- 1 -

WZORY – STATYSTYKA MATEMATYCZNA

1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:

2. ZMIENNE LOSOWE

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej dyskretnej X:

,

Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X:

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X:

,

Dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej X:

3. PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH:

Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej X:

Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej X:

Wariancja skokowej zmiennej losowej X:

Odchylenie standardowe zmiennej losowej X:

Odchylenie standardowe zmiennej losowej X:

4. WYBRANE ROZKŁADY DYSKRETNE

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego):

, ,





A

A

P

)

(

i

i

p

x

X

P





)

(

1

1







k

i

i

p











x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

)

(

)

(

0

)

(



x

f

1

)

(











dx

x

f













x

dt

t

f

x

X

P

x

F

)

(

)

(

)

(







k

i

i

i

p

x

X

E

1

)

(











dx

x

xf

X

E

)

(

)

(





)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

1

2

2

X

E

p

x

p

X

E

x

X

D

k

i

i

k

i

i

i





















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

X

E

dx

x

f

x

dx

x

f

X

E

x

X

D

i

























)

(

)

(

2

X

D

X

D







k

n

k

p

p

k

n

k

X

P





















1

)

(

np

X

E



)

(





p

np

X

D





1

)

(

2

- 2 -

Rozkład Poissona:

, ,

5. WYBRANE ROZKŁADY CIĄGŁE

Rozkład normalny :

Standaryzacja:

6. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)



:

MODEL I

Populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- znane:

MODEL II

Populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- nieznane; n≤30:

lub

MODEL III

Populacja ma rozkład normalny N(



;



) lub dowolny inny rozkład zbliżony do rozkładu

normalnego;



- nieznane; n>30:

Przedział ufności dla wariancji



2

:

Populacja ma rozkład normalny N(



;



); n≤30:

lub

gdzie

2

1

;

1

1

2

1







n

c





,

2

1

;

2

2

1





n

c





Przedział ufności dla odchylenie standardowego



:

Populacja ma rozkład normalny N(



;



) lub zbliżony do normalnego; n>30:











e

k

k

X

P

k

!

)

(





)

( X

E





)

(

2

X

D









;

N





2

2

2

2

1

)

(















x

e

x

f





 

1

;

0

~

;

~

N

U

N

X

X

U





 















n

u

x

n

u

x



















n

s

t

x

n

s

t

x

n

n

ˆ

ˆ

1

,

1

,



















1

1

1

,

1

,

















n

s

t

x

n

s

t

x

n

n







n

s

u

x

n

s

u

x















1

2

2

2

2

c

ns

c

ns















1

2

2

2

2

ˆ

1

ˆ

1

c

s

n

c

s

n











n

u

s

n

u

s

2

1

2

1















- 3 -

Przedział ufności dla wskaźnika struktury p:

7. MINIMALNA LICZEBNOŚĆ PRÓBY

MODEL I

Populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- znane:

MODEL II

Populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- nieznane:

gdzie jest wariancją wyznaczoną z próby wstępnej o liczebności n

0

zgodnie z wzorem:

MODEL III

Populacja ma rozkład dwupunktowy:



jeżeli znany jest spodziewany rząd wielkości szacowanego

wskaźnika struktury (p);



jeżeli nie jest znany rząd wielkości szacowanego wskaźnika

struktury (p).

8. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

Test istotności dla średniej (wartości oczekiwanej)



:

lub lub

MODEL I

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- znane, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest

statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1).

MODEL II

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(



;



);



- nieznane, n≤30, to sprawdzianem hipotezy

zerowej jest statystyka:

o rozkładzie t-Studenta o (n-1) stopniach swobody.

MODEL III

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(



;



) lub zbliżony do rozkładu normalnego;



- nieznane,

n>30, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1).

n

n

m

n

m

u

n

m

p

n

n

m

n

m

u

n

m











 

















 



1

1





2

2

2

d

u

n







2

2

2

1

,

ˆ

0

d

s

t

n

n







2

ˆs















0

1

2

0

2

1

1

ˆ

n

i

i

x

x

n

s





2

2

1

d

p

p

u

n







2

2

4d

u

n





0

0

:







H

0

1

:







H

0

1

:







H

0

1

:







H

n

x

u





0





1

ˆ

0

0











n

s

x

n

s

x

t





n

s

x

u

0







- 4 -

Test istotności dla wariancji



2

:

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(



;



) to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie z (n-1) stopniami swobody.

Jeżeli liczebność próby n>30, wówczas rozkład należy przybliżyć rozkładem normalnym N(0;1)
zgodnie z następującym przekształceniem:

Test istotności dla wskaźnika struktury p:

lub lub

Jeżeli populacja ma dwupunktowy, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1).

Test istotności dla dwóch średnich (wartości oczekiwanych):

lub lub

MODEL I

Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(



1

;



1

) i N(



2

;



2

) lub zbliżone do rozkładów

normalnych;



1,



2



nieznane, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1).

MODEL II

Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(



1

;



1

) i N(



2

;



2

);



1,



2



nieznane,



1

=



2

, n

1

≤30,

n

2

≤30, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie t-Studenta o (n

1

+n

2



1) stopniach swobody.

2

0

2

0

:







H

2

0

2

1

:







H





2

0

2

2

0

2

2

ˆ

1







s

n

ns







2



2



3

2

2

2







n

u



0

0

:

p

p

H



0

1

:

p

p

H



0

1

:

p

p

H



0

1

:

p

p

H



2

1

0

:







H

2

1

1

:







H

2

1

1

:







H

2

1

1

:







H





n

p

p

n

m

u

0

0

0

1









2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u







































































2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

ˆ

1

ˆ

1

1

1

2

n

n

n

n

s

n

s

n

x

x

n

n

n

n

s

n

s

n

x

x

t

- 5 -

MODEL III

Jeżeli populacje mają rozkłady normalne N(



1

;



1

) i N(



2

;



2

);



1,



2



znane,

n

1

>30, n

2

>30 to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1).

Test istotności dla dwóch wariancji:

Jeżeli populacja ma rozkład normalny N(



;



) lub zbliżony do rozkładu normalnego, to

sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

,

o rozkładzie F-Snedecora z i stopniami swobody.

Test istotności dla dwóch wskaźników struktury:

lub lub

Jeżeli populacja ma dwupunktowy, to sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

o rozkładzie normalnym N(0;1), gdzie: , .

OZNACZENIA:



liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A;



liczba wszystkich zdarzeń elementarnych;

n



liczebność próby;



średnia z próby;

s



odchylenie standardowe z próby (estymator obciążony);



odchylenie standardowe z próby (estymator nieobciążony);





średnia populacji;





odchylenie standardowe populacji;

p



wskaźnik struktury populacji;

m



liczba elementów wyróżnionych z n



elementowej próby;

d



dopuszczalny, ustalony z góry maksymalny błąd szacunku średniej lub wskaźnika struktury.

A



2

2

2

1

0

:







H

2

2

2

1

1

:







H

2

1

0

:

p

p

H



2

1

1

:

p

p

H



2

1

1

:

p

p

H



2

1

1

:

p

p

H







n

p

p

n

m

n

m

u







1

2

2

1

1

2

1

2

1

n

n

m

m

p







2

1

2

1

n

n

n

n

n





2

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s

F







1

1



n





1

2



n





2

2

2

1

ˆ

ˆ

s

s



2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

u







x

sˆ