Egzamin z rachunku prawdopodobieństwa, 13 czerwca 2002
1. Dwie korektorki, Anna i Beata, czytają niezależnie od siebie ten sam tekst. Anna znalazła w nim 64
błędy, Beata  82, przy czym błędów znalezionych przez obie było 42. Jak wytłumaczyć fakt, że zostały
zwolnione z pracy?
1
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Cauchy ego, czyli o gęstości g(x) = . Znalez
ć
Ą(1+x2)
1
rozkład zmiennej losowej .
X
3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na
przedziale [0, 1].
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = XY . Znalez
ć rozkład Z.
b) Znalez
ć Cov(max(X, Y ), X + Y ).
4. Pokazać, że jeli X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy
czym X1 e" 0 i EX1 = ", to

X1 +. . . +Xn
P lim = " =1.
n"
n
5. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyć

E (X + Y )3|X .
6. Na 120 studentów 48 wybrało wykład dra Adama Z., a pozostałych 72  dr hab. Zofii A.
Adam twierdzi, że odchylenie od równego podziału jest nieistotne i zostało spowodowane czynnikami
losowymi, natomiast Zofia uważa za oczywiste, że studenci wolą jej wykład.
a) Czyje stwierdzenie jest bardziej wiarygodne?
b) Przypuśćmy, że jest 600 studentów, którzy podzielili się w takiej samej proporcji, tj. 240:360. Czy
zmienia to wynik uzyskany w punkcie a?