Prof. Edmund Wittbrodt

Równania różniczkowe ruchu postępowego, obrotowego i płaskiego bryły 

Ruch postępowy bryły 

Równania  różniczkowe  ruchu.  Jeżeli  ciało,  do  którego  przyłożono  siły 

1

2

,  

,  ...,  

n

P P

P

,  porusza  się  ruchem  postępowym,  to 

przyspieszenie 

a

 tego ciała obliczamy z twierdzenia o ruchu środka masy 

 

1

=

=

=

∑

n

C

i

i

ma

W

P

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Bryła w ruchu postępowym 

 
 
Ponieważ ciało porusza się ruchem postępowym (

0

ω

=

), to kręt ciała względem środka masy

0

C

K

=

, a zatem 

 

0

C

C

dK

M

dt

=

=

. 

 

Powyższy warunek musi być spełniony, jeżeli ciało ma poruszać się ruchem postępowym. 

O

 

C

 

z

 

y

 

x

 

2

P

1

P

n

P

a

W

 

Prof. Edmund Wittbrodt

Przy opisie ruchu postępowego we współrzędnych prostokątnych 

równania różniczkowe ruchu postępowego 

zapisujemy w 

postaci trzech równań skalarnych: 
 
 

 

=

&&

C

Cx

mx

W

, 

 

=

&&

C

Cy

my

W

, 

(4.66) 

 

=

&&

C

Cz

mz

W

, 

 

 

gdzie  

 

,

,









C

Cx

Cy

Cz

W

W

W

W

. 

 

 

Prof. Edmund Wittbrodt

Ruch obrotowy bryły 

 
Równania różniczkowe ruchu. Równanie różniczkowe ruchu obrotowego wokół nieruchomej osi, np. z, możemy otrzymać 
korzystając z zasady d’Alemberta, która przyjmuje postać 

 

 

2

1

( )

0

zi

t

z

i

m

M

dA

M

ρ

=

= −

+

=

∑

∫

. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika ruchu obrotowego bryły 

 
 
 

ω

ε

ρ

z

 

n

 

t

 

n

dA

t

dA

t

a

n

a

dm 

z

M

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Ponieważ 

 

                                        

t

t

dA

a dm

=

, 

 
natomiast zgodnie z (3.33) mamy 
 

 

t

a

ρε

=

, 

 
otrzymujemy 

 

2

( )

z

m

dm

M

ρ ε

=

∫

. 

 

 

Przyspieszenie  kątowe 

ε ϕ

=

&&

  jest  stałe,  niezależnie  od  położenia  rozważanego  punktu,  natomiast  wyrażenie 

2

( )

m

dm

ρ

∫

  jest 

masowym momentem bezwładności J

z

 bryły względem osi obrotu. Zatem ostateczna postać równania (4.76) jest następująca 

 

 

z

z

J

M

ϕ

=

&&

. 

 

 
Równanie to nosi nazwę 

równania różniczkowego ruchu obrotowego

. 

 

W  praktyce,  w  dynamice  ruchu  obrotowego  często  wygodniej  jest  korzystać  z  zasad  dynamiki,  podobnie  jak  to  miało 
miejsce w dynamice punktu materialnego.  

 

Prof. Edmund Wittbrodt 

Ruch płaski bryły 

Równania różniczkowe ruchu. Dla otrzymania równań dynamiki ruchu płaskiego wykorzystamy twierdzenie o ruchu środka 
masy oraz twierdzenie dotyczące krętu względem środka masy. Na podstawie pierwszego otrzymujemy 

 

 

C

C

ma

W

=

, 

 

gdzie: 

C

a

 – przyspieszenie środka masy, m – masa ciała, 

C

W

 – wektor siły wypadkowej zredukowanej do środka masy. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Dynamika ruchu płaskiego bryły 

 
Z kolei na podstawie drugiego twierdzenia mamy 

 

1

n

z

C

iC

C

K

J

M

M

ω

=

=

=

∑

&

&

, 

 

gdzie:  J

C 

  –  masowy,  osiowy  moment  bezwładności  względem  osi  przechodzącej  przez  środek  masy  i  prostopadłej  do 

płaszczyzny ruchu, M

C

 – moment wypadkowy względem tej samej osi przechodzącej przez środek masy. 

O

 

C

 

y

 

x

 

C

W

x

C 

y

C 

α

 

M

C 

ω

 

ε

 

C

a

 

Prof. Edmund Wittbrodt

Powyższe równania możemy zapisać w postaci trzech równań skalarnych: 

 

C

x

mx

W

=

&&

, 

 

C

y

my

W

=

&&

, 

 

 

C

C

J

M

ϕ

=

&&

. 

 

Powyższe równania noszą nazwę 

równań różniczkowych ruchu płaskiego

.