1
Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 13 czerwca
2000
I. Część testowa
Proszę o podanie odpowiedzi, bez uzasadnienia.
1. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żad-
nej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna
liczba oczek?
1
2. X ma rozkład wykładniczy o parametrze 1. Znalez
ć rozkład Y = .
X
3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Podać
1
(a) dystrybuantę i (b) wartość oczekiwaną zmiennej Y =max(X, )
2
4. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi. X ma rozkład wykład-
1 1
niczy z parametrem 1, a Y ma rozkład dwupunktowy (0, ), (1, ).
2 2
Podać rozkład (czyli np. dystrybuantę, a jeśli istnieje gęstość  to
gęstość) zmiennej losowej X + Y .
5. Zmienne losowe X, Y są niezależne o rozkładzie N(0, 1). Znalez
ć roz-
X
kład Z =
|Y |
6. Losujemy ze zwracaniem ze zbioru cyfr 0, 1 . . . 9 tak długo, aż otrzy-
mamy wszystkie cyfry. Podać wartość oczekiwana liczby prób.
7. Podać przykład przestrzeni probabilistycznej i dwóch niezależnych
zmiennych losowych określonych na tej przestrzeni, z których jedna
1 3
ma rozkład jednostajny na [0, 1] a druga dwupunktowy (0, ), (1, ).
4 4
8. Współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego
P (x) =ax2 +2bx + c
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na
[-1, 1]. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany trójmian P będzie
miał dokładnie 2 pierwiastki rzeczywiste jest równe: (a) 2/9; (b) 2/9+
1/2; (c) 1/2.
9. Ciąg zmiennych losowych (Xn) na odcinku [0, 1] z miarą Lebesgue a
zadany jest wzorem:
Xn(t) =sin(2Ąnt).
Czy ciąg (Xn) (a) zmierza do zera wg. prawdopodobieństwa; (b) zmie-
rza do zera p.n.; (c) spełnia słabe prawo wielkich liczb.
2
II. Część teoretyczna
Należy podać pełne rozwiązanie.
1. Producent proszku do prania zamawia badania ankietowe w celu osza-
cowania procentu p osób, które kupiłyby nowy produkt. Ile wystarczy
przepytać osób, by błąd oszacowania p nie przekraczał 0,05 z praw-
dopodobieństwem 0,90?
2. Niech Xn, n = 1, 2, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi ta-
kimi, że
1
P (Xn = n +1) = P (Xn = -(n +1)) = ,
2(n +1) ln(n +1)
1
P (Xn =0) = 1 -
(n +1) ln(n +1)
Udowodnić, że (Xn) spełnia SPWL, a nie spełnia MPWL.
Zadanie dodatkowe. Czy istnieją dwie funkcje ciągłe, które potrak-
towane jako zmienne losowe na odcinku [0, 1] z miarą Lebesgue a są nieza-
leżne?