 2x2 + x - 3
4x2 - 1 1
c) w3(x) = ; d) w4(x) =
2x + 1 x3 + 1
wskazać odpowiadające im wykresy
y y
A) B)
3
x x
- 1
2
y y
C) D)
1
x - x
2
2.14
Rozwiązać równania wymierne:
4x - 6 3 2 1 9x 3
a) = 0; b) + = ; c) = + 2;
2x2 - x + 4 4x - 6 2x - 3 5 3x - 1 3x + 1
3 2 21 2x - 1 3 x - 4 2 x - 21
d) + = ; e) = + 1; f) - = .
x + 1 x - 2 x2 - x - 2 x x + 1 x - 5 x - 3 x2 + x - 6
2.15
Rozwiązać nierówności wymierne:
4
x2 - 3x (x + 1)(x + 2) 3 2
a) < 0; b) 0; c) 2 + > ;
x + 3 (x + 3)(x + 4) x + 1 x
x2 + 5x x2 - 3x + 2 -x2 + 2x + 4
d) > x; e) > 0; f) 1.
x - 3 x2 + 3x + 2 x - 2
Lista trzecia
3.1
Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, jeżeli
"
1
a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = x, g(x) = x4;
x
"
1 1
c) f(x) = , g(x) = ; d) f(x) = |x|, g(x) = x + 1.
x + 1 x + 2
Wyznaczyć dziedziny tych funkcji złożonych.
3.2
Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a) rosnÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…;
b) rosnÄ…cej i malejÄ…cej jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ…;
c) malejÄ…cych jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
3.3
Znalez
ć funkcje f i g takie, że h = f ć% g, jeżeli:
|x| + 1 x2 + 2x + 1
a) h(x) = ; b) h(x) = ;
|x| - 1 x2 + 2x - 1

x + 1
c) h(x) = ; d) h(x) = x4 + 2x2 - 2.
x
Czy funkcje f i g sÄ… wyznaczone jednoznacznie?
3.4
KorzystajÄ…c z wykresu funkcji f przedstawionego na rysunku
y y
A) B)
2 y=f(x) 2 y=f(x)
x x
-2 2 2 4
naszkicować wykresy funkcji:
a) f(x) + 1; b) f(-x) - 1; c) f(x + 1);
d) -f(x) + 1; e) -f(x - 1); f) f(1 - x) - 1.
3.5

Wykres funkcji f(x) = x2 + x + 1 (x - 1)(x - 3) przedstawiono na rysunku
y
y= x2+x+1 (x-1)(x-3)
( )
10
5
-1
1 2 3 x
-5
Podać wzory funkcji, które otrzymano z funkcji f przez skalowanie, a ich wykresy przedstawiono na rysunkach:
5
y y
a) b)
10 20
5 10
-1 -1
1 2 3 x 1 2 3 x
-5 -10
y y
c) d)
5 10
2.5 5
-1 -1
1 2 3 x 1 2 3 4 5 6 x
-2.5 -5
3.6
1
Przekształcając wykresy funkcji y = x2, y = , y = |x| naszkicować funkcje:
x
1
a) y = x2 - 2, y = - x2, y = (x + 3)2, y = x2 - 4x + 7;
2
1 2 1 3
b) y = - , y = , y = , y = ;
x x x + 3 x - 1
1
c) y = |x - 2|, y = |x|, y = 1 - |x|, y = |x + 4| - 2.
3
3.7
Podany jest wykres funkcji y = f(x)
y
4
2
y=f(x)
3
x
1
Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = f(x + 1); b) y = f(x) - 2; c) y = f(x - 1) + 3;
1
d) y = f(x); e) y = f(3x); f) y = -f(x);
2
g) y = f (-x); h) y = |f(x)|; i) y = f(|x|).
Lista czwarta
4.1
Kąty wyrażone w stopniach zapisać w radianach:
a) 10ć%; b) 24ć%; c) 45ć%;
d) 135ć%; e) 350ć%; f) 1080ć%.
6
4.2
Kąty wyrażone w radianach zapisać w stopniach:
Ä„ 7Ä„
a) 1; b) ; c) ;
24 12
4Ä„ 35 21Ä„
d) ; e) Ä„; f) .
3 36 12
4.3
Na płaszczyz
nie narysować w położeniu standardowym kąty:
Ä„ Ä„
a) ; b) 120ć%; c) - ;
8 5
7Ä„ 7Ä„
d) -270ć%; e) ; f) - .
4 3
4.4

Ä„
Korzystając ze wzorów redukcyjnych zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta ą " 0, wyrażenia:
2

3Ä„ 5Ä„
a) sin - Ä… ; b) cos + Ä… ;
2 2
Ä„
c) tg (Ä„ - Ä…); d) ctg + Ä… .
2
4.5
Zapisać w postaci funkcji trygonometrycznych kąta z pierwszej ćwiartki wyrażenia:

Ä„ 9
a) sin - ; b) cos Ä„;
3 2

95 14
c) tg - Ä„ ; d) ctg Ä„.
3 9
4.6
Obliczyć wartości wyrażeń:

19 5Ä„ 21 13Ä„
a) cos - Ä„ + cos ; b) cos - Ä„ - sin - ;
6 6 4 4

7 5 13 17
c) tg - Ä„ - ctg - Ä„ ; d) ctg Ä„ + ctg - Ä„ .
3 3 6 6
4.7
Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
1 + tg Ä… 1 2
a) = tg Ä…; b) sin4 Ä…+cos4 Ä… = 1- sin2 2Ä…; c) tg Ä… + ctg Ä… = ;
1 + ctg Ä… 2 sin 2Ä…
Ä… 1 - cos Ä… 1
d) tg = ; e) sin4 Ä…-cos4 Ä… = sin2 Ä…-cos2 Ä…; f) - cos Ä… = sin Ä… tg Ä….
2 sin Ä… cos Ä…
Dla jakich kątów ą są one prawdziwe?
4.8
Wyprowadzić wzory:
Ä… Ä…
2 tg 1 - tg2
2 2
a) sin Ä… = ; b) cos Ä… = ;
Ä… Ä…
tg + 1 1 + tg2
2 2
Ä… Ä…
2 tg 1 - tg2
2 2
c) tg Ä… = ; d) ctg Ä… = .
Ä… Ä…
1 - tg2 2 tg
2 2
7
4.9
Korzystając z wykresu funkcji y = sin x naszkicować w przedziale [-Ą, Ą] wykresy funkcji:

x Ä„
a) y = sin 2x; b) y = sin ; c) y = sin x + ;
3 4

Ä„ 1
d) y = sin 2 x - ; e) y = 1 + sin x; f) y = sin x - 1.
6 2
4.10
Naszkicować wykresy funkcji:



Ä„ 1

a) y = cos 2 x - ; b) y = sin x - sin x ;

4 2

Ä„
c) y = 1 + ctg x + ; d) y = tg x + | tg x|;
4
e) y = sin x + cos x; f) y = |tg x| ctg x.
4.11
Rozwiązać równania trygonometryczne:
x
a) sin x = - sin 2x; b) cos 4x = sin ;
2

Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
c) cos - 2x = cos x + ; d) sin - 2x = cos x + ;
4 3 6 3
Ä„
Ä„
e) tg x - = tg - x ; f) ctg 2x = tg 2x;
4 6

Ä„ Ä„ Ä„
g) ctg 2x + = ctg x; h) tg 2x + = ctg 3x + .
3 4 6
4.12
Rozwiązać równania trygonometryczne:
a) sin2 x + cos x sin x = 0; b) sin x - 2 = cos 2x; c) tg2 x - 2 tg x + 1 = 0;
"
1
d) tg x + tg 2x = tg 3x; e) sin x = 0; f) cos = 1.
x
4.13
Rozwiązać nierówności trygonometryczne:
x Ä„
"
Ä„
a) 2 sin - x 3; b) 2 cos - < -1;
3 2 6

"
x Ä„ Ä„
c) tg + > -1; d) 3 ctg 2x + 1.
4 3 4
4.14
Rozwiązać nierówności trygonometryczne:


x Ä„ Ä„ 3
a) cos x sin , x " - , ; b) cos x + sin x ;
2 2 2 2

1 Ä„ Ä„
c) ctg x - < 0; d) tg x tg 2x 1, x " - , .
ctg x 2 2
Lista piÄ…ta
5.1
Połączyć podane wzory funkcji z ich wykresami. Odpowiedz
uzasadnić:
a) y = 2x; b) y = -2x; c) y = 2-x;
d) y = -2-x; e) y = 2x + 2; f) y = 2x - 2;
g) y = 2x+1; h) y = 2x-1; i) y = 2|x|.
8
y y y
A) B) C)
1 1
1
x x x
1 1 1
y y y
D) E) F)
1 1 1
1
x x x
1 1
y y y
G) H) I)
1
1
1
x x x
1 1 1
5.2
Rozwiązać równania wykładnicze:
2x-3
" x "
1
3
a) = 8; b) 2 · 42x - 3 · 4x = -1; c) 5 - 25 = 0;
2
2x x+5
8-3x
1
2-x 3-x
x
d) 9x + 3x+1 = 4; e) 5 = 5 · 5 ; f) + 31-x = 0.
3x - 4
5.3
Rozwiązać nierówności wykładnicze:
x+1
2 2 2 2
x
a) 34x-2 < 92-x; b) 0.25 < 0.0625; c) 2x -1 - 3x > 3x -1 - 2x +2;
1
x2 + 2x - "
3 1 1 1
2
2x
"
d) - 2-x ; i) < ; j) 2 < 2.
2 ex - 1 e2x + 1
2
5.4
Rozwiązać równania logarytmiczne:
a) 4 log2 x = log2 81; b) log4(x + 4) - log4(x - 1) = 2;

c) log 1 (x - 3) + log 1 x = -2; d) log2 x2 - 6 = 3 + log2(x - 1).
2 2
9
5.5
Rozwiązać nierówności logarytmiczne:
a) log5(5 - 3x) > 1; b) log(3x - 1) - log(x - 1) > log 2;
2 1
c) 1 - log3 x; d) ln x + > 0.
log 1 x ln x
3
Lista szósta
6.1
Podać przedziały lub zbiory, na których funkcje o podanych wykresach są różnowartościowe:
y y y
a) b) c)
4
y=f(x)
y=f(x) y=f(k)
1 1
4.2
x x
1 1 -1 1 2 3 k
y y y
d) e) f)
y=f(x)
1
x x
1
-1
y=f(x) y=f(x)
x
2.5 4
6.2
Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
a) f(x) = , R \ {0}; b) f(x) = x4, [0, ");
x

" "
1
c) f(x) = x - 3, [0, "); d) f(x) = x - x, , " .
4
6.3
Połączyć wykresy funkcji (oznaczenia od a)  f)) z wykresami funkcji do nich odwrotnych (oznaczenia od 1) 
6.)
y y y
a) b) c)
x x
x
y y y
d) e) f)
x
x x
10
y y y
1) 2) 3)
x x
x
y y y
4) 5) 6)
x x
x
6.4
Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:
"
a) f(x) = 1 - 3-x; b) f(x) = x5 + 3;
"
3
c) f(x) = x6 sgn x; d) f(x) = 3 - x + 2.
6.5
Obliczyć wartości wyrażeń:

1 1
a) tg arc cos ; b) ctg arc sin ;
2 3

3 8
c) sin arc sin + arc sin ; d) sin (arc tg 1 + arc tg 2).
5 17
6.6
Znalez
ć funkcje odwrotne do funkcji:

Ä„ 3Ä„
a) f(x) = sin x, x " , ; b) f(x) = cos x, x " [Ä„, 2Ä„];
2 2

3Ä„ Ä„
c) f(x) = tg x, x " - , - ; d) f(x) = ctg x, x " (Ä„, 2Ä„).
2 2
Lista siódma
7.1
Zbadać, czy od pewnego miejsca są monotoniczne ciągi:
1 4n
a) an = ; b) an = ;
n2 - 6n + 10 2n + 3n
n! 5 · 7 · . . . · (3 + 2n)
c) an = ; d) an = ;
10n 4 · 7 · . . . · (1 + 3n)
"
4n
n
e) an = ; f) an = 2n + 1.
n + 3
7.2
Uzasadnić, że podane ciągi są ograniczone:
" "
1 1 1
a) an = n + 8 - n + 3; b) an = + + . . . + .
41 + 1 42 + 2 4n + n
7.3
a) W ciągu arytmetycznym dane są a5 = 12 oraz a12 = -9. Wyznaczyć pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu.
b) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy a1 = 1000, a różnica jest równa r = -13. Obliczyć sumę
11
wszystkich dodatnich wyrazów ciągu.
c) Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 2, a suma kwadratów tych wyrazów wynosi 3.
Znalez
ć sumę wartości bezwzlędnych wyrazów tego ciągu.
d) W ciągu geometrycznym siódmym wyrazem jest 13, a piętnastym 26. Obliczyć sumę a3 + a4 + a5 + . . . + a10.
an-1 + an+1
e) Pokazać, że w każdym ciągu arytmetycznym (an) zachodzi zależność an = , gdzie n > 1.
2

f) Czy dla każdego ciągu geometrycznego (bn) prawdziwa jest równość. bn = bn-1bn+1, gdzie n > 1?
7.4
Korzystając z definicji uzasadnić równości:
"
2n + 1 2 n + 1 3 - n
a) lim = 0; b) lim " = 2; c) lim = -1;
n" n" n"
n2 n + 1 n + 4

"
1
d) lim = 0; e) lim n4 - 1 = "; f) lim n - n = -".
n" n" n"
2n + 5
7.5
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:


n2 + 1 n! + 1
n3 + 2n2 + 1
4
a) lim n4 + 16 - n ; b) lim ; c) lim ;
n" n" n" - 3n3
(2n + 1)(n + 1)! n
"
3

1 + 3 + . . . + (2n - 1) 8n+1 + 3
d) lim n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ; e) lim ; f) lim .
n" n" n"
2 + 4 + . . . + 2n 2n + 1
* 7.6
KorzystajÄ…c z twierdzenia o trzech ciÄ…gach znalez
ć granice:
"
2n sin n
n
a) lim 2n + 5n; b) lim ;
n" n"
3n + 1

2n + (-1)n 1 1 1
c) lim ; d) lim " + " + . . . + " .
3 3 3
n" n"
3n + 2
n3 + 1 n3 + 2 n3 + n
7.7
Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
15n n
5n + 2 3n
a) lim ; d) lim ;
n" n"
5n + 1 3n + 1
3n-2 5-2n
1 n + 4
c) lim 1 + ; d) lim .
n" n"
n n + 3
7.8
Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:

1 - (n + 1)!
a) lim n4 - 3n3 - 2n2 - 1 ; b) lim ;
n" n"
n! + 2
1 1
1 + + . . . +
n2 + 1
2 2n
c) lim ; d) lim .
n" n"
n 1 + 3 + . . . + (2n - 1)
Lista ósma
8.1
Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić równości:

sin2 x
a) lim = 0; b) lim sgn(cos x) = -1; c) lim x2 - 9 = 0;
Ä„ +
x0
x x-3-
x
2
1 - 2x3 1 x - 3
d) lim = -2; e) lim = "; f) lim = -".
x" x 1
x3 + 1 x 2+ x - 2 |x2 + 2x - 3|
12
8.2
Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
"
x2 x
a) lim ; b) lim ; c) lim sin x;
x"
x3 - 3 4
x2 - x2
x
sgn x 1 1
d) lim ; e) lim ; f) lim cos .
x0 xĄ
sgn (x + 1) sin x x0- x2
8.3
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
" "
"
3
x3 - 1 x - 4 1 + x - 1 - x
a) lim ; b) lim " ; c) lim ;
x1 - 1 x 2x
x64 - 8
x0
x4
"
x6 - 1 x - 2 - 2 x2 - 5x + 4
d) lim ; e) lim ; f) lim .
x" - 5)
x1 - x2 x x(x
x6 - 6
1
8.4
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice funkcji:
x2 - 4
a) lim x sgn x; b) lim ;
x0 x2 - 2|
|x
|x - 1|3 sin x
c) lim ; d) lim .
x1 - x2 |x|
x0
x3
8.5
Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:
a) lim u(x) = ", lim u(x) = 1, u(2) = 0, lim u(x) = -1;
x-" x"
x0-
b) lim v(x) = e, lim v(x) = 0, funkcja v jest parzysta;
x" x2
c) lim f(x) = 0, lim f(x) = 3, lim f(x) = -";
x-" x1 x"
d) lim g(x) = ", lim g(x) = -", lim g(x) = 1, lim g(x) = 5;
x-" x"
x0- x0+
e) lim h(x) = -4, lim h(x) = ", lim h(x) = 4;
x-" x-1 x"
f) lim p(x) = ", lim p(x) = 0, funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3;
x1 x2
Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.
8.6
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice funkcji:
x
sin
sin2 3x cos 5x
2
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x
Ä„
x0 x cos 3x
x0
x2
2
sin
3
1
tg
sin x3 sin x7 tg 3x
x
d) lim ; e) lim ; f) lim ;
2
x" x0
sin x4 sin x6 x0- x3
tg
x
" "
3 6
tg x cos 3x - cos 7x 1 + x - 1 - x
g) lim ; h) lim ; i) lim .
Ä„ -
x0 x0
x tg 5x x2 x
2
Lista dziewiÄ…ta
9.1
Znalez
ć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
x3 + x2 x - 3 sin x
a) f(x) = ; b) f(x) = " ; c) f(x) = ;
x2 - 4 x - Ä„
x2 - 9
13
"
1 + x2 x3 1 - x2
d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = .
x (x + 1)2 x + 1
9.2
Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ sin x dla |x| , x1 = - ,
x2+ax+b dla |x| < 2, x1 = -2,
2 2
a) f(x) = b) f(x) = "
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„ Ä„ x x2 - 4 dla |x| 2, x2 = 2;
ół
ax + b dla |x| < , x2 = ;
2 2
Å„Å‚
Å„Å‚
Ä„ Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ a sin x + b cos x dla |x| > , x1 = - , òÅ‚ bx dla x < Ä„,
4 4
c) f(x) = d) f(x) =
sin x
ôÅ‚ ół
dla x Ä„, x0 = Ä„.
ôÅ‚ Ä„ Ä„
ół
ax
1 + tg x dla |x| , x2 = ;
4 4
9.3
Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:
Å„Å‚ Å„Å‚
x2-1
|x| + x
òÅ‚ òÅ‚
" dla x " (0, 1) *" (1, "),
dla x = 0,

a) f(x) = x-1 b) f(x) =
x2
ół ół
0 dla x = 0, x0 = 0;
3 dla x = 1, x0 = 1;
Å„Å‚
1
òÅ‚
1 - cos dla x = 0,

c) f(x) = sgn x(x - 1) , x0 = 1; d) f(x) =
x
ół
0 dla x = 0, x0 = 0.
9.4
Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach:

5Ä„
a) x3 + 6x - 2 = 0, (0, 1); b) x sin x = 7, 2Ä„, ;
2


sin x Ä„ 1
c) 1 = + x, 0, ; d) x100 + x - 1 = 0, , 1 .
2 2 2
Wyznaczyć rozwiązanie równania a) z dokładnością 0.125.
Lista dziesiÄ…ta
10.1
Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji:
"
1
a) f(x) = , gdzie x = -1; b) f(x) = x, gdzie x > 0;

x + 1
Ä„
c) f(x) = tg x, gdzie x = + kĄ dla k " Z; e) f(x) = x2 - 3x, gdzie x " R.

2
10.2
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
x2 + 1 sin x
a) y = ; b) y = ;
x3 + x x4 + 4

" "
4
c) y = 1 + x tg x; d) y = sin6 x + cos6 x;


1
3
e) y = sin + 3; f) y = cos ctg (x2).
x4
10.3
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:

2
1 2sin x
a) y = x3 + ex; b) y = ;
2
x2 3cos x
x
c) y = (2x + x)3; d) y = ee ;
1
- "
x2
e) y = e ; f) y = 4x + 9x.
14
10.4
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:

arc sin x
a) y = ; b) y = ln sin2 x + 1 ; c) y = ex arc tg x;
ex

"
x
3 4
d) y = arc sin (x2); e) y = ln tg ; f) y = arc sin 1 - 5x.
3
10.5
Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x0 = 0:
" "
5 3
a) f(x) = 3 - x; b) f(x) = tg x;


c) f(x) = | sin x|; d) f(x) = |x| + |x|.
10.6
Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy we wskazanych punktach istnieją pochodne funkcji:

x2
a) f(x) = - x , x0 = 1; b) f(x) = sin x · sgn (x), x0 = 0;

Ä„
ctg3 x5
c) f(x) = x , x0 = ; d) f(x) = , x0 = 0.
2
10.7
Obliczyć f2 , f2 2 , f2 2 2 funkcji:
2
a) f(x) = x3 - ; b) f(x) = x sin x;
x
c) f(x) = 4x7 - 5x3 + 2x; d) f(x) = sin3 x + cos3 x.
Lista jedenasta
11.1
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
" "
"
2x
a) f(x) = x, (4, f(4)); b) f(x) = , 2, f 2 ;
1 + x2
sin x
e) f(x) = , (0, f(0)); d) f(x) = x4 - x + 2, (-1, f(-1)) .
1 + x
11.2
a) Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwadratem o boku 4 m,
a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda
z prędkością 1 m3/min. Z jaką prędkością będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on
napełniony do połowy głębokości?
b) Gumowy balon ma kształt kuli o objętości V0 = 40 m3. Do balonu wtłacza się powietrze z prędkością
p = 1 m3/s. Obliczyć, z jaką prędkością powiększać się będzie średnica balonu po 24 s. Założyć, że ciśnienie
powietrza w balonie jest stałe.
c) Drabina składa się z dwóch ramion o długości l = 2.5 m. Podstawy ramion są przysuwane do siebie z
prędkością v = 5 cm/s. Obliczyć, z jaką prędkością będzie podnosił się wierzchołek drabiny w chwili, gdy
podstawy ramion będą oddalone o d = 3 m.
11.3
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:
"
1
3
"
a) 7.999; b) ;
3.98
2
c) tg 44ć%55 ; d) sin2 59ć%.
11.4
Metodą Newtona wyznaczyć przybliżone rozwiązania równań:
a) x3 + 5x = 3; b) x3 = 3x - 1;
"
c) cos x = x; d) 2 sin x = x + 1.
15
11.5
Korzystając z metody Newtona obliczyć przybliżone wartości pierwiastków:
" " "
3 7
a) 10; b) 2; c) 5.
11.6
Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć podane granice:
Ä„
1
ln sin x
ln (2x + 1)
2
a) lim ; b) lim ; c) lim (cos x)x ;
x" x1 x0
x ln x
x - arc tg x x10 - 10x + 9
d) lim x arc ctg x; e) lim ; f) lim ;
x" x0 x1 - 5x + 4
x2 x5

1 ln cos x
g) lim x ln x; h) lim - ctg x ; i) lim ;
x0
x0+ x0- x ln cos 3x
x sin x
2 1
j) lim arc tg x ; k) lim (1 + x)ln x; l) lim .
x"
Ä„ x0+ x0+ x
Lista dwunasta
12.1
Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji. Podać przedziały, na których funkcje te są
rosnÄ…ce:
y y y
a) b) c)
y=f2 (x) y=f2 (x) y=f2 (x)
-2 2
1 3
x x -1 x
-
2 2
y y y
d) e) f)
y=f2 (x) y=f2 (x) y=f2 (x)
-2
x x x
1 2 -3 3 -1 1 2
12.2
Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
"
x4 x3
3
a) f(x) = - - x2; b) f(x) = ex(x + 1); c) f(x) = x - 3 x;
4 3
d) f(x) = x ln2 x; e) f(x) = x3 - 30x2 + 225x; f) f(x) = xe-3x.
12.3
Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji a)  f) i ich pochodnych A)  F). Połączyć wykresy funkcji z
wykresami ich pochodnych:
y y y
a) b) c)
x x
x
16
y y y
d) e) f)
x x x
y y y
A) B) C)
x
x x
y y y
D) E) F)
x
x
x
12.4
Na rysunkach przedstawiono wykresy pochodnych pewnych funkcji ciągłych. Wskazać punkty, w których funk-
cje te majÄ… ekstrema lokalne:
y y y
a) y=f2 (x) b) y=f2 (x) c)
y=f2 (x)
2 1 9
x -1 1 3 x 2 5 8 x
y y y
d) e) y=f2 (x) f) y=f2 (x)
y=f2 (x)
"
-1 - 2
"
"
3
1 x 1+ 2 x x
2
2
12.5
Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji:
"
2x2 - 1
a) f(x) = ; b) f(x) = x ln x; c) f(x) = x - x;
x4

1
x2
d) f(x) = - 5x - 6 ; e) f(x) = ; f) f(x) = x3 - 4x2;
x2 - x

g) f(x) = 2 sin x + cos 2x; h) f(x) = (x - 5)ex; i) f(x) = 2 arc tg x - ln 1 + x2 .
12.6
Zbadać przebieg zmienności funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:
17
"
x 4 4
a) f(x) = x ln x; b) f(x) = ; c) f(x) = 3 - - ;
x - 1 x x2
1
x3 x
x
d) f(x) = x2 ; e) f(x) = ; f) f(x) = .
x - 1 ln x
Lista trzynasta
13.1
Znalez
ć wartości najmniejsze i największe funkcji na wskazanych przedziałach:
1 - x
a) f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x, [1, 5]; b) f(x) = arc tg , [0, 1];
1 + x

9
c) f(x) = (x - 3)2e|x|, [-1, 4]; d) f(x) = 1 - - x2 , [-5, 1].
13.2
Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy będzie dostarczana
rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od punktu brzegu najbliższego platformie. Koszt
ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200 000 euro, a na lądzie  100 000 euro. Do którego miejsca na
brzegu należy doprowadzić rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
Platforma
wiertnicza
10 km
x Rafineria
16 km
13.3
Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie spadku kropla paruje w
ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała
połowa jej masy. Po ilu sekundach energia kinetyczna kropli będzie największa?
13.4
Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m3 i kwadratową podłogę. Koszt 1 m2 blachy potrzebnej
do wykonania jego podłogi i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych  30 zł. Jakie powinny być wymiary
kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?
13.5
Jakie powinny być wymiary a, b prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym naturalnym bokiem jest
brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?
rzeka
a
S
b
Lista czternasta
14.1
Obliczyć całki nieoznaczone:

"
"
1 (1 - x) dx x4 dx
3
a) 3 x2 + - 2x x dx; b) " ; c) ;
3
x3 1 - x x2 + 1
"

3
cos 2x dx x3 + x2 - 1 2x - 5x
d) ; e) " dx; f) dx.
cos x - sin x x 10x
18
14.2
Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

a) ln(x + 1) dx; b) x22x dx; c) x2 sin x dx;

d) e2x sin x dx; e) x ln x dx; f) arc cos x dx.
14.3
Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć całki nieoznaczone:
"
"

cos x 1 + 4x
a) " dx; b) dx; c) (x+1) sin x2 +2x+2 dx;
x x

cos x dx (3x + 2) dx ex dx
d) " ; e) ; f) ;
3x2 + 4x + 7 e2x + 1
1 + sin x

5 sin x dx 2
g) ; h) x3ex dx; i) sin3 x dx.
3-2 cos x
14.4
Obliczyć całki ułamków prostych pierwszego rodzaju:

dx dx
a) ; b) ;
(x + 3) (x - 3)7

5 dx 8 dx
c) ; d) .
9x + 20
(2 - 7x)3
14.5
Obliczyć całki ułamków prostych drugiego rodzaju:

dx (6x + 3) dx
a) ; b) ;
x2 + 4x + 29 x2 + x + 4

(4x + 2) dx (x - 1) dx
c) ; d) .
x2 - 10x + 29 9x2 + 6x + 2
14.6
Obliczyć całki z funkcji wymiernych:

(x + 2) dx x2 dx dx
a) ; b) ; c) ;
x(x - 2) x + 1 (x - 1)x2

dx (4x + 1) dx (3x - 1) dx
d) ; e) ; f) .
(x2 + 1) (x2 + 4) 2x2 + x + 1 x2 - x + 1
* 14.7
Obliczyć całki nieoznaczone:


a) (|x| + 1) dx; b) min x, x2 dx;


1
c) - x2 dx; d) | cos x| dx, x " [0, Ä„].
Lista piętnasta  dodatkowa
15.1
Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji:

2
a) f(x) = xe-x; b) f(x) = ln 1 + x2 ; c) f(x) = x - x3 - 4 ln |x|;
3
1 1
d) f(x) = sin x + sin 2x; e) f(x) = ; f) f(x) = cos x.
8 1 - x2
19
15.2
Korzystając z twierdzenia Lagrange a uzasadnić nierówności:
b
a) |arc tg a - arc tg b| |a - b| dla a, b " R; b) ln < b - a dla 1 a < b;
a
x
c) x arc sin x " dla 0 x < 1; d) ex > ex dla x > 1.
1 - x2
15.3
Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange a dla podanych funkcji f, punktów x0 oraz n :
1
a) f(x) = x3, x0 = -1, n = 4; b) f(x) = , x0 = 1, n = 2;
x2
c) f(x) = sin 2x, x0 = Ä„, n = 3; d) f(x) = e-x, x0 = 0, n = 5;
1
e) f(x) = , x0 = 2, n = 3; f) f(x) = ln x, x0 = e, n = 4.
x
20