K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.
RÓWNANIE SCHR�DINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
Równanie SchrQ
dingera niezależne od czasu to równanie postaci:
2
-!2 d �ąśą xźą
�ą V śą x źą�ąśą xźą = E �ąśą x źą
(X.1)
2m
dx2
d �ą
Warunki regularności na �ąśą xźą i :
dx
a) skończone
b) ciągłe
c) jednoznaczne
Postać (kształt) funkcji własnych � zależy od potencjału V.
a) cząstka swobodna
Dla V(x) = 0 równanie (X.1) sprowadza się do postaci:
2
!2 d �ąśąx źą
- = E �ąśą xźą (X.2)
2m
dx2
2
2
d �ąśąx źą
p
�ą �ą = 0 (X.3)
śą źą
!
dx2
�ąEśą xźą = Aeikx (X.4)
Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa:
p 2mE
ćą
k= =
(X.5)
! !
{E}  zbiór ciągły
 1 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
k !2
E =
{ }
2m
b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału
Rys.X.1. Nieskończenie głęboka studnia potencjału. Cząstka nie ma prawa przebywać w obszarach I i III ze
względu na olbrzymią barierę potencjału.
Obszar II:
V(x) = 0, 0 "ą x"ąa
2
d �ąśąx źą
2mE
�ą �ą = 0
(X.6)
dx2 !2
Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego.
d2 x
�ą k ' x = 0, F = -k' x
śą źą
dt2
(X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równani (6).
�ą1śąx źą = A sin kx
(X.7a)
�ą2śą xźą = B cos kx
(X.7b)
Funkcja własna � (x) nie spełnia warunku ciągłości bo:
2
 2 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
�ą2 śą x=0źą=B  brak ciągłości
śąB`"0 = �ą2śą xd"0źąźą
Natomiast funkcja własna �1(x) jest spełniona dla takiego warunku:
�ą1 śą x=0źą= Asin k�"0=0=�ą1śą xąą0źą
�ą1 śą x=a źą= Asin k�"a=0
�ą = n Ćą , n = 0, 1,...
ka = n Ćą (X.8)
Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n tym poziomie energetycznym wyraża
się wzorem:
!2Ćą2
En = n2 (X.9)
2ma2
Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie.
Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału:
n Ćą
�ąn śą x źą = A�"sin �"x
(X.10)
a
 3 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.X.2. Ilustracja graficzna wzoru (X.9).
Rys.X.3. Ilustracja graficzna wzoru (X.10).
Rys.X.4. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla różnych �
n.
 4 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHR�DINGERA.
ęą
A �ą=a �ąśąaźą
{a}:
 zbiór ciągły (cząstka swobodna),
 dyskretny (cząstka w jamie potencjału)
Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość
jest zdegenerowana.
Jeśli dla a istnieje n różnych funkcji własnych {� , � ,..., � }, to jest to n  krotna
i 1 2 n
degeneracja (zwyrodnienie)
-!2 "2 "2 "2
�ą �ą �ą V śąx , y , z ,t źą �ą śąx , y , z ,tźą = E �ąśąx , yzźą
(X.1.1)
śą źą
[ ]
2m
" x2 " y2 " z2
Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1):
ęą
H �ą = E �ą (X.1.2)
ęą
gdzie: H  hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem:
!2 "2 "2 "2
ęą
H = - �ą �ą �ą V śą x , y , z źą
(X.1.3)
śą źą
2m
" x2 " y2 " z2
Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji:
!2
ęą
(X.1.4)
H = - �ą �ą V
2m
gdzie:
"2 "2 "2
�ą = �ą �ą (X.1.5)
" x2 " y2 " z2
to operator Laplace'a
 5 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.2. OPERATOR ENERGII.
Operatorem energii nazywamy wyrażenie:
"
ęą
E=i !
(X.2.6)
"t
Równanie własne dla operatora energii jest postaci:
ęą
E �ą= E �ąśąx , y , z ,t źą (X.2.7)
czyli:
"
i ! �ąśą x , y , ztźą = E �ą
(X.2.8)
"t
X.3. OPERATOR P
DU.
p=śą px , py , pzźą
ęą ęą ęą ęą
i
�ąśą x , y , z ,t źą = Aexp xpx + yp + zpz - Et
śą źą (X.3.1)
y
[ ]
!
p=[ px , py , pz]
Śą
p
ęąx
Poszukujemy operatora:
" i i i
�ąśą x , y , z , t źą = A px exp xpx + ypy + zpz - Et = �ąśą x , y , z ,t źą
śą źą (X.3.2)
[ ]
" x
! ! !
i !
Po podzieleniu równania (X.3.2) przez otrzymujemy:
"
-i ! �ą = px�ą
(X.3.3)
" x
Z własności operatorów:
px�ą = px �ą
ęą
(X.3.4)
Z równań (X.3.3) oraz (X.3.4) wynika, że:
 6 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
"
px=-i !
ęą
(X.3.5a)
" x
p , pz
ęąy ęą
Analogicznie można znalez
ć operatory:
"
py = -i !
ęą
(X.3.5b)
" y
"
pz = -i !
ęą
(X.3.5c)
" z
L= p�ą
Śą
X.4. WARTOŚCI WA
ASNE I FUNKCJE WA
ASNE KR
TU śąŚą źą
Stara teoria kwantowa:
L=n�ą !
II postulat Bohra :
Lz = p�ą = n�ą!
(X.4.1)
Reguły kwantowania Wilsona  Somerfelda:
Śą
L= r� p (X.4.2)
Śą Śą
Śą
L=śąLx , L , Lzźą
y
Śą=śą x , y , zźą
r
p=śą px , py , pzźą
Śą
ęą
ęą ęąj k
i
ęą
Śą ęą ęą
L = = i ypz - zpy �ą j zpx - xpz �ą k xpy - ypx
x y z (X.4.3)
śą źą śą źą śą źą
#" #"
px py pz
Składowym krętu L przypisujemy odpowiednio ich operatory:
Lx= ypz-zpy (X.4.4a) ęą
Lx= y pz-z py
ęą ęą ęą ęą
(X.4.5a)
L =zpx- xpz (X.4.4b) ęąy=ęą
L z px- x pz
ęą ęą ęą
(X.4.5b)
y
 7 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Lz=xpy- ypx (X.4.4c) ęą
Lz=x p y px
ęą ęąy- ęą ęą
(X.4.5c)
Podstawiając do wzorów (X.4.5) uzyskane wcześniej wartości operatorów składowych
pędu otrzymujemy:
" "
ęą
Lx = -i ! y - z
(X.4.6a)
śą źą
" z " y
" "
ęąy
L = -i ! z - x
(X.4.6b)
śą źą
" x " z
" "
ęą
Lz = -i ! x - y
(X.4.6c)
śą źą
" y " x
ęą
Lz �ą=�ą�ą
(X.4.7)
Równanie (X.4.7) po podstawieniu wartości operatora składowej krętu (X.4.6c) przyjmuje
postać:
" "
-i ! x - y = �ą �ą
(X.4.7a)
śą źą
" y " x
Współrzędne biegunowe:
x = rsin �ącos �ą
y = rsin �ąsin �ą
z = rcos�ą
Operator krętu we współrzędnych biegunowych:
" "
(X.4.8a)
ęą
Lx = i ! sin �ą �ą ctg �ącos�ą
śą źą
"�ą "�ą
 8 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
" "
(X.4.8b)
ęą
Ly = i ! -cos �ą �ą ctg �ąsin �ą
śą źą
" �ą "�ą
Równanie własne z  towej składowej:
"
ęą
(X.4.8c)
Lz=-i !
"�ą
Z wzorów (X.4.7) i (X.4.8c) wynika:
d �ą
-i ! = �ą�ą
(X.4.9)
d �ą
d �ą
i
= �ą�ą
(X.4.10)
�ą !
d �ą
i
= �ą�ą
(X.4.11)
+" +"
�ą !
i
ln �ą = �ą �ą
(X.4.12)
!
i
�ą�ą
(X.4.13)
�ą = A e!
Wzór (X.4.13) stanowi matematyczne rozwiązanie równania własnego (X.4.7).
�ąśą�ą�ą2Ćąźą=�ąśą�ąźą
założenia:
A=1
i i i
�ą�ą 2Ćą �ą �ą�ą
!
e! �"e! =e
i
2Ćą �ą
e! =1
2 Ćą
cos �ą=1
!
Z jednoznaczności funkcji, przy takim założeniu znajdujemy funkcje własne.
 9 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
�ą = m ! (X.4.14)
gdzie m  magnetyczna liczba kwantowa,
m = 0, ą1, ą2, ...
�ąm= A eim �ą (X.4.15)
ęą ęą
[ Li , L ]`"0 i`" j
j
składowe krętu podlegają zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.
ęą
X.5. WARTOŚCI WA
ASNE I FUNKCJE WA
ASNE
L2
ęą
ęą
(X.5.1)
Li2 , Li = 0
[ ]
ęą ęą ęą ęą
(X.5.2)
L2=L2�ąL2�ąL2
x y z
" 1 "2
ęą
L2=-!2 1 " sin �ą �ą
(X.5.3)
śą źą
śą źą
[sin �ą " �ą " �ą ]
sin2�ą "�ą2
ęą
Y śą�ą ,�ąźą - funkcja własna
L2
Stosujemy metodę separacji zmiennych:
ęą
(X.5.4)
L2Y śą�ą,�ąźą = ŻąY śą�ą ,�ąźą
Y śą�ą ,�ąźą = �ąśą�ąźą�ąśą�ąźą (X.5.5)
Z wzorów (X.5.4) i (X.5.5) otrzymujemy:
2
d �ą sin �ą "�ą
1 "
- = sin �ą �ą Żąsin2�ą (X.5.6)
śą źą
�ą "�ą
d �ą2 �ą " �ą
We wzorze (X.5.6) lewa strona będzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony
równania będą stałe:
 10 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
2
d �ą
-1
= m2
(X.5.7a)
�ą
d �ą2
sin�ą "�ą
"
sin �ą �ą Żąsin2�ą = m2 (X.5.7b)
śą źą
�ą "�ą "�ą
�ą=B ei m�ą (X.5.8)
m=0, ą1, ą2,....
Rozwiązanie (X.5.7b) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
Żą = l śąl �ą1źą!2 (X.5.9)
l=0,1,2,....
#"m#"ąąl
" 2l�ą1 wartości m śą m"[-l ,-l�ą,... , l-1,l ]źą
Żą�! L2
L=! l śąl �ą1źą (X.5.10)
ćą
Kwantowanie L jest inne niż przewiduje stara teoria kwantowa. Według niej kręt wyraża się
wzorem:
n�ą=1,2 , .... , n
L* = n�ą! ,
LL* dla dużego l. Największa różnica w wartościach krętu jest w wartości minimalnej.
Z wzoru (X.5.10) wynika, że minimalna wartość krętu jest równa :
Lminśąl=0źą=0
Natomiast według starej teorii kwantów wartość minimalna krętu:
L* = !
min
Mamy więc sprzeczność, bo:
Lmin`"L*
min
 11 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Eksperyment potwierdza słuszność, że zależność (X.5.11) jest prawdziwa:
�ąml = B2�"sinm�ą P|lm |śącos �ąźą (X.5.11)
gdzie P| m|śącos �ąźą  wielomian Legendre'a
l
L=n�ą ! Śą Lmin=!
l |m|
P| m|śącos �ąźą
l
0 0 1
1 1 1
1 0 cos�ą
2 2 3
2 1 3cos�ą
2 0 1
śącos2 �ą-1źą
2
Tabela X.1. Przykładowe wartości wielomianu Legendre'a dla różnych wartości liczb kwantowych l i m.
Z wyrażeń (X.5.5), (X.5.6) oraz (X.5.11) otrzymujemy, że:
Y śą�ą,�ąźą = �ąmśą�ąźą�"�ąlmśą�ąźą = B ei m�ą sinm �ą P| m|śącos �ąźą (X.5.11)
lm l
"2l�ą1 m " [-l ,-l�ą,... , l-1,l ]
Orbitalna liczba kwantowa l określa stany elektronowe.
l 0 1 2 3 ...
Symbol s p d f
stanu
Tabela X.2. Stany elektronowe dla odpowiednich wartości l.
Elektron s, to taki, dla którego kręt orbitalny jest równy 0, elektron p  kręt orbitalny równy
1, itd.
 12 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
X.6. FUNKCJA FALOWA CZ
STKI SWOBODNEJ (FALE MATERII).
Cząstka swobodna  potencjał V jest równy 0.
V(x,y,z)=0
założenie 1:
�ą=�ąśą x źą
ęą
H �ą = E �ą (X.6.1)
k
!2 d 2
ęą
H = - (X.6.2)
2m
dx2
Po podstawieniu wyrażenia (X.6.2) do równania (X.6.1) otrzymujemy:
2
2mEk
d �ą
�ą �ą = 0
(X.6.3)
dx2 !2
Funkcje własne dane są wzorem:
�ąśą xźą = A ei�ą x (X.6.4)
założenie 2:
A=1
Wylicza się, że współczynnik ą wynosi:
2 Ćą 2 Ćą 2Ćą
�ą =
(X.6.5)
ćą2mE = h px = �ą = kx
k
h
x
�ąśą xźą = eik x (X.6.6)
W trzech wymiarach wzór (X.6.6) przyjmuje postać:
Śą
Śą
�ąśą x , y , z źą = exp śąk x�ąk y�ąk z źą = ei k r (X.6.7)
[i ]
x y z
Śą=śą k x , k y , k zźą
k
r=śą x , y , zźą
Śą
 13 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Postać funkcji falowej:
a) w jednym wymiarze (1D):
x
�ąśą x ,t źą = �ąśąx źą�ąśąt źą = eik x - e-i�ąt = exp i śąk x-i �ą t źą (X.6.8)
[ ]
x
b) W trzech wymiarach (3D):
�ąśąr ,t źą = exp i śąŚą �ąt źą (X.6.9)
k�"r
Śą [ Śą-i
]
P śąŚą ,t źą = �ą*śąŚą ,t źą�"�ą śąŚą ,t źą = 1 = const.
r r r
Według wyniku prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest wszędzie takie samo, co jest
sprzeczne z definicją cząstki, bo cząstka jest w jakimś miejscu, a nie wszędzie. Lepszym
rozwiązaniem dla cząstki swobodnej jest pakiet falowy, między innymi rozwiązuje problem
lokalizacji.
X.7. PAKIET FALOWY.
Definicja pakietu falowego:
Jest to funkcja falowa, która w pewnym miejscu (obszarze) ma wartości różne od zera, a
po za tym obszarem jest równa 0.
Konstrukcja pakietu falowego:
1D:
k "[k0 -" k , k0 �ą " k ]
k0 + " k
i -�ą t
df
x
�ąśą x ,t źą = c (X.7.1)
+"
śąk 0źąe śąk źądk
k0-" k
c(k )  amplituda funkcji.
0
 14 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Funkcja falowa (X.7.1) po rozwinięciu w szereg ma postać:
" �ą
sin x- t " k
śą źą
[ ]
" k
2cśąk źą �"exp i śąk0 x-�ą0t źą
(X.7.2)
[ ]
0
d �ą
x- " k
śą źą
[ ]
dk
0
Wyrażenie (X.7.2) stanowi matematyczną postać pakietu falowego. Możemy je zapisać
jako:
�ąśą x ,t źą = c śą x ,t źą�"exp i śąk x-�ą0tźą
(X.7.3a)
[ ]
0
Przy czym c (x,t) stanowi amplitudę i wyraża się wzorem:
sin �ą
c śąx ,tźą = 2cśąkoźą
(X.7.3b)
�ą
gdzie:
d �ą
�ą = x- t " k (X.7.3c)
śą źą
[ ]
dt
0
0 ąą c śą x , tźą ąą 2cśąt0źą
Ponieważ , to muszą być spełnione warunki:
sin �ą sin �ą
=0 =1
oraz
�ą �ą
Z pierwszego otrzymujemy, że:
�ą = ąĆą
Natomiast z drugiego:
�ą = 0
 15 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.X.2. Zależność funkcji falowej od położenia x.
sin2�ą
�ą*śą x , t źą�"�ą śą x , tźą ~
�ą2
Rys.X.3. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale [-"x,+"x] funkcji x.
X.8. PR
DKOŚĆ GRUPOWA u.
Prędkość grupowa jest to prędkość z jaką przesuwa się maksimum główne w pakiecie
falowym. Jest ona równa prędkości cząstki fali de Broglie'a.
cśą x ,t źą = 2cśą k źą , �ą=0
0
d �ą
x = t (X.8.1)
śą źą
dt
0
 16 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
d �ą
dx
u = = (X.8.2)
śą źą
dt dk
0
Prędkość fazowa fali  jest to
prędkość, z jaką przesuwa się faza np.
punkt 1.
�ą
df
v =
k
v = �ą f (X.8.3)
v
�ą=vT=
f
2Ćą
k=
(X.8.4)
�ą
dv
u = v-�ą
(X.8.5)
d �ą
Wzór (X.8.5) przedstawia zależność pomiędzy prędkością fazową v, a prędkością
grupową u.
Te wielkości są tożsame wtedy, gdy prędkość nie zależy od długości fali (brak dyspersji).
X.9. RELACJA PR
DKOŚCI GRUPOWEJ (u) Z PR
DKOŚCI

CZ
STKI (v ).
0
Opis cząstki klasycznie:
p=mv0 E= p2
2m
Opis tej samej cząstki poprzez fale materii:
p
k =
!
 17 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
E
f =
h
u = v0
p2
E= E=! �ą
2m
p2 k 2 !2
! �ą= =
2m 2m
2
! k
�ą=
2m
2k !
d �ą= dk
2m
mv0
d �ą k !
p
u = = = = = v0
dk m m m
 18