128

MECHANIK NR 2/2010

* Prof. dr hab. inż. Tadeusz Markowski, dr inż. Stanisław Noga

– Katedra Konstrukcji Maszyn Politechniki Rzeszowskiej, mgr inż.
Stanisław Rudy – Dział Analiz Wytrzymałościowych, WSK „PZL
Rzeszów” S.A.

Rys. 1. Widok ogólny stanowiska badawczego

Model numeryczny stanowiska do badań kół zębatych
przekładni lotniczych w układzie mocy krążącej

TADEUSZ MARKOWSKI, STANISŁAW NOGA, STANISŁAW RUDY*

Dokonano analizy drgań własnych stanowiska do badań
zmęczeniowych kół zębatych przekładni lotniczych w ukła-
dzie mocy krążącej. Zaprezentowano model numeryczny
stanowiska opracowany w oparciu o metodę elementów
skończonych. Wyniki rozwiązania numerycznego drgań
własnych zweryfikowano badaniami doświadczalnymi.

Rozwój współczesnej techniki lotniczej wymaga two-

rzenia urządzeń o dużej trwałości i niezawodności działa-
nia. Każdy nowo wyprodukowany zespół musi przejść
stosowną serię badań doświadczalnych, warunkujących
jego dopuszczenie do stosowania w konstrukcjach lot-
niczych. Badania te prowadzi się na specjalnie do tego
celu projektowanych stanowiskach. Jednym z czynników
mogących w znacznym stopniu zakłócić pracę stanowis-
ka badawczego jest możliwość pojawienia się drgań jego
poszczególnych elementów, bądź zespołów. Korzystne
jest więc wykonanie badań modelowych na etapie projek-
towania, które pozwolą ograniczyć skutki drgań [1].

Rozwój techniki komputerowej i systemów oblicze-

niowych opartych na metodzie elementów skończonych
(MES) pozwala na analizę drgań układów o znacznych
wymiarach gabarytowych oraz złożonej konstrukcji [3, 4].

Praca stanowi kontynuację opracowań autorów dotyczą-

cych analizy drgań układów z wykorzystaniem MES [2].

Opis stanowiska do badań zmęczeniowych kół

zębatych.

Stanowisko zbudowano w WSK „PZL Rze-

szów” S.A. Składa się ono z ramy fundamentowej, na
której posadowiono postumenty stalowe wraz z zamon-
towanymi zespołami. Rama jest zbudowana z dwóch
warstw profili ceownikowych spawanych i przymocowana
jest do betonowego podłoża za pomocą kotew. Do górnej
warstwy ramy przymocowano śrubami postumenty stalo-
we z poszczególnymi zespołami stanowiska. Szacunko-

wa masa ramy wynosi 1600 kg. Postumenty to konstruk-
cje spawane. Na poszczególnych blatach postumentów
zainstalowane są zespoły stanowiska wraz z mocowania-
mi zapewniającymi wymaganą stabilność i dokładność
montażu [1] (rys. 1).

Zespoły ruchome pracują z prędkością obrotową

2700

÷

7500 obr/min, co w przeliczeniu na liczbę cykli

wynosi 45

÷

125 Hz, bez uwzględnienia krotności zazę-

bienia kół zębatych.

Podczas montażu okazało się, że budowane stanowis-

ko badawcze drga pod wpływem pobudzeń, przenoszo-
nych przez posadzkę, od innych pracujących w pobliżu
stanowisk hamowni. Stąd wynikła potrzeba analizy drgań
stanowiska w celu wyznaczenia częstości drgań włas-
nych i odpowiadających im postaci drgań własnych.

Model numeryczny stanowiska.

Uzyskanie zado-

walających rezultatów w analizie modalnej stanowiska wy-
maga, przed badaniami na rzeczywistym obiekcie, opraco-
wania dokładnego modelu ES układu [1]. Stanowi ono
złożony układ różnych elementów konstrukcyjnych. Celem
nadrzędnym jest opracowanie na tyle szczegółowego mo-
delu stanowiska, aby jego parametry dynamiczne (często-
ści drgań własnych i odpowiadające im formy drgań włas-
nych) były najbardziej zbliżone do parametrów obiektu.
Z tego względu kluczowe znaczenie ma odpowiedni dobór
ES do modelowania poszczególnych elementów konstruk-
cyjnych i zespołów składowych stanowiska.

Z punktu widzenia stabilności pracy stanowiska, rama

fundamentowa stanowi zasadniczy jego element. Z tego
względu opracowano szczegółowy model ES ramy, wy-
korzystując element powłokowy (shell99) czworoboczny,
ośmiowęzłowy o sześciu stopniach swobody w każ-
dym węźle. Zestawy ceowników modelowano elementem
shell99, przyjmując położenie powierzchni węzłów na
zewnętrznej powierzchni elementu. Pozwoliło to zrealizo-
wać połączenia spawane funkcją scalania węzłów w miej-
scach występowania spoin. Podejście to wprowadza błąd
modelowania, z powodu nadmiernej koncentracji masy
w narożach ceowników. Stąd wynikają niewłaściwe mo-
menty bezwładności modeli zestawów ceownikowych.
Podparcie ramy zamodelowano przyjmując punktowe
ograniczenia stopni swobody w miejscach mocowania
ramy do podłoża. W każdym takim punkcie pozostawiono
jeden stopień swobody związany z obrotem wzdłuż osi
symetrii kotwy.

Każdy zespół stanowiska, wraz z odpowiadającym mu

postumentem (z wyjątkiem zespołu „urządzenia wspoma-
gające”), został zamodelowany jako tzw. sztywny obszar
(rigid region) zawierający punkt masowy, w którym umie-
szczona jest masa skupiona układu. Punkty masowe
realizowane są przez element masowy mass21 jedno-
węzłowy, o sześciu stopniach swobody. Opracowany mo-
del ES stanowiska pokazano na rys. 2. Zawiera on 18 208
elementów typu shell99, 19 elementów typu mass21,
14 elementów typu beam44 oraz 56 892 węzły.

W oparciu o opracowany model przeprowadzono ob-

liczenia numeryczne, wyznaczając częstości własne ukła-
du i odpowiadające im formy własne w przedziale częstot-
liwości 0

÷

300 Hz. Dla stalowych elementów stanowiska

MECHANIK NR 2/2010

129

Rys. 2. Model numeryczny stanowiska

TABLICA I. Oszacowane wartości mas zespołów stanowiska

Nr zespołu

1

2

3

4

5

Masa, kg

1480

1480

550

320

600

TABLICA II. Wartości częstości własnych i opis odpowiadających im postaci

Nr

postaci

Opis postaci

Wartość częstości

własnej

ω

m

[Hz]

Nr

rysunku

1

Drgania wzdłużne współbieżne wszystkich zespołów

22,068

9

2

Drgania pionowe zespołu nr 1

37,764

10

3

Drgania pionowe przeciwbieżne zespołów nr 1 i nr 2

40,661

11

4

Drgania poprzeczne współbieżne wszystkich zespołów

51,745

12

5

Drgania pionowe zespołu nr 5

57,672

13

6

Drgania poprzeczne przeciwbieżne zespołów nr 1 i nr 2

59,273

14

7

Drgania pionowe zespołu nr 3

73,346

15

8

Drgania pionowe zespołu nr 4

85,160

16

9

Drgania poprzeczne współbieżne zespołów nr 3 i nr 4
oraz przeciwbieżne z zespołem nr 5

93,031

17

10

Drgania pionowe współbieżne zespołów nr 3, nr 4 i nr 5

101,70

18

13

Drgania pionowo – poprzeczne współbieżne zespołów nr 3 i nr 4

138,71

19

TABLICA III. Wyniki badań doświadczalnych.

Nr

postaci

Wartość zmierzona częstości

własnej

ω

e

, Hz

Błąd względny

częstości

ε

, %

1

27,77

−

20,5

2

38,15

−

1,01

4

46,70

10,8

5

56,15

2,71

7

73,24

0,15

przyjęto

wartość

współczynnika

Poissona

ν

= 0,3, modułu Younga

E = 2,1 · 10

5

Pa, współczynnika gęsto-

ści materiałowej

ρ

= 7,86 · 10

3

kg/m

3

.

Oszacowane wartości mas zespołów
stanowiska (rys. 2) modelowanych
sztywnymi obszarami zamieszczono
w tabl. I.

Uzyskane wyniki podzielono na

dwie kategorie. Do pierwszej zali-
czono częstości własne i odpowia-
dające im formy własne związa-
ne z przemieszczeniem posadowio-
nych na ramie zespołów stanowis-
ka. Druga kategoria to drgania włas-
ne o postaciach związanych z miejs-
cowymi odkształceniami zestawów
ceowników ramy. Większe zagrożenie dla właściwej pra-
cy stanowiska stanowią drgania układu o postaciach
zbliżonych do pierwszej kategorii, ze względu na moż-
liwość wzajemnego przemieszczania poszczególnych ze-

społów podczas pracy. Ruch drgający poszczególnych
zespołów stanowiska może być realizowany w formie
drgań współbieżnych w przypadku, gdy zwroty przemie-
szczeń zespołów mają taki sam znak, lub w formie drgań
przeciwbieżnych, gdy zwroty przemieszczeń zespołów
mają przeciwne znaki.

Przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych związa-

nych z pierwszą kategorią. Omawiane rozwiązania prezen-
towane są w kolejności występowania. Przy opisie postaci
przyjmuje się, że ruch wzdłużny odbywa się w płaszczyź-
nie równoległej do podłoża, wzdłuż dłuższego boku ramy
(rys. 2), a ruch poprzeczny w płaszczyźnie równoległej do
podłoża, wzdłuż krótszego boku tej ramy. Ruch pionowy
jest rozumiany jako ruch na kierunku prostopadłym do
podłoża. Wartości częstości własnych i opis odpowiadają-
cych im postaci zamieszczono w tabl. II.

Wartości częstości własnych odpowiadające postaciom

nr 3

÷

10 mieszczą się w przedziale pracy zespołów

ruchomych stanowiska.

Badania eksperymentalne.

Opracowany model ES

stanowiska zweryfikowano badaniami doświadczalnymi
na rzeczywistym obiekcie (rys. 1). W eksperymencie wy-
korzystano układ pomiarowy firmy Bru¨el & Kjær, obsługi-
wany przez środowisko obliczeniowe LabView. Ekspe-
ryment pomiarowy przeprowadzono tak, aby zidentyfiko-

wać częstości własne odpowiadające formom własnym
odnoszącym się do drgań zespołów nr 1 i nr 2. Ponieważ
dysponowano tylko jednym czujnikiem przyspieszenia,
proces pomiarowy prowadzono w tzw. grupach pomiaro-
wych. W każdej grupie ustalono stałe położenie czujnika
przyspieszeń oraz punkty uderzeń młotkiem udarowym.

Jakość modelu ES stanowiska określa się wyznaczając

błąd względny częstości [3]:

ε

= (

ω

m

−

ω

e

) /

ω

e

×

100%

(1)

gdzie

ω

m

to częstość własna z modelu numerycznego,

natomiast

ω

e

– częstość własna z eksperymentu pomia-

rowego.

W tabl. III podano zidentyfikowane w eksperymencie

częstości własne i odpowiadające im formy drgań włas-
nych oraz wartości błędu względnego częstości. Iden-
tyfikacji postaci dokonano porównując jakościowo wyniki
obliczeń numerycznych z danymi doświadczalnymi.

Przeanalizowano drgania własne stanowiska do badań

zmęczeniowych kół zębatych. Część z wyznaczonych
w obliczeniach numerycznych częstości drgań własnych
i odpowiadających im form własnych została zweryfi-
kowana w eksperymencie pomiarowym. Analizując otrzy-
mane rezultaty zauważa się dużą zgodność wyników
numerycznych z danymi doświadczalnymi w zakresie
częstości związanych z pionowym ruchem drgającym
układu. Mniejszą zgodność wyników zauważa się w od-
niesieniu do częstości związanych z ruchem drgającym
układu w płaszczyźnie ramy fundamentowej.

LITERATURA

1. J. GOLIŃSKI: Wibroizolacja maszyn i urządzeń. WNT Warszawa 1979.
2. S. NOGA: Numerical analysis of a free transverse vibration of an

elastically connected annular double-membrane compound system.
Acta Mechanica Slovaca 3-A (2008) 307

÷

312.

3. J.J. WU: Finite element modelling and experimental modal testing of

a three dimensional framework. International Journal of Mechanical
Sciences, 46 (2004) 1245

÷

1266.

4. Z. ZEMBATY, M. KOWALSKI, S. POSPISIL: Dynamic identification of

a reinforced concrete frame in progressive states of damage. Engine-
ering structures 28 (2006) 668

÷

681.