1. Model dynamiczny siedzenia kierowcy.

Poniżej przedstawiono schemat układu kierowca-fotel. W pierwszym stopniu

zawieszenia amortyzowany jest fotel kierowcy, natomiast drugi stopień zawieszenia
odwzorowuje oddziaływanie fotela na kierowcę.

 

w t

1

x

2

x

1

b

2

c

2

b

1

c

1

m

2

m

Pierwszy stopień

zawieszenia

Drugi stopień

zawieszenia

2. Dane

Symbol i wartość

Opis

1

80

m

kg



masa kierowcy

2

30

m

kg



masa siedzenia

0,15

f

m



całkowite ugięcie statyczne sprężyn

0,15

f

k



współczynnik udziału pierwszego stopnia zawieszenia w
całkowitym ugięciu

1

0, 05





bezwymiarowy współczynnik tłumienia drugiego stopnia

2

0,8





bezwymiarowy współczynnik tłumienia pierwszego
stopnia

4

L

m



długość fali

25

m

v

s







90

/

km h

prędkość pojazdu

3. Równania różniczkowe ruchu

Układ posiada dwa stopnie swobody. Równania ruchu wyprowadzam korzystając z

metody Lagrange'a II rodzaju. Jako współrzędne uogólnione wybieram





1

2

,

x x

. Postać

równań ruchu jest następująca:









k

p

k

p

i

i

i

i

E

E

E

E

d

D

Q

dt

q

q

q

















 



















gdzie:

k

E



energia kinetyczna układu

p

E



energia potencjalna układu

D



funkcja dyssypacji energii

Q



siły uogólnione

q



współrzędna uogólniona

q



prędkość uogólniona

a) Wyznaczanie energii kinetycznej układu

2

2

1 1

2 2

1

1

2

2

k

E

m x

m x





b) Wyznaczanie energii potencjalnej układu









2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

p

E

c x

x

c

x

w









gdzie

1

2

,

c c

- współczynnik sztywności sprężyn obliczony w oparciu o ugięcie

statyczne układu i wpływ ugięcia na pierwszy stopień sprężynowania





1

1

6155

1

f

m

N

c

g

m

f

k





 

1

2

2

47960

f

m

m

N

c

g

f k

m









 

sin

u t

A

t





- wymuszenie kinematyczne

0,03

A



- amplituda wymuszenia kinematycznego

2

39, 27

v

rad

L

s









- częstość wymuszenia kinematycznego

c) Wyznaczanie funkcji dyssypacji energii









2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

D

b x

x

b x

w









gdzie

1

2

,

b b

współczynniki tłumienia układu. Obliczamy je ze wzoru:

1

1

1 1

2

70

N s

b

m c

m













2

2

1

2

2

2

3675

N s

b

m

m c

m











 

cos

w t

A

t







- pochodna wymuszenia kinematycznego

d) Praca wirtualna sił oraz siły uogólnione

0

W





1,2

0

Q

 



Wyznaczam pochodne





1 1

1

k

p

E

E

m x

x













2 2

2

k

p

E

E

m x

x













1 1

1

k

p

E

E

d

m x

dt

x





























1 2

2

k

p

E

E

d

m x

dt

x

































1

1

2

1

k

p

E

E

c x

x

x





 

















1

1

2

2

2

2

k

p

E

E

c x

x

c

x

w

x



















1

1

2

1

D

b x

x

x

















1

1

2

2

2

2

D

b x

x

b x

w

x



 









1

0

Q



2

0

Q



Układ równań różniczkowych ruchu

























1 1

1

1

2

1

1

2

2 2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

2

0

0

m x

c x

x

b x

x

m x

c x

x

c

x

w

b x

x

b x

w



































lub w postaci macierzowej

Mx Bx Cx Q







1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

0

0

0

m

x

b

b

x

c

c

x

m

x

b b

b

x

c c

c

x

c w b w







   

   

   











   

   

   















   

   

   



4. Drgania swobodne

Drgania swobodne analizujemy przyrównując prawą stronę układu równań

różniczkowych do zera

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

0

0

0

0

m

x

b

b

x

c

c

x

m

x

b b

b

x

c c

c

x







   

   

    









   

   

    









 



   

   

  

Rozwiązań szczególnych układu równań poszukujemy w następującej postaci

1

1

2

2

st

st

x

A e

x

A e





,

1

1

2

2

st

st

x

A se

x

A se





2

1

1

2

2

2

st

st

x

A s e

x

A s e





Podstawiając przewidywane rozwiązania do układu równań otrzymujemy













2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

0

0

A

s m

sb

c

sb

c

A

sb

c

s m

s b

b

c

c













   





    









 

 

 





Układ równań posiada rozwiązanie niezerowe wówczas gdy wyznacznik główny macierzy
jest równy 0.













2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

4

3

2

2400

301718,05

4771766,9

27713862,68

295207905,89

s m

sb

c

sb

c

W

sb

c

s m

s b

b

c

c

W

s

s

s

s



















 











Równanie charakterystyczne:

4

3

2

2400

301718,05

4771766,9

27713862,68

295207905,89

0

s

s

s

s











Miejsca zerowe równania charakterystycznego:

1

2

3

4

15,92

108, 23

0,78

8, 41

0,78

8, 41

s

s

s

i

s

i

 



  



  





  





8, 41

b

rad

s





- częstość drgań tłumionych

1,34

2

b

b

f

Hz









- częstotliwość drgań tłumionych

2

0,75

b

b

T

s









- okres drgań tłumionych

Układowi nadano następujące warunki początkowe

 

 

1

2

0

0,05

0

0,01

x

m

x

m

 

 

Odpowiedź układu na tak przyjęte warunki początkowe pokazano na poniższym rysunku.

Przebiegi wykonano w oparciu o numeryczne rozwiązanie przedstawionych równań

różniczkowych. Wykorzystano do tego celu algorytm Rungego-Kutty IV rzędu. Symulacji

dokonano dla czasu 5s.

Rys. 1 Drgania swobodne tłumione

W przypadku gdy

1

2

0

b

b





, wówczas analizować będziemy drgania nietłumione. Równanie

charakterystyczne będzie równe

4

2

2400

4771766,9

295207905,89

0

s

s







a pierwiastki równania charakterystycznego będą równe:

1

2

3

4

8, 2

8, 2

42,6

42,6

s

i

s

i

s

i

s

i

 



 



  



 



częstość drgań

nietłumionych

częstotliwość drgań

nietłumionych

okres drgań nietłumionych

1

8, 2

rad

s





1

1,31

f

Hz



1

0,76

T

s



2

42,6

rad

s





2

6,8

f

Hz



2

0,14

T

s



Przebiegi czasowe układu bez tłumienia wytrąconego z położenia równowagi są pokazane
poniżej. Przyjęto następujące warunki początkowe

 

 

1

2

0

0,05

0

0,01

x

m

x

m

 

 

 

 

1

2

0

0

0

0

x

x





0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

t[s]

x

1

,x

2

[

m

]

kierowca

fotel

Rys. 2 Drgania swobodne nietłumione

Na rysunku są widoczne dwie formy drgań fotela kierowcy. Druga forma drgań nie ujawniała
się podczas drgań z tłumieniem.

5. Drgania wymuszone

Celem analizy drgań wymuszonych jest sporządzenie charakterystyk amplitudowo-

częstotliwościowych. Drgania pochodzące z podwozia samochodu przekazywane na fotel
kierowcy poprzez układ sprężysto-tłumiący będą stanowiły harmoniczne wymuszenie
kinematyczne. Układ równań w postaci macierzowej dla układu z wymuszeniem
przedstawiony jest poniżej.

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

0

0

0

m

x

b

b

x

c

c

x

m

x

b b

b

x

c c

c

x

c w b w







   

   

   











   

   

   















   

   

   



gdzie:

sin

cos

w

A

t

w

A

t










Zapis prawej strony równania macierzowego można przekształcić do postaci:







 



2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

cos

sin

arctan

c A

t

b A

t

C

t

C

Ac

Ab

A c

b

b

c







 





































Dokonajmy następujące podstawienie

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

t[s]

x

1

,x

2

[

m

]

kierowca

fotel









sin

i

t

i t i

C

t

Ce

Ce e

 





 









Drgania swobodne tłumione jak widać na rys.1 po pewnym czasie wygasają. Po tym

czasie układ będzie drgał tylko na skutek występującego wymuszenia z taką samą częstością i

pewną ustaloną amplitudą. Celem naszym będzie wyznaczenie charakterystyk amplitudowo

częstotliwościowych, które w sposób jednoznaczny określą amplitudę drgań fotela kierowcy

oraz samego kierowcy w funkcji częstości wymuszenia. Podstawienie za sin(ωt+τ) funkcję

e

i(ωt+τ)

jest nietożsame, dlatego interesuje nas tylko część zespolona rozwiązania gdyż













cos

sin

i

t

e

t

i

t

 

 

 











Jeżeli nie interesuje nas przesunięcie fazowe to doskonałym odwzorowaniem będzie

przedstawienie modułu amplitudy w funkcji częstości wymuszenia. Przewidywane

rozwiązanie układu równań będziemy poszukiwać w postaci:

 

 

1

1

2

2

i t

i t

x t

A e

x t

A e









 

 

1

1

2

2

i t

i t

x t

i A e

x t

i A e













 

 

2

1

1

2

2

2

i t

i t

x t

A e

x t

A e









 

 

Podstawiając następnie do układu równań i upraszczając przez e

iωt

otrzymamy:













2

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

0

i

A

m

i b

c

i b

c

A

Ce

i b

c

m

i

b

b

c

c





























  







   













 





 





Szukane amplitudy wyznaczamy metodą wyznacznikową.

4

3

2

2400

301718,05

4771766,9

27713862,68

295207905,89

W

i

i































1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

0

303813,07

8856237,18

100964,76

26649303, 47

i

i b

c

W

Ce

m

i

b

b

c

c

W

i

























 

 







cos

sin

i

e

i



















2

1

1

1

2

1

1

2

2

2

0

115104

303813,07

8856237,18+i

346359,45

+100964,76

26649303,47

i

m

i b

c

W

i b

c

Ce

W





























 









1

1

2

2

W

A

W

W

A

W





1

1

2

2

W

A

W

W

A

W





Charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowe:



 













 



2

2

1

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

303813, 07

8856237,18

100964, 76

26649303, 47

2400

4771766, 9

295207905,89

27713862, 68 301718,05

115104

303813,07

8856237,18

+

346359,45

+100964,76

26649303,47

2400

4771766, 9

A

A

































































2

2

2

2

295207905,89

27713862, 68 301718,05









Za pomocą oprogramowania MATLAB narysowano wyżej przedstawione funkcje.

Rys. 3 Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa układu tłumionego

Na charakterystyce umieszczono przerywaną linią czerwoną znacznik częstości

drgań własnych tłumionych układu

8, 41

rad

s





. Amplituda drgań kierowcy dla takiej

częstości wymuszenia osiąga ekstremalne wartości. Zjawisko to nazywane jest rezonansem i
jest zazwyczaj niekorzystne. W takim stanie zdecydowanie pogarsza się komfort jazdy
kierowcy. Jest również przyczyną złego samopoczucia i może powodować utratę
koncentracji. Częstość wymuszenia w rozpatrywanym przypadku jest większa od częstości
drgań własnych układu. W związku z tym rejestrujemy znacznie mniejsze amplitudy drgań.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0.0018

0.031

0.0951



1

Częstość wymuszenia [rad/s]

A

m

pl

itu

da

d

rg

ań

[

m

]

częstość wymuszenia

kierowca

fotel

Zostały one zaznaczone na osi pionowej na rysunku 3. Za pomocą metod numerycznych
wyznaczono przebiegi czasowe układu kierowca-fotel dla rozpatrywanych warunków pracy.
Przebiegi te przedstawiono na rysunku poniżej. Do symulacji założono jednakowe warunki
początkowe jak w przypadku drgań swobodnych.

Rys. 4 Przebiegi czasowe drgań wymuszonych

Wykresy przedstawiają przemieszczenie kierowcy i fotela w czasie. W pierwszej fazie
rejestrujemy drgania własne układu. Po krótkiej chwili drgania własne ustają i układ drga
wyłącznie z częstością wymuszenia i ustaloną amplitudą. Można zaobserwować, że drgania
kierowcy znacznie wolniej osiągają stan ustalony. Widać, że w pierwszej fazie drgań
kierowca ulega drganiom wolnozmiennym, których częstość wraz z upływem czasu zmierza
do częstości drgań wymuszenia.

6. Literatura



"Teoria drgań" - Zbigniew Osiński



"Drgania Maszyn" - Ryszard Gryboś

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

t[s]

x

1

,x

2

[

m

]

kierowca

fotel