Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa, 13 września 2002
1. W dwóch sklepach:  Pszczółka i  Żabka stwierdza się średnio jedną kradzież dziennie. Co jest
bardziej prawdopodobne: równa czy różna liczba kradzieży w najbliższy wtorek? (10 pt.)
Wsk. Sformułować i krótko uzasadnić hipotezę co do rozkładu liczby wykrytych kradzieży, a następnie
posłużyć się nią.
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0, 1). Wyznaczyć (jeśli istnieją) a)
gęstość zmiennej losowej Y = eX; (4 pt.) b) EY ; (3 pt.) c) D2Y . (3 pt.) Jeśli którykolwiek z wymie-
nionych obiektów nie istnieje, uzasadnić dlaczego.
3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na
przedziale [0, 1].
a) Obliczyć (jeśli istnieją) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = X/Y . Znalez
ć rozkład
Z. (4 pt.)
b) Obliczyć Cov(max(X, Y ) - min(X, Y ), |X - Y |). (3 pt.)
c) Obliczyć E(max(X, Y )| min(X, Y )). (3 pt.)
4. Pokazać, że jeśli X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy
czym P (X1 =1) =2/3, P (X1 = -1) = 1/3, to

P lim (X1 +. . . +Xn) =" =1.
n"
(10 pt.)
5. Bliz
nięta rodzą się średnio raz na 90 porodów. Oszacować prawdopodobieństwo
a) co najmniej 5 par bliz
niąt na 900 porodów; (5 pt.)
b) dokładnie dwóch par bliz
niąt na 180 porodów. (5 pt.)
Zadanie dodatkowe (20 pt.)
6*. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Obliczyć
E (X|aX + bY ) , a2 + b2 > 0.